Mathematik 2 SS 2007 3. ¨ Ubungsblatt - Gruppe C

Mathematik 2 SS 2007 3. ¨ Ubungsblatt - Gruppe C

Differentialgleichungen 32. L¨osen Sie folgende Bernoulli-Gleichungen:

(a) y⁰+ 3y

8x =−y⁹ x²

(b) y⁰+y= 2e^x2√y je ² 33. Man l¨ose die folgende Riccati-Differentialgleichung unter Verwendung

der angegebenen Partikul¨arl¨osung y_p:

y⁰−6y−4e^xy²−3e^−x = 0 mit yp =ae^−x

mit der zu bestimmenden Konstanten a∈R. ³ 34. Integrieren Sie die folgenden exakten Differentialgleichungen:

(a) (3x²+ 4y²)dx+ (8xy−3)dy= 0 ² (b) 4−y²

x² dx+ 2y

xdy= 0 y(2) = 3 ²

35. Bestimmen Sie zu folgenden Gleichungen passende integrierende Fak- toren und l¨osen Sie damit die Gleichungen:

(a) (4x³y+ 7e^xy⁵)dx−4x⁴dy= 0 ² (b) (5x+ 9y²+ 2)dx+ 12y(x+ 1)dy= 0 ³ 36. Bestimmen Sie zur folgenden Differentialgleichung einenintegrierenden

Faktor der Form µ(x²+y²) und l¨osen Sie damit die Gleichung:

x²−y²

dx+ 2xy dy = 0

3

37. Bestimmen Sie n¨aherungsweise den Funktionswert y(0.8) des Anfangs- wertproblems

y⁰ = ln(2−xy) y(0) = 0.15

mit Schrittweite h = 0.2 unter Ber¨ucksichtigung von 3 Nachkomma- stellen

(a) mittelsEuler’schem Polygonzugverfahren ¹ (b) mittels modifizierterEuler-Methode ² (c) mittels vereinfachtem Runge-Kutta-Verfahren ³