Ignaz-Taschner-Gymnasium Dachau Grundwissen Analysis zu Beginn Q11

Grundwissen Beispiele Bruchrechnen

Zum Kürzen von Brüchen benötigt man oft die 3. Binomische Formel!

Rechnen mit Brüchen:

Addition & Subtraktion:

Brüche können nur addiert bzw. subtrahiert werden, wenn der Nenner gleich ist. Ist dies nicht der Fall, so muss durch Erweitern (oder Kürzen) ein gemeinsamer Nenner gebildet werden

Multiplikation:

Brüche werden multipliziert, in dem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert

Division:

Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert.

Bsp: Erweitert mit 7:

𝑥 − 1

5 = (𝑥 − 1) ∙ 7

5 ∙ 7 = 7𝑥 − 7 35 Bsp: Kürzen:

14𝑎

49𝑎

= 2 ∙ 7 ∙ 𝑎 7 ∙ 7 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 = 2 Achtung: 7𝑎

(2 + 𝑎)

7𝑎 ≠ 2

7 "𝐵𝑒𝑖 𝐷𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑧𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑑 𝑆𝑢𝑚𝑚𝑒𝑛 𝑘ü𝑟𝑧𝑒𝑛 𝑛𝑢𝑟 𝑑𝑖𝑒 𝐷𝑢𝑚𝑚𝑒𝑛“

Bsp: 3. Binomische Formel im Nenner:

2𝑥 − 4

𝑥

− 4 = 2 ∙ (𝑥 − 2)

(𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 2) = 2 𝑥 + 2 Bsp:

+

2

=

𝑎∙2

+

2∙𝑎

=

2𝑎

+

2𝑎

=

2𝑎

Bsp:

2

∙

𝑥

=

2∙𝑥

=

2𝑥

=

2

Bsp:

5

∶

8

=

5

∙

3

Bsp:

−(12𝑥 + 13 − 7𝑎) = −12𝑥 − 13 + 7𝑎

Lösung von Gleichungen

Wichtig: Gehe beim Lösen von Gleichungen immer schrittweise vor. Die meisten Fehler passieren, wenn man versucht mehrere Schritte auf einmal

auszuführen!

Beachte: Beim Wurzelziehen erhält man zwei Lösungen!

Gleichungen mit x² und x lassen sich entweder mit Hilfe der binomischen Formeln lösen:

oder mit der quadratischen Lösungsformel:

(Mitternachtsformel)

Bruchgleichungen

Bsp 1:

2𝑥 + 3 = 27 │ −3 2𝑥 = 24 │ : 2 𝑥 = 12 Bsp 2:

1 + 2𝑥²= 9 │ −1 2𝑥²= 8 │ : 2 𝑥²= 4 │ √

𝑥₁= 2 kurz: 𝑥 = ±2 𝑥₂= −2

Bsp 3:

𝑥²+ 4𝑥 + 4 = 9 1. binom. Formel (𝑥 + 2)²= 9 │ √

𝑥 + 2 = ±3 │ −2 𝑥₁= 1 𝑥₂= −5

Bsp 4:

Lineare Gleichungssysteme

Rechnen mit Potenzen mit rationalem Exponenten

Logarithmus

Funktionen Definition:

Arten von Funktionen:

• Lineare Funktionen

• Allgemeine quadratische Funktionen

• Ganzrationale Funktionen

d.h. lineare und quadratische Funktionen sind spezielle ganzrationale Funktionen

• Gebrochenrationale Funktionen

• Sinus- und Kosinusfunktion

• Exponentialfunktion

Untersuchung von Funktionen

• Definitionsmenge

Alle x-Werte, für die die Funktion definiert ist, d.h. die man ohne Widerspruch in die Funktion

„einsetzten kann.“

• Nullstellen

𝒇(𝒙) = 𝟎

• Symmetrie

Achsensymmetrie bzgl. der y-Achse:

𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥)

Bsp:

𝑓(𝑥) = 𝑥²+ 3𝑥 𝐷_𝑓 = ℝ 𝑔(𝑥) =_𝑥−3² 𝐷_𝑔 = ℝ\{3}

ℎ(𝑥) = √𝑥 + 1 𝐷_ℎ= [1; +∞[

Bsp: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2 0 = 3𝑥 − 2 │+2 2 = 3𝑥 │:3 𝑥 =²

3

Verhalten im Unendlichen (Grenzwerte)

Konvergenz: Nähern sich die Funktionswerte f(x) für 𝑥 → ±∞ einer Zahl a beliebig genau, so heißt a Grenzwert (Limes) der Funktion f.

Divergenz: Wachsen dir Funktionswerte f(x) für 𝑥 →

±∞ unbegrenzt nach −∞ oder +∞ so sagt man, die Funktion divergiert bestimmt.

Bsp:

Bsp:

Polynomdivision

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