Ignaz-Taschner-Gymnasium Dachau Grundwissen Mathematik 7 (G8)

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Ignaz-Taschner-Gymnasium Dachau Grundwissen Mathematik 7 (G8)

Grundwissen Beispiele

M 7.1.1 Achsen- und punktsymmetrische Figuren a) Achsenspiegelung und Achsensymmetrie

• Die Punkte, die auf der Symmetrieachse a liegen, sind von jeweils zwei achsensymmetrischen Punkten gleich weit entfernt.

• Die Strecke von einem Punkt zu seinem achsensymmetrischen Punkt wird von der Symmetrieachse a senkrecht halbiert.

b) Punktspiegelung und Punktsymmetrie

• Zwei punktsymmetrische Figuren werden bei einer Drehung um das Zentrum Z um 180°

ineinander übergeführt.

• Die Strecke von einem Punkt A zu seinem

Bildpunkt A ’ wird von diesem Zentrum Z halbiert.

c) Besondere Geraden

Alle Punkte, die von zwei Punkten den gleichen Abstand haben, liegen auf der Mittelsenkrechten 𝒎_[𝑨𝑩] der Verbindungsstrecke.

Alle Punkte, die von zwei sich scheidenden Geraden den gleichen Abstand haben, liegen auf der

Winkelhalbierenden.

Die Senkrechte zu einer vorgegebenen Gerade nennt man Lot.

d) Besondere Vierecke

Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln.

Ein Rechteck ... mit vier rechten Winkeln.

Eine Raute ... mit vier gleich langen Seiten.

Ein Parallelogramm ... mit je zwei parallelen Seiten.

Ein Trapez ... mit zwei parallelen Seiten.

Ein Drachenviereck ... mit zwei Paaren benachbarter gleich langer Seiten.

Grundwissen Mathematik 7. Klasse MWG Augsburg

Grundkonstruktionen

Lot von P auf g fällen

Mittelsenkrechte bzw.

Strecke halbieren

Senkrechte zu g durch P errichten

Winkelhalbierende

Kreis mit beliebigem Radius um P Schnittpunkt M1 und M2; Konstruiere Mittelsenkechte m_M

1M₂

!² #;

Zwei Kreise mit beliebigem, aber gleich großem Radius um A und B;

Ziehe Gerade durch die zwei Schnittpunkte der beiden Kreise Mittelsenkrechte m_{!² #}_AB;

Kreis um P mit beliebigem Radius;

Schnittpunkte S1 und S2 mit Gerade g;

Konstruiere Mittelsenkechte m_S

1S₂

!² #

Kreis um S mit beliebigem Radius;

Schnittpunkte S1 und S2 mit Schenkeln des Winkels;

1S₂

!² #

Winkel an einer Geradenkreuzung

Nebenwinkel ergänzen Scheitelwinkel sind sich zu 180°: a + b = 180° gleich groß: g = d

α β

γ

γ ^δ

Besondere Vierecke

Allgemeines Viereck (Winkelsumme 360°)

Viereck mit Inkreis Viereck mit Umkreis Viereck mit zwei parallelen

= Tangentenviereck = Sehnenviereck Seiten = Trapez

Achsensymmetrische Vierecke

Drachen Gleichschenkliges punktsymmetrisches Trapez Viereck = Parallelogramm

Rechteck Raute

(= gleichwinkliges Viereck) (= gleichseitiges Viereck)

Quadrat P

P’

a Themen Eigenschaften – Besonderheiten - Beispiele

Achsensymmetrie und

Achsenspiegelung · Die Punkte, die auf der Symmetrie- achse a liegen, sind von jeweils zwei achsensymmetrischen Punkten gleich weit entfernt.

· Die Strecke von einem Punkt zu seinem achsensymmetrischen Punkt wird von der Symmetrieachse a senkrecht halbiert.

Konstruktionen zur

Achsenspiegelung Zu einem Punkt P den Bild- Zu einem Punkt P und seinem punkt P´ konstruieren: Bildpunkt P’ die Achse a

konstruieren:

Punktspiegelung Zwei punktsymmetrische Figuren werden bei einer Drehung um das Zentrum Z um 180° ineinander übergeführt.

Die Strecke von einem Punkt A zu seinem Bildpunkt A’

wird von diesem Zentrum Z halbiert.

Konstruktion der Punktspiegelung

Konstruktion des Bildpunktes P´ zu P:

P´

Z P

A B

C C’

A’

B’

a

P M P’

M

a

Z A

A’

B

C’ B’

C

P

P’

a Themen Eigenschaften – Besonderheiten - Beispiele

Achsensymmetrie und

Achsenspiegelung · Die Punkte, die auf der Symmetrie- achse a liegen, sind von jeweils zwei achsensymmetrischen Punkten gleich weit entfernt.

· Die Strecke von einem Punkt zu seinem achsensymmetrischen Punkt wird von der Symmetrieachse a senkrecht halbiert.

Konstruktionen zur Achsenspiegelung

Zu einem Punkt P den Bild- Zu einem Punkt P und seinem punkt P´ konstruieren: Bildpunkt P’ die Achse a

konstruieren:

Punktspiegelung Zwei punktsymmetrische Figuren werden bei einer Drehung um das Zentrum Z um 180° ineinander übergeführt.

Die Strecke von einem Punkt A zu seinem Bildpunkt A’

wird von diesem Zentrum Z halbiert.

Konstruktion der Punktspiegelung

Konstruktion des Bildpunktes P´ zu P:

P´

Z P

A B

C C’

A’

B’

a

P M P’

M

a

Z A

A’

B

C’ B’

C

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M 7.1.2 Winkelbetrachtungen an Figuren a) An einer Geradenkreuzung gilt:

Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°: 𝛼 + 𝛽 = 180°

Scheitelwinkel sind gleich groß: 𝛾 = 𝛿

b) An einer Doppelkreuzung mit zwei parallelen Geraden gilt:

Stufenwinkel sind gleich groß: 𝜀₁= 𝜀₂ Wechselwinkel sind gleich groß: 𝜑₁= 𝜑₂

c) Winkelsumme in Vielecken

Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°:

𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°

Die Winkelsumme im Vieleck mit n Ecken beträgt (𝑛 − 2) ∙ 180°.

M 7.2.1 Term und Zahl

Ein Rechenausdruck, der Zahlen, Variablen,

Rechenzeichen und Klammern enthalten kann, wird Term genannt.

Für die Variable kann man verschiedene Zahlenwerte einsetzen.

Zwei Termen nennt man äquivalent, wenn jede mögliche Einsetzung bei beiden Termen zum gleichen Ergebnis führt.

𝑇(𝑎) = 2𝑎 − 3𝑎²+ 4

Berechne 𝑇(𝑎) = 2𝑎 − 3𝑎²+ 4 für 𝑎 ∈ {−3; 2}

𝑇(2) = 2 ∙ 2 − 3 ∙ 2²+ 4 = 4 − 12 + 4 = −4

𝑇(−3) = 2 ∙ (−3) − 3 ∙ (−3)²+ 4 = −6 − 27 + 4 = −29 Der Flächeninhalt des Rechtecks kann auf ganz verschiedene Arten berechnet werden:

𝑇₁(𝑥) = 4(𝑥 + 6) 𝑇2(𝑥) = 4𝑥 + 24 𝑇₃(𝑥) = 4𝑥 + 20 + 4

M 7.2.2 Term und Abhängigkeit

Terme sind ein gutes Mittel, um die Abhängigkeit von Größen zu beschreiben.

𝑇(𝑎; 𝑏; 𝑐) = 2𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐 gibt einen Term an, mit dem man die Summe der Kantenlänge der Pyramide berechnen kann.

M 7.3.1 Umformen von Termen

a) Gleichartige Terme zusammenfassen

Gleichartige Terme unterscheiden sich nur in den Koeffizienten (=Zahlen vor den Variablen), nicht aber in den Variablen nach der Zahl.

Gleichartige Terme: 2𝑥𝑦²; −0,25𝑥𝑦²; 𝑥𝑦² Nicht gleichartige Terme: 2𝑥𝑦; 2𝑥²𝑦; 2𝑥²𝑦² b) Terme addieren und subtrahieren

Nur gleichartige Terme kann man durch Addition oder Subtraktion zusammenfassen, indem man ihre

Koeffizienten addiert bzw. subtrahiert und die gemeinsamen Variablen beibehält.

𝟐𝒙𝒚^𝟐+20𝑥𝑦 − 𝟓𝒙𝒚^𝟐−16𝑥𝑦 = −3𝑥𝑦²+ 𝟒𝒙𝒚

Grundkonstruktionen Lot von P auf g fällen

1M₂

!² #;

1S₂

!² #

1S₂

!² #

α β

γ

γ ^δ

Grundkonstruktionen Lot von P auf g fällen

1M₂

!² #;

1S₂

!² #

1S₂

!² #

α β

γ

γ ^δ

α

β γ

90°

Winkel an einer Doppelkreuzung mit parallelen Geraden

Stufenwinkel (F-Winkel) Wechselwinkel (Z-Winkel) sind gleich groß: sind gleich groß:

e1 = e2 j1 = j2

Winkelsumme im Dreieck

Winkelsumme in Vier- und Vielecken

Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck beträgt 180°:

a + b + g = 180°

Die Innenwinkelsumme in einem Viereck beträgt 360°.

Für ein Vieleck mit n Ecken beträgt die Innenwinkelsumme:

(n - 2) × 180°

Besondere Dreiecke gleichschenkliges Dreieck:

Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt gleichschenklig.

Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch.

In jedem solchen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß: a = b

gleichseitiges Dreieck:

Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt gleichseitig.

Die drei Innenwinkel betragen dann 60°.

rechtwinkliges Dreieck:

Ein Dreieck mit einem 90°-Winkel heißt rechtwinkliges Dreieck.

e1

e2

j1

j2

a b

Kathete

a a

Hypotenuse

Kathete a

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c) Bekannte Rechengesetze

Es gelten die bekannten Rechengesetze:

• Kommutativgesetz für Multiplikation und Addition

𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

• Assoziativgesetz für Multiplikation und Addition (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐

(𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

• 𝑦𝑥²= 𝑥²𝑦

• 𝑎 ∙ (−𝑏) = −𝑎𝑏

• (2 ∙ 𝑥) ∙ 2 = 2 ∙ 𝑥 ∙ 2 = 4𝑥

d) Multiplizieren und dividieren

Faktoren darf man vertauschen und durch Klammern zusammenfassen.

• 4𝑥 ∙ 5𝑥²= 20𝑥³

• (−3𝑎) ∙ 4𝑎²∙ (−0,5𝑏) = 6𝑎³𝑏 e) Ausmultiplizieren und Ausklammern

Für das Rechnen mit Klammern ist das Distributivgesetz besonders wichtig:

Ausmultiplizieren: 7 ∙ (𝑥 + 5) = 7𝑥 + 35 Ausklammern: 27𝑥²− 9𝑥𝑦 = 9𝑥 ∙ (3𝑥 − 𝑦) f) Produkte von Summen

Zwei Summen werden miteinander multipliziert, indem man jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer

multipliziert und anschließend addiert.

• (𝑥 + 2) ∙ (3 + 𝑥) = 3𝑥 + 𝑥²+ 6 + 2𝑥 =

= 𝑥²+ 5𝑥 + 6

• (−𝑥 + 2) ∙ (2𝑥 − 1) =

= −2𝑥²+ 𝑥 + 4𝑥 − 2 = −2𝑥²+ 5𝑥 − 2

g) Potenzen

• 𝑥^𝑚∙ 𝑥^𝑛 = 𝑥^𝑚+𝑛

• 𝑥^𝑚: 𝑥^𝑛=^𝑥_𝑥^𝑚_𝑛 = 𝑥^𝑚−𝑛

• (𝑥 ∙ 𝑦)^𝑚 = 𝑥^𝑚∙ 𝑦^𝑚

• (^𝑥

𝑦)^𝑚=^𝑥^𝑚

𝑦^𝑚

• (𝑥^𝑛)^𝑚= 𝑥^𝑛∙𝑚= (𝑥^𝑚)^𝑛

Hoch vor Punkt vor Strich – Klammer vor allem!

• 𝑥⁴∙ 𝑥³= 𝑥⁴⁺³= 𝑥⁷

• 𝑦⁶: 𝑦²=^𝑦⁶

𝑦²= 𝑦⁶⁻²= 𝑦⁴

• (𝑥 ∙ 𝑦)³= 𝑥³𝑦³

• (^𝑥_𝑦)³=^𝑥_𝑦³₃

• (𝑥²)³= 𝑥^2∙3 = 𝑥⁶ M 7.3.2 Lösen von Gleichungen

a) Lösen durch Äquivalenzumformungen 1. Vereinfachen

2. Trennen: x-Terme auf die eine Seite, Zahlen auf die andere Seite

3. x isolieren, d. h. auflösen nach x

4. Lösung ermitteln und Lösungsmenge angeben 5. (Probe durch Einsetzen der Lösung für x auf

beiden Seiten)

2𝑥 + 5(𝑥 + 1) = 4(𝑥 − 2) − 2 2𝑥 + 5𝑥 + 5 = 4𝑥 − 8 − 2

7𝑥 + 5 = 4𝑥 − 10 |−4𝑥 3𝑥 + 5 = −10 |−5 3𝑥 = −15 |: 3 𝑥 = −5 𝐿 = {−5}

b) Spezialfälle

Eindeutig lösbar: 𝐿 = {𝑎} – genau eine Lösung Allgemein gültig: 𝐿 = 𝐺 – unendlich viele Lösungen Unerfüllbar: 𝐿 = { } – keine Lösung

[Grundmenge G: vorgegeben Menge an Zahlen, die man in die Gleichung einsetzen könnte.

Lösungsmenge L: Menge an Zahlen, die eine richtige Aussage ergeben, d. h. also bei der die Gleichung

2𝑥 = 3 4𝑥 = 2𝑥 + 2𝑥 𝑥 − 3 = 𝑥 − 4 𝑥 = 1,5 4𝑥 = 4𝑥 − 3 = −4

0 = 0 − 3 ≠ −4 𝐿 = {1,5} 𝐿 = 𝐺 = ℚ 𝐿 = { } eindeutig allgemein lösbar unerfüllbar aber wenn:

𝐺 = ℕ₀ 𝐿 = { } unerfüllbar

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M 7.4 Daten, Diagramme und Prozentrechnung a) Arithmetisches Mittel

Bei der Erhebung von Daten ist der Mittelwert eine beliebte Größe zur Beschreibung der Daten. In der Mathematik heißt dieser Wert arithmetisches Mittel.

Bei einer Schulaufgabe gab es folgendes Notenbild:

Das arithmetische Mittel ist der Notendurchschnitt.

b) Prozentrechnung

Alle Fragen der Prozentrechnung lassen sich mit der Grundgleichung der Prozentrechnung

Prozentsatz ∙ Grundwert = Prozentwert

beantworten, indem man die Gleichung nach der gesuchten Größe auflöst.

Erhöhung des Grundwertes

Anna erhält 20€ Taschengeld im Monat. Es wird nun um 10% erhöht. Wie viel erhält sie nun monatlich?

20€ + 10% 𝑣𝑜𝑛 20€ = 20€ + ¹⁰

100∙ 20€ = 20€ + 2€ = 22€

oder:

20€ + 10% 𝑣𝑜𝑛 20€ = 110% 𝑣𝑜𝑛 20€ = 1,1 ∙ 20€ = 22€

Verminderung des Grundwertes

Eine Hose kostet 60€. Beim Schlussverkauf wird sie 20% billiger. Was kostet die Hose nun?

60€ − 20% 𝑣𝑜𝑛 60€ = 60€ − ²⁰

100∙ 60€ = 60€ − 12€ = 48€

oder:

60€ − 20% 𝑣𝑜𝑛 60€ = 80% 𝑣𝑜𝑛 60€ = ⁸⁰

100∙ 60€ = 48€

M 7.5.1 Kongruenz

Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie in

• In drei Seiten übereinstimmen (SSS)

• In einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen (WSW)

• In einer Seite, in einem anliegenden und dem gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen (SWW)

• In zwei Seiten und deren Zwischenwinkel (SWS) übereinstimmen

• In zwei Seiten und dem Gegenwinkel der

größeren Seite (SsW) übereinstimmen Zwei Dreiecke, die nur in drei Winkeln übereinstimmen, sind nicht unbedingt kongruent zueinander.

M 7.5.2 Besondere Dreiecke a) Standardbezeichnungen

Die Ecken werden mit Großbuchstaben, die

gegenüberliegenden Seiten mit dem entsprechenden Kleinbuchstaben bezeichnet. Den Winkel (genauer Innenwinkel) an einer Ecke bezeichnet man mit dem entsprechenden griechischen Buchstaben.

Wichtige griechische Buchstaben

Potenzen Gesetz 1. Beispiel 2. Beispiel

aⁿ×a^m = a^n+m 2³×2⁴ = 2⁷=128 (-x)²×(-x)³ = (-x)⁵= -x⁵ aⁿ: a^m =aⁿ

a^m= a^n-m 2⁶

2⁴ = 2^6-4= 2²= 4 x⁵

x = x^5-1= x⁴ (aⁿ)^m= a^n×m (2²)³= 2^2×3= 2⁶= 64 (x⁵)³= x^5×3= x¹⁵ (a×b)ⁿ = aⁿ×bⁿ 2⁶×5⁵=(2×5)⁶=10⁶

=1000 000 (a×b)³ = a³×b³ a

b

!

²#

%&

n

= aⁿ bⁿ

3 4

!

²#

%&

2

= 3² 4² = 9

16

x y

!

²#

%&

3

= x³ y³

Arithmetisches Mittel Bei der Erhebung von Daten ist der Mittelwert eine beliebte Größe zur Beschreibung der Daten. In der Mathematik heißt dieser Wert

arithmetisches Mittel.

Beispiel: Bei einer Schulaufgabe gab es folgendes Notenbild:

Note 1 2 3 4 5 6

Anzahl 2 3 7 8 4 1

Das arithmetische Mittel ist der Notendurchschnitt, mit dem man Aussagen darüber treffen kann, wie gut die Schulaufgabe von den Schülern

bearbeitet wurde:

2×1+3×2+7×3+8×4+4×5+1×6 2+3+7+8+4+1 =87

25=3,48 Prozentrechnung

Zinsrechnung

Erhöhter Grundwert

Anna erhält 20 € Taschengeld im Monat. Es wird nun um 10% erhöht. Wie viel erhält sie nun monatlich?

20€+10% von 20€=20€+10

100×20€=20€

100%

+2€

10%

=22€

110%

Diese Rechnung entspricht: 110% von 20€

Verminderter Grundwert

60€-20% von 60€=60€-20

100×60€=60€

100%

+12€

20%

=48€

80%

Ein Kapital K bringt bei einem Zinssatz von p% in n Tagen Zinsen in der Höhe von:

Z = p%×K× n 360 Beispiel:

Bei einem Zinssatz von p = 2% bringt ein Kapital von 1000 € in einem Jahr: Z = 2%×1000€=20€

in 72 Tagen: Z = 2%×1000€× 72 360=4€

Potenzen Gesetz 1. Beispiel 2. Beispiel

aⁿ×a^m = a^n+m 2³×2⁴ = 2⁷=128 (-x)²×(-x)³ = (-x)⁵= -x⁵ aⁿ: a^m = aⁿ

a^m= a^n-m 2⁶

2⁴ = 2^6-4= 2²= 4 x⁵

x = x^5-1= x⁴ (aⁿ)^m= a^n×m (2²)³= 2^2×3= 2⁶= 64 (x⁵)³= x^5×3= x¹⁵ (a×b)ⁿ = aⁿ×bⁿ 2⁶×5⁵=(2×5)⁶=10⁶

=1000 000 (a×b)³ = a³×b³ a

b

!

²#

%&

n

= aⁿ bⁿ

3 4

!

²#

%&

2

= 3² 4² = 9

16

x y

!

²#

%&

3

= x³ y³

Arithmetisches Mittel Bei der Erhebung von Daten ist der Mittelwert eine beliebte Größe zur Beschreibung der Daten. In der Mathematik heißt dieser Wert

arithmetisches Mittel.

Beispiel: Bei einer Schulaufgabe gab es folgendes Notenbild:

Note 1 2 3 4 5 6

Anzahl 2 3 7 8 4 1

Das arithmetische Mittel ist der Notendurchschnitt, mit dem man Aussagen darüber treffen kann, wie gut die Schulaufgabe von den Schülern

bearbeitet wurde:

2×1+3×2+7×3+8×4+4×5+1×6 2+3+7+8+4+1 =87

25=3,48 Prozentrechnung

Zinsrechnung

Erhöhter Grundwert

Anna erhält 20 € Taschengeld im Monat. Es wird nun um 10% erhöht. Wie viel erhält sie nun monatlich?

20€+10% von 20€=20€+10

100×20€=20€

100%

+2€

10%

=22€

110%

Verminderter Grundwert

60€-20% von 60€=60€-20

100×60€=60€

100%

+12€

20%

=48€

80%

Ein Kapital K bringt bei einem Zinssatz von p% in n Tagen Zinsen in der Höhe von:

Z = p%×K× n 360 Beispiel:

Bei einem Zinssatz von p = 2% bringt ein Kapital von 1000 € in einem Jahr: Z = 2%×1000€=20€

in 72 Tagen: Z = 2%×1000€× 72 360=4€

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b) Gleichschenkliges Dreieck

Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt gleichschenklig. Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch. In jedem solchen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß:

𝛼 = 𝛽

c) Gleichseitiges Dreieck

Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt

gleichseitig. Die drei Innenwinkel betragen jeweils 60°.

d) Rechtwinkliges Dreieck

e) Satz des Thales

Ein Dreieck ABC ist genau dann rechtwinklig bei der Ecke C, wenn der Punkt C auf dem Halbkreis über der Strecke [𝐴𝐵] liegt.

M 7.5.3 Konstruktionen

a) Mittelsenkrechte und Umkreis

Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks entsprechen den Mittelsenkrechten der drei Dreiecksseiten. Sie schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

b) Winkelhalbierenden und Inkreis

Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks entsprechen den Winkelhalbierenden der drei Innenwinkel. Auch sie schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises.

c) Höhen

Die Höhen eines Dreiecks sind die von den Ecken auf die gegenüberliegende Seite gefällte Lotstrecken.

Auch sie schneiden sich in einem Punkt.

α

β γ

90°

e1 = e2 j1 = j2

a + b + g = 180°

(n - 2) × 180°

e1

e2

j1

j2

a b

Kathete

a a

Hypotenuse

Kathete a

α

β γ

90° Winkel an einer

Doppelkreuzung mit parallelen Geraden

e1 = e2 j1 = j2

a + b + g = 180°

(n - 2) × 180°

e1

e2

j1

j2

a b

Kathete

a a

Hypotenuse

Kathete

a

A B

C

α

β γ

90°

Stufenwinkel (F-Winkel) Wechselwinkel (Z-Winkel)

sind gleich groß: sind gleich groß:

e1 = e2 j1 = j2

a + b + g = 180°

(n - 2) × 180°

e1

e2

j1

j2

a b

Kathete

a

a Hypotenuse

Kathete

Schenkel a

Basis