C Mathematik Kapitel

(1)

Kapitel C Mathematik

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Berufskolleg Opladen Termumformungen I – Terme vereinfachen C 1 Regeln:

 Die Vorzeichen müssen immer mitgenommen werden. Vorzeichen stehen vor einer Zahl oder einem Buchstaben.

 Nur gleiche Variablen (Buchstaben) dürfen addiert oder subtrahiert werden.

Auch der Exponent muss dabei übereinstimmen.

 Steht ein „Mal“ zwischen Zahlen oder Buchstaben, so darf die Reihenfolge be- liebig vertauscht und alles miteinander multipliziert werden.

Beispiel 1:

3𝑥 − 6 +⁴

5𝑒 − 2𝑥 − 2 ∙ 𝑒 + 𝑥 ∙ 3 − 𝑥²

= 3𝑥 − 2𝑥 + 3𝑥 − 6 +⁴

5𝑒 − 2𝑒 − 𝑥²

= 4𝑥 − 6 −⁶

5𝑒 − 𝑥² Beispiel 2:

5𝑥³− 2𝑥²+ 0,5𝑥³+ 9𝑥 − 12𝑥³+ 16𝑥³ + 3𝑥²

= 5𝑥³ − 12𝑥³ + 16𝑥³ + 0,5𝑥³ − 2𝑥² + 3𝑥² + 9𝑥

= 9,5𝑥³+ 𝑥²+ 9𝑥 Beispiel 3

3 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ (−9) ∙ 𝑥 ∙ 𝑧

= 3 ∙ (−9) ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧

= −27𝑥²𝑦𝑧

Aufgaben

1. −5𝑥³+ 2𝑥² − 0,5𝑥³− 9𝑥 + 12𝑥³− 16𝑥³− 3𝑥² 2. 𝑥³− 𝑥²+ 𝑥³+ 9 − 𝑥³+ 𝑥³+ 3𝑥²

3. 7𝑎 + 2𝑏 − 3𝑐 + 11 − 6𝑎 + 3𝑏 + 2𝑐 4. −2𝑥²− 98𝑢 + 99𝑢²

5. 3𝑧 ∙ 2𝑥 ∙ 5𝑡

6. −5𝑥³− 𝑥³ + 𝑥 + 6 ∙ 𝑥 − 𝑥 ∙ 3 + 1 7. 𝑥 ∙ 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑥

8. 𝑥 ∙ 𝑦 − 2 ∙ 𝑥 + 3𝑥 + 3𝑦

9. 34𝑧²− 𝑧 + 𝑎³ − 𝑞 + 4𝑧 + 1,2 ∙ 𝑞

−2 ∙ 𝑒 = −2𝑒 𝑥 ∙ 3 = 3 ∙ 𝑥 = 3𝑥 Exponent

Vor dem x² steht eine unsichtbare 1

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Berufskolleg Opladen Termumformungen I – Terme vereinfachen C 1 Lösung

1. −9,5𝑥³− 𝑥²− 9𝑥 2. 𝑥³+ 2𝑥²+ 9 3. 𝑎 + 5𝑏 − 𝑐 + 11 4. −2𝑥²− 98𝑢 + 99𝑢² 5. 30𝑡𝑥𝑧

6. −6𝑥³+ 4𝑥 + 1 7. 3𝑥²

8. 𝑥𝑦 − 𝑥 + 3𝑦

9. 34𝑧²+ 3𝑧 + 𝑎³+ 0,2𝑞

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Berufskolleg Opladen Termumformungen II – Klammern auflösen C 2 Regel:

𝐚 ∙ (𝐛 + 𝐜) = 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒂 ∙ 𝒄 𝐚 ∙ (𝐛 − 𝐜) = 𝒂 ∙ 𝒃 − 𝒂 ∙ 𝒄

Beispiel 1:

a) Steht ein „+“ vor der Klammer, so bleibt der Ausdruck in den Klammern unver- ändert stehen:

+(−6𝑥 + 3) = −6𝑥 + 3

b) Steht ein „–“ vor der Klammer, so drehen sich alle Vorzeichen in der Kammer um:

−(4 − 2,5𝑥) = −4 + 2,5𝑥

−(−2𝑥 − 9 + 𝑦) = 2𝑥 + 9 − 𝑦 Beispiel 2:

a) Sind eine Zahl oder ein Buchstabe mit einer Klammer durch ein „^.“ verknüpft, so werden alle Zahlen/Buchstaben in der Klammer mit der Zahl/ dem

Buchstaben, die/der vor der Klammer steht, multipliziert:

5 ∙ (3 − 𝑥 + 4𝑚) = 5 ∙ 3 − 5 ∙ 𝑥 + 5 ∙ 4𝑚 = 15 − 5𝑥 + 20𝑚

𝑎(−2,5𝑥 − 10) = 𝑎 ∙ (−2,5𝑥) − 𝑎 ∙ 10 = −2,5𝑎𝑥 − 10𝑎

Aufgaben

1. 3(𝑥 − 5) 6. ¹

2𝑥(6 − 3𝑑)

2. −0,5 ∙ (𝑥 + 𝑦) 7. −(−𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑞)

3. 𝑎(1 + 6) 8. 36 ∙ (¹

6+ ⁵

12𝑥 − 𝑏²) 4. 8𝑥 ∙ (4𝑦 − 0,25) 9. 6 − 2𝑐 + 99𝑞) ∙ 4 5. 3 − 9(2𝑥 + 1,5) 10. (6 − 2𝑐 + 99𝑞) ∙ (−4)

meistens ist dieses + nicht zu sehen

vor der 4 steht ein un- sichtbares +

oftmals ist das „Mal-Zei- chen“ nicht zu sehen

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Berufskolleg Opladen Termumformungen II – Klammern auflösen C 2 Lösung:

1. 3(𝑥 − 5) = 3𝑥 − 15

2. −0,5 ∙ (𝑥 + 𝑦) = −0,5𝑥 − 0,5𝑦 3. 𝑎(1 + 6) = 𝑎 + 6𝑎

4. 8𝑥 ∙ (4𝑦 − 0,25) = 32𝑥𝑦 − 2

5. 3 − 9(2𝑥 + 1,5) = 3 − 18𝑥 − 4,5 = −1,5 − 18𝑥 6. ¹

2𝑥(6 − 3𝑑) = 3𝑥 − 1,5𝑑𝑥

7. −(−𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑞) = 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑞 8. 36 ∙ (¹

6+ ⁵

12𝑥 − 𝑏²) = 6 + 15𝑥 − 36𝑏² 9. (6 − 2𝑐 + 99𝑞) ∙ 4 = 24 − 8𝑐 + 396𝑞 10. (6 − 2𝑐 + 99𝑞) ∙ (−4) = −24 + 8𝑐 − 396𝑞

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Berufskolleg Opladen

Termumformungen III – Ausklammern eines

Faktors C 3

Um Termausdrücke zu vereinfachen, kann man auch Klammern setzen. Dazu muss man einen gemeinsamen Teiler (am besten den größten) aller Summanden bestimmen, der dann mit einem „Mal“ als Faktor vor die gebildete Klammer gesetzt wird.

Regel:

𝒂𝒃 + 𝒂𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒂 ∙ 𝒄 = 𝒂 ∙ (𝒃 + 𝒄) 𝒂𝒃 − 𝒂𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 − 𝒂 ∙ 𝒄 = 𝒂 ∙ (𝒃 − 𝒄)

Beispiel 1:

15𝑥 + 30𝑦 = 5 ∙ 3 ∙ 𝑥 + 5 ∙ 6 ∙ 𝑦 = 5(3𝑥 + 6𝑦) = (3𝑥 + 6𝑦) ∙ 5 15𝑥 und 30𝑦 sind jeweils durch 5 teilbar: 15𝑥: 5 = 3𝑥 𝑢𝑛𝑑 30𝑦: 5 = 6𝑦

Die Zahl, durch die geteilt wird, setzt man mit einem „Mal“ vor oder hinter die Klam- mer. Das Mal-Zeichen muss man dabei nicht aufschreiben.

Beispiel 2:

𝑥𝑦𝑧 + 𝑦𝑞 = 𝑦 ∙ 𝑥 ∙ 𝑧 + 𝑦 ∙ 𝑞 = 𝑦(𝑥𝑧 + 𝑞)

𝑥𝑦𝑧und 𝑦𝑞 enthalten jeweils ein 𝑦, sind also durch 𝑦 teilbar: 𝑥𝑦𝑧: 𝑦 = 𝑥𝑧 𝑢𝑛𝑑 𝑦𝑞: 𝑦 = 𝑞 Beispiel 3:

3𝑥³− 6𝑥²+ 6𝑥

= 3 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 − 3 ∙ 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 + 3 ∙ 2 ∙ 𝑥

= 3𝑥(𝑥 ∙ 𝑥 − 2 ∙ 𝑥 − 2)

= 3𝑥(𝑥²− 2𝑥 − 2) Aufgaben:

1. 30𝑥 + 10 6. 𝑥³− 𝑥² + 𝑥

2. −8𝑎 + 20𝑥 7. −𝑎𝑥³− 𝑏𝑥² − 𝑐𝑥 3. 𝑎𝑏𝑐 − 𝑎𝑏𝑑 + 𝑎𝑏𝑒 8. ³

5𝑎 +⁷

5𝑏 +²

5𝑐

4. 99𝑞 + 11𝑝 − 33𝑟 9. 𝑝 ∙ 1,05^𝑛+ 𝑞 ∙ 1,05^𝑛+ 1,05^𝑛 5. 20𝑥³− 16𝑥²+ 4𝑥 10. 144𝑥 + 12𝑦 + 36𝑧²

1. Summand 2. Summand

Faktor

Führt man eine Primfaktorzerlegung durch, so sieht man, dass die drei Summanden eine 3 und ein x gemeinsam haben. Diese werden als Faktor vor die Klammer gesetzt.

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Termumformungen III – Ausklammern eines

Faktors C 3

Lösung:

1. 30𝑥 + 10 = 10(𝑥 + 1) 2. −8𝑎 + 20𝑥 = 4(−2𝑎 + 5𝑥)

3. 𝑎𝑏𝑐 − 𝑎𝑏𝑑 + 𝑎𝑏𝑒 = 𝑎𝑏(𝑐 − 𝑑 + 𝑒) 4. 99𝑞 + 11𝑝 − 33𝑟 = 11(9𝑞 + 𝑝 − 3𝑟) 5. 20𝑥³− 16𝑥²+ 4𝑥 = 4𝑥(5𝑥²− 4𝑥 + 1) 6. 𝑥³− 𝑥²+ 𝑥 = 𝑥(𝑥²− 𝑥 + 1)

7. −𝑎𝑥³− 𝑏𝑥²− 𝑐𝑥 = −𝑥(𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐) 8. ³

5𝑎 +⁷

5𝑏 +²

5𝑐 =¹

5(3𝑎 + 7𝑏 + 2𝑐)

9. 𝑝 ∙ 1,05^𝑛+ 𝑞 ∙ 1,05^𝑛+ 1,05^𝑛 = 1,05^𝑛(𝑝 + 𝑞 + 1) 10. 144𝑥 + 12𝑦 + 36𝑧² = 12(12𝑥 + 𝑦 + 3𝑧²)

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Berufskolleg Opladen Prozentrechnen C 4 Aufgaben – Prozentrechnen

1. Der Klassenlehrer unterschreibt Zeugnisse. Er hat bereits 270 Zeugnisse fertig.

Eine Kollegin fragt ihn, wie lange er noch braucht. Daraufhin antwortet er: "Ich habe bereits 45%." Wie viele Zeugnisse muss er insgesamt unterschreiben?

2. Der Kauf eines Autos verteuert sich um 1920,45 €, da die Bezahlung in Raten er- folgt. Wie hoch war der ursprüngliche Preis des Autos, wenn die Verteuerung 10,5%

beträgt?

3. Franz hat viel fotografiert und insgesamt 50 Fotos geschossen, von denen jedes 2 MB Speicherplatz benötigt. Seine SD-Karte hat eine Speicherkapazität von 1 GB.

a) Wie viel Prozent des Speichers ist nach dem Urlaub noch frei?

b) Wie viele Bilder kann er auf seinem nächsten Ausflug machen, wenn die neuen Bilder doppelt so viel Speicher benötigen und schon 60% des Speichers belegt sind?

4. Ein Fluss fließt durch ein Wüstenland, das zwei Beduinengruppen bewohnen. Die eine Gruppe zweigt 80% von den 125 Hektolitern, die der Fluss pro Stunde mit sich bringt, für ihre Felder ab. Wie viel Prozent der Wassermenge des Flusses kommt dann noch bei der anderen Beduinengruppe an, die bergab des Flusses lebt?

5. Eine Kundin kauft in einem Sportgeschäft einen Heimtrainer zum Preis von 399,50

€. Als Mitglied eines Sportvereins bekommt sie Ermäßigung und zahlt nur 367,54

€. Wie viel % betrug der Preisnachlass?

6. Ein Unternehmer muss für eine Materiallieferung 8229 € bezahlen, da die Preise um 5,5% angehoben wurden. Wie viel hätte er vor dieser Verteuerung bezahlen müssen?

7. Herr G. Wicht ist 120 kg schwer. Er beginnt am 1. Oktober eine radikale Abmage- rungskur.

1. Am 1. November hat er 15% seines Körpergewichts verloren. Wie schwer ist er jetzt?

2. Bis zum 1. Dezember verliert er erneut 15% an Gewicht. Wie schwer ist er zu diesem Zeitpunkt?

3. Im Januar jedoch - nach den vielen Feiertagen - zeigt die Waage wieder 120 kg an! Um wie viel Prozent hat er in den beiden vergangenen Monaten wieder zugenommen? Runde auf eine Kommastelle.

8. Butter hat einen Fettgehalt von 82%, Creme Fraiche enthält 30% Fett. Wie viel Gramm Butter enthält die gleiche Menge Fett wie ein Becher mit 125 g Creme Frai- che?

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Berufskolleg Opladen Prozentrechnen C 4

Übungsskript Höhere Handelsschule und Wirtschaftsgymnasium – Jahrgangsstufe 11 C 8 9. Ein Fahrrad, das 400 € kostet, wird um 20% reduziert. Um noch mehr Käufer an- zulocken gibt es nach einer Woche noch einmal 10% Rabatt. Würdest du mehr, weniger oder gleich viel bezahlen, wenn das Fahrrad gleich um 30% billiger wird? Be- gründe deine Antwort!

10. Herr Boller plant in seinem Garten einen Teich anzulegen. Das Volumen des Tei- ches soll 15,6 m³ betragen.Welche Erdmenge muss Herr Boller per Container abfah- ren lassen, wenn mit einer Auflockerung von 15% zu rechnen ist, also den Arbeiten sogar noch 15% mehr Erde ausgehoben werden müssen?

11. In einer Sportgruppe fahren 70% der Schüler Ski und 60% der Schüler Snow- board. Ein Viertel der Schüler fährt weder Ski noch Snowboard. 11 Schüler der Gruppe fahren Ski und Snowboard.

1. Stelle die Anteile mittels einer Vierfeldertafel dar.

2. Ermittle, wie viele Schüler insgesamt in der Sportgruppe sind.

12. Der Grundpreis eines Wagens beträgt 27500 €. Die Sonderausstattung erhöht den Preis um 1000 €. Wegen Barzahlung erhält der Käufer 12% Rabatt.

Wie viel Prozent vom Grundpreis sind tatsächlich gezahlt worden?

13. Die Fußballspieler einer Mannschaft der 1. Liga müssen wegen ihren begange- nen Unsportlichkeiten Strafen in die Mannschaftskasse zahlen. A. Mateur muss 20.000 € bezahlen, B. Trüger 50.000 €, C. Rung 15.000 €, D. M. Lich 30.000 € und E. Goist 35.000 €.

a) Wieviel Prozent des Gesamtbetrags der Mannschaftskasse muss jeder einzelne Fußballer zahlen?

b) Wieviele der 5 Fußballer müssen jeweils mindestens 20% des Gesamtbetrags zahlen? Wieviel Prozent der Spieler sind das?

14. Ein Bauherr erhält auf die Rechnung in Höhe von 12.000 Euro 3% Skonto, wenn er sofort bezahlt. Wie viel muss er bezahlen, wenn er den Skonto in Anspruch

nimmt?

15. Die Klasse 8a wird nach ihrem Lieblingsfilm gefragt. 40% von den 25 abgegebe- nen Stimmzetteln enthalten den Film "Friss oder Stirb". Eva ist sich bei 9 Klassenka- meraden sicher, dass sie diesen Film gewählt haben. Wie viele Schüler*innen haben für den Film gestimmt, von denen Eva das nicht weiß?

16. Der Anglerverein "Petri Heil" hat 120 Mitglieder. 75% davon sind Erwachsene, der restliche Anteil Jugendliche. Dem Verein treten 10 Männer und 5 Jugendliche neu bei.

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Berufskolleg Opladen Prozentrechnen C 4 1. Wie viele Jugendliche sind danach im Verein?

2. Wie viel Prozent Erwachsene sind danach im Verein?

Runde den Prozentsatz auf eine Stelle nach dem Komma.

17. An einer Wahl nahmen 426.688 Wahlberechtigte teil und stimmten je für eine der drei Parteien A, B und C. Die Partei B erhielt 70% der Stimmen von A, die Partei C hingegen 80% der Stimmen von B. Wie viele Stimmen erhielt jede Partei?

18. Im Vorverkauf für ein Open-Air-Festival in einem Stadion mit 20 000 Plätzen wur- den 12 000 Eintrittskarten abgesetzt. Während der Veranstaltung war das Stadion zu 90% besetzt. Berechne die Gesamteinnahmen, wenn eine Karte im Vorverkauf für 20

€ und an der Stadionkasse für 25 € zu haben war.

19.

1. In einer Klasse singen 12 Schüler im Chor, das sind ca. 39% der Schüler dieser Klasse. Schreibe einen Rechenausdruck auf, mit dem die Zahl der Schüler dieser Klasse berechnet werden kann, und führe eine Überschlagsrechnung durch!

2. Wie viel % von 2400 kg sind 72 kg?

20. Laura findet eine Brieftasche mit 1125 € Inhalt. Der glückliche Besitzer der Brief- tasche zahlt den gesetzlichen Finderlohn von 5% für die ersten 500 € und 3% für den Rest. Wie hoch ist der Finderlohn?

21. In einem Baumarkt werden zwei Artikel zu Einzelpreisen von 65 € und 47,50 € angeboten. Beide Artikel zusammen bekommt man für 102 €.

Wie hoch sind die Rabatte in Prozent, wenn für den ersten Artikel der Rabatt 2,5-mal so hoch ist, wie der Rabatt für den zweiten?

22. Eine Person steigt eine Treppe mit 50 Stufen empor. Jede Stufe ist 16 cm hoch und 35 cm tief. Wieviel Prozent Steigung überwindet die Person?

Hinweis: Steigung ist der Quotient aus Höhendifferenz und Horizontaldifferenz.

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Berufskolleg Opladen Prozentrechnen ^{C 4}

Übungsskript Höhere Handelsschule und Wirtschaftsgymnasium – Jahrgangsstufe 11 C 10 Lösungen:

Allgemeine Erklärung:

Allg. Formel: Anteil = Gesamtheit * Prozentsatz kurz: A = G * P

100% = 100 /100 = 1 oder 40% = 40/100= 0,4 Lösungen:

1. 45% entspricht 270 ist der Anteil, gefragt ist nach der Gesamtheit also 100%.

Einsetzen in Formel: 270 = G * 0,45  G = 270 / 0,45 = 600 600 Zeugnisse 2. 1920,45 = G * 0,105  G= 18290  18.290 Euro

3. Umrechnen: 1 GB entspricht 1000 MB; A = 50 * 2 = 100 MB a) Freier Platz: 1000 – 100 = 900 MB; einsetzen in Formel:

900 = 1000 * P  P= 900/1000 = 0,9 = 90%  90% sind noch frei.

b) noch frei: 100% - 60% = 40%=0,4 ; A = 1000 * 0,4= 400 MB Größe der neuen Bilder: 2*2 MB= 4 MB

Anzahl Bilder: 400 / 4 = 100 100 Bilder

4. Einsetzen in Formel A = G * P  80 = 120 * P  P = 80/120=0,6667= 66,67%

Rest der Wassermenge in % = 100% - 66,67 = 33,33%

5. A = G * P  367,54 = 399,50 * P = 367,54/399,50 = 0,6667 = 92 %  Sie bezahlt 92%, d.h. hat einen Preisnachlass von 100% - 92% = 8%

6. Der Unternehmer bezahlt jetzt: 100% + 5,5% = 105,5% (= 8229 €) Einsetzen in Formel A = G * P  8229 = G * 1,055  G = 7800 Euro 7. G = 120 kg schwer.

a) 100% - 15% = 85%  A = 120 * 0,85 = 102 kg b) A = 102 * 0,85 = 86,7 kg

c) einsetzen in Formel 120 = 86,7 * P  P = 120 / 86,7 = 1,3840 = 138,40%

 138,40% - 100% = 38,4% hat er zugenommen.

8. Creme Fraiche: A = 125 *0,30 = 37,5 g Fett Butter: 37,5 = G * 0,82  G = 45,73 g

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Berufskolleg Opladen Prozentrechnen ^{C 4} 9. A = 400 *0,2 = 80  Preis neu = 320 Euro;

320 *0,1 = 32  Preis neu2 = 320 - 32 = 289 Euro.

A = 400 * 0,3 =120  Preis neu3 = 400 – 120 = 280 Euro

Man bezahlt weniger, da der Preis einmal um 10% von 320 und bei zweiten mal um 10% von 400 Euro reduziert wird.

10. A = 15,6 * 1,15 = 17,94 11.

Sportart Ski ja Ski nein

Snowboard ja 60% - 5% = 55% 11 S 30%-25% = 5% 60%

Snowboard nein

70% - 55% = 15% 25% 100%-60%= 40%

70% 100% - 70% = 30% 100%

11 Schüler entsprechen 55%

11 = G * 0,55  G = 20 Schüler

12. Kaufpreis ohne Rabatt: 28500 Euro; Preis mit Rabatt: 28500 * 0,88 = 25080 Euro P = 25080 / 27500 = 91,2%

13.

Fussballer Strafe in Prozent A. Mateur 20.000 € 13%

B. Trüger 50.000 € 33%

C. Rung 15.000 € 10%

D. M. Lich 30.000 € 20%

E. Goist 35.000 € 23%

Summe 150.000 € 100%

mind. 20% 77%

14. 12.000*0,97= 11.640 Euro

15. Film gewählt: 0,4*25 = 10; Eine unbekannte Stimme.

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Berufskolleg Opladen Prozentrechnen ^{C 4}

Übungsskript Höhere Handelsschule und Wirtschaftsgymnasium – Jahrgangsstufe 11 C 12 16. vorher: Erwachsene: 120*0,75 = 90; Jugendliche: 120 *0,25 = 30

Nachher: Gesamtanzahl: 135;

Anzahl Erwachsene 100; Anteil = 100/135=74,1%

Anzahl Jugendliche 35; Anteil = 35/135=25,9%

17. A + B + C = 100%; B = 0,7 * A  A = 1/0,7*B =1,43*B ; C = 0,8*B 1,43 B + B + 0,8 B = 3,23 B = 1  B = 30,96%; A = 44,27%; C = 24,77%

Wähler: B = 30,96%; A = 44,27%; C = 24,77%

A 30,96% 132102,605

B 44,27% 188894,778

C 24,77% 105690,618

Summe 100% 426688

18. Ges. Anzahl Karten: 0,9 * 20000 = 18.000 Vorverkauf: 12.000 * 20 = 240.000

Abendkasse: 6.000 *25 = 150.000 390.000 Euro 19.

1. 12 = G * 0,39  G= 12/0,39 = 30,76 bzw. Überschlag: 12 / 0,4 = 30 2. = 72/2400 = 3%

20. 5% von 500 = 25 / 3% von 625 = 18,75 -> 43,75 Euro 21. r := Rabatt ; r1 = 2,5 *r2

Gleichung aufstellen:

102 = 65 *(1-r1) + 47,50 * (1-r2)  ausmultiplzieren und einsetzen

102 = 65 – 65 *2,5 * r2 + 47,50 – 47,5*r2 = 112,50 – 210 r2  - 112,50  / -210 -10,5 = - 210 r2  r2=5% r1=12,5%

22. Höhe: 50 *0,16m = 8 m / Weite: 50*0,35 = 17,50m 8 / 17,5 = 45,71%

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Dreisatz C 5

Aufgaben - Dreisatz

1. Ein Taxi verbraucht auf 100km 6 Liter Benzin. Wie viele Liter braucht dieses Auto auf 300 km? Wie viele Kilometer fährt das Taxi mit 120 Liter Benzin?

2. Eine alleinerziehende Mutter kauft für sich und ihre fünf Kinder immer 3,5 kg Bohnen in der Woche. Während der Ferien kommen weitere 4 Kinder zum Essen.

Wie viel Bohnen muss sie kaufen, wenn sie sich und die Kinder 12 Tage versorgen möchte?

3. 18.000 Platinen können mit 10 Maschinen in 10 Tagen zu je 9 Arbeitsstunden hergestellt werden. Wie viel Platinen können mit 8 Maschinen, die 25 Arbeitstage zu je 6 Stunden arbeiten hergestellt werden?

4. Eine Mauer kann mit 25 Maurern in 30 Arbeitstagen mit je 8 Stunden fertiggestellt werden. Nach der Hälfte der Zeit fahren 5 Arbeiter in den Urlaub. Wie lange brauchen die restlichen Arbeiter, wenn sie nun 9 Stunden am Tag arbeiten?

5. Bisher konnten 8 Arbeitskräfte in 24 Tagen 96 Winterjacken fertigen. Aufgrund eines Kälteeinbruchs brauchen wir nun 126 Jacken in 16 Tagen. Die tägliche Arbeitszeit wird dafür von 8 auf 9 Stunden erhöht. Wie viele Arbeitskräfte müssen zusätzlich eingestellt werden?

6. In einem Zeltlager sind für 60 Urlauber für 10 Tage 300 kg Nudeln gekauft worden.

Wie viele Nudeln müssten zusätzlich gekauft werden, wenn 10 Urlauber mehr kommen und sich der Urlaub um 6 Tage verlängert?

7. Vier Verpackungsautomaten verpacken in 20 Stunden 560 kg Nudeln.

 Wie viele Kilo können mit 3 Automaten in 8 Stunden verpackt werden?

 In welcher Zeit werden bei 2 Automaten 1440 kg verpackt?

 Wie viele Automaten werden für 720 Kilo in 5 Stunden benötigt?

8. Um 5120 Straßenschilder auszustanzen, müssen 16 Stanzen je 8 Stunden lang eingesetzt werden. Um viele Stunden muss die tägliche Arbeitszeit erhöht werden, wenn 4800 Teile täglich hergestellt werden sollen und 4 Stanzen zusätzlich

eingesetzt werden.

9. Eine Heizungsanlage sollte von 18 Installateuren bei einer täglichen Arbeitszeit von 8 Stunden in 18 Tagen eingerichtet werden. Zwei Installateure fallen wegen

Krankheit aus, weitere vier wegen Urlaub. Um viele Stunden muss die Arbeitszeit erhöht werden, wenn die Heizung termingerecht in Betrieb genommen werden soll?

10. 3 Minijobber können in 10 Stunden 4000 Flyer verteilen.

 Wie viele Stunden werden 4 Minijobber benötigen, um 8000 Flyer zu verteilen?

 Wie viele Minijobber müssen eingestellt werden, um 8000 Flyer in 3 Stunden zu verteilen?

 Wie viele Flyer können 4 Minijobber in 6 Stunden verteilen

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Übungsskript Höhere Handelsschule und Wirtschaftsgymnasium – Jahrgangsstufe 11 C 14 Grundsätzliches:

 Zunächst ist zu entscheiden: In welchem Verhältnis stehen die Angaben zum gesuchten Ergebnis: proportional oder antiproportional?

 Beim einem proportionalen Verhältnis kommt die Zahl in den Zähler (-> auf den Bruchstrich) und bei einem antiproportionalen Verhältnis kommt die Zahl in den Nenner (-> unter den Bruchstrich)

E Ergebnis

1. E = 6 *300 / 100 = 18  18 Liter E = 120 *100 / 6 = 2000  2000 km 2. E = 3,5 * 10 * 12 / (6 * 7) = 10  10 kg

3. E = 18000 * 8 * 25 * 6 / (10 * 10 * 9) = 24000  24.000 Platinen 4. Die Mauer benötigt: 25 *30 *8 = 6000 Arbeiterstunden

Eine halbe Mauer fehlt bzw. es sind 3000 Arbeiterstunden zu leisten und und es stehen jetzt noch 20 Arbeiter zur Verfügung: E = 3000 / (20 * 9) = 16,67 Tage

5. Arbeitsstunden pro Jacke: 8 * 8 * 24 / 96 = 16 zu leistende Arbeit in Stunden: 126 * 16 = 2016

Benötigte Arbeitskräfte E = 2016 / (9 * 16) = 14  6 Neueinstellungen

6. Nudelbedarf pro Urlauber und Tag: 300 / (60 *10) = 0,5 kg Neuer Nudelbedarf: 0,5 *70 * 16 = 560 kg 14  260 kg mehr 7. Leistung pro Automat und Stunde: 560 / 4 * 20 = 7 kg

 E = 7 * 3 * 8 = 168 Kilo

 E = 1440 / (2*7) = 102,86 Stunden

 E = 720 /(5 *7) = 20,57  21 Automaten 8. Stunden pro Teil: 8 * 16 / 5120 = 0,025

Benötige Stanzenstunden: 0,025 * 4800 = 120 Stunden Arbeitszeit = 120 /12 = 10  2 Stunden

9. Benötige Installateurstunden: 18 * 8 * 18 = 2592 Arbeitszeit: 2592 / (12 * 18) = 12  4 Stunden

(16)

10. Zeit pro Flyer: 3 * 10 / 4000 = 0,0075

 E = 8000 * 0,0075 / 4 = 15  15 Stunden

 E = 8000 * 0,0075 / 3 = 20  20 Minijobber

 E = 4 * 6 / 0,0075 = 3200  3200 Flyer

(17)

Bruchrechnen C 6

Übungsskript Höhere Handelsschule und Wirtschaftsgymnasium – Jahrgangsstufe 11 C 16 Aufgaben – Bruchrechnen

Berechne und kürze wenn möglich

1. ½ + 5/6 + 7/9 - 5/12=

2. 2/3 * 5/7 =

3. 4 4/6 + 3 1/3 * 5 ¼ = 4. 1/8 : 3/5 =

5. 5 (2/5 + 1/10) * (1 – 1/5) = 6. 2/3 * 4 =

7. 4/3 : 2 =

8. 3/5 * (8 – 1/3) =

(18)

Bruchrechnen C 6

Bruchrechnen - Lösung Allgemeines

 Vorgehen bei Addition & Subtraktion: Brüche zum Beispiel durch Erweitern auf den gleichen Nenner bringen. Der Zähler wird dann addiert bzw. subtrahiert.

 Multiplikation: Nenner * Nenner und Zähler mal Zähler.

 Division: Durch Multiplikation des Umkehrbruches.

1. Ermitteln eines gemeinsamen Nenners: 36

Brüche erweitern: = 18/36 + 30/36 + 21/36 - 15/36 Addieren bzw. subtrahieren: = 54 / 36

Kürzen: = 3/2 = 1 1/2 = 1,5 2. = 2*5 / (3*7) = 10 /21

3. Ermitteln eines gemeinsamen Nenners: 12

-> 4 8/12 + 3 4/12 * 5 3/12 = 56/12 + 40/12 + 63/12 = 159/12 = 13 1/4 4. = 1* 5 / (8 * 3) = 5/24

5. = 5 * 5/10 * 4/5 = 100/50 = 2 6. = 8/3

7. 4/3 : 2 = (4:2) / 3 = 2/3 oder 4 *1 /(3*2) = 2/3

8. 3/5 * (8 – 1/3) = 3/5 * 7 2/3 = 3/5 * 23/3 = 69/15 = 4 3/5

(19)

Lineare Funktionen:

Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen im Koordinatensystem

C 7

Übungsskript Höhere Handelsschule und Wirtschaftsgymnasium – Jahrgangsstufe 11 C 18 Aufgabe 1: Lineare Funktionen

Gegeben sind die Graphen von E(x), K(x), oder G(x). (siehe nächste Seite)

1. Skizzieren Sie den/die fehlenden Funktionsgraphen und bezeichnen Sie den/die Funktionsgraphen mit E, K oder G.

2. Geben Sie die Gewinnschwelle an!

3. Geben Sie den Break-Even-Point an!

4. Geben Sie Funktionsterme zu K(x) und E(x) an!

(20)

C 7

(21)

C 7

Übungsskript Höhere Handelsschule und Wirtschaftsgymnasium – Jahrgangsstufe 11 C 20 Hier können Sie die Ergebnisse eintragen:

I.

K(x) = E(x) =

Gewinnschwelle: X = Break-Even-Point: B( / ) II.

K(x) = E(x) =

Gewinnschwelle: X = Break-Even-Point: B( / ) III.

K(x) = E(x) =

Gewinnschwelle: X = Break-Even-Point: B( / ) IV.

K(x) = E(x) =

Gewinnschwelle: X = Break-Even-Point: B( / ) V.

K(x) =

(22)

C 7

E(x) =

Gewinnschwelle: X = Break-Even-Point: B( / ) VI.

K(x) = E(x) =

Gewinnschwelle: X = Break-Even-Point: B( / )

(23)

Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen Im Koordinatensystem - Lösungen

C 7

Übungsskript Höhere Handelsschule und Wirtschaftsgymnasium – Jahrgangsstufe 11 C 22 Lösungen zu Aufgabe 1:

(24)

Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen Im Koordinatensystem - Lösungen

C 7

Lösungen zu Aufgabe 1:

I.

GS(400 / 0) E(x) = ³⁰⁰⁰

400 ∗ 𝑥  E(x) = 7,5∙x

𝑘𝑣 = ^3000−2000

400−0 = 2,5  K(x) = 2,5∙x + 2000

BEP(400 / 3000)

II.

K(x) = 0,005∙x + 200 E(x) = 0,01∙x

Gewinnschwelle: (40.000 / 0) Break-Even-Point: B(40.000 / 400)

III.

K(x) = 1 ⁹

11∙ 𝑥 + 10 E(x) = 3 ⁷

11∙ 𝑥

Gewinnschwelle: (5,5 / 0) Break-Even-Point: B(5,5/ 20 )

IV.

K(x) = 0,05∙x + 300 E(x) = 0,125∙x

Gewinnschwelle: (4.000 / 0) Break-Even-Point: B(4.000 / 500 )

V.

K(x) = 5∙x +1.500.000 E(x) = 10∙x

Gewinnschwelle: (300.000 / 0)

Break-Even-Point: B(300.000 / 3.000.000)

VI.

K(x) = 0,00375∙x + 20 E(x) = 0,00875∙x

Gewinnschwelle: (4.000 / 0) Break-Even-Point: B(4.000/35)

(25)

K-E-G-Funktionen Übungsaufgaben

C 8

Gegeben ist folgende Tabelle:

Mengenangabe in ME 130 250

Gesamtkosten für die ME in € 1.800.000 2.500.000

Gesamterlös für die ME in € 1.000.000 1.923.076,90

a) Bestimmen Sie die Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktion!

b) Errechnen Sie den Break-Even-Point!

c) Die Gewinnschwelle soll um 12 ME vorverlegt werden. Berechnen Sie die neuen Fix- kosten!

a) kv = 5833,33¯

K(x) = 1.800.000 = 5833,33¯∙130 + Kf  Kf = 1.041.666,66¯

K(x) = 5833,33¯∙x + 1.041.666,66¯

E(x) = 7.692,31∙x

G(x) = 1.858,98∙x – 1.041.666,66¯

b) BEP: 1858,98∙x = 1.041.666,66¯

x = 560,34 BEP(560,34 / 4.310.308,99)

c) xs = 548,34

G(548,34) = 1858,98 ∙ 548,34 – Kf = 0 1858,98 ∙ 548,34 = Kf

Kf = 1.019.353,10

(26)

C 8

Aufgabe 3: Lineare Funktionen Gegeben ist folgende Tabelle:

Mengenangabe in Liter 250 350

Gesamtkosten in € pro Liter 300.000 400.000

Gesamterlös in € pro Liter 400.000 560.000

c) Wenn der Preis um 12% gesenkt wird, ergibt sich eine neue Gewinnschwelle. Berech- nen Sie diese!

a) K(x) = 1.000∙x + 50.000 E(x) = 1.600∙x

G(x) = 600∙x – 50.000

b) 1.600∙x = 1.000∙x + 50.000 xs = 83,33¯

E(xs) = 1.600 ∙ 83,33¯ = 133.333,33¯

BEP(83,33¯/133.333,33¯)

c) G(xsneu) = 0

1408 ∙xsneu – 1.000 ∙ xsneu – 50.000 = 0 408 ∙ xsneu = 50.000

xsneu = 122,55

(27)

C 8

Mengenangabe in Tonnen 20 40

Gesamtkosten in € pro Tonne 1.100.000 1.500.000

Gesamterlös in € pro Tonne 1.000.000 2.000.000

c) Um welchen Betrag müssen die variablen Kosten gesenkt werden, damit die Gewinn- schwelle um 2,5 Tonnen früher erreicht wird?

a) K(x) = 20.000∙x + 700.000 E(x) = 50.000∙x

G(x) = 30.000∙x - 700.000

b) BEP: 50.000∙x = 20.000∙x + 700.000

x = 23,33¯ BEP(23,33¯/1.166.666,66¯)

c) xn = 20,83¯

G(20,83¯) = 50.000 ∙20,83¯ - kv ∙20,83¯ - 700.000 = 0 kv = 16.400

Kn(x) = 16.400∙x + 700.000

(28)

C 8

Mengenangabe in Kilogramm 13 33

Gesamtkosten in € pro kg 75.000 77.400

Gesamterlös € pro kg 1.755 4.455

c) Dem Unternehmen sind die Produktionskosten zu hoch. Durch entsprechende Maß- nahmen werden die Fixkosten um 15% gesenkt. Die variablen Stückkosten können um 12 €/kg gesenkt werden. Bei welcher ME wird das Unternehmen jetzt erstmals Ge- winn erzielen?

a) E(x) = 135∙x

K(x) = 120∙x + 73.440 G(x) = 15∙x – 73.440 b) BEP: B(4896/660.960) c) K(x)neu = 108∙x + 62.424

G(x)neu = 27∙x – 62.424

neue Gewinnschwelle: S(2.312/0)

Antwort: Bei einer Menge von X = 2.313 (!) erzielt das Unternehmen erstmals Ge- winn.

(29)

C 8

Mengenangabe in Meter 130 250

Gesamtkosten in € pro Meter 180.000 250.000

Gesamterlös in € pro Meter 100.000 192.307,50

c) Der Preis wird um 23% heraufgesetzt. Kann mit dieser Preiserhöhung das Ziel, schon bei 300 Metern in die Gewinnzone zu kommen, erreicht werden?

(Ergebnisse und Zwischenschritte sind jeweils auf zwei Stellen gerundet!) a) E(x) = 769,23∙x

K(x) = 583,33∙x + 104.167,10 G(x) = 185,9x – 104.167,10 b) BEP: B(560,34/431.030,34)

c) G(x)neu = 946,15∙x – (583,33∙x + 104.167,10) neue Gewinnschwelle: S(287,1/0)

Antwort: Ja, mit dieser Preiserhöhung erreicht das Unternehmen bereits nach 288 verkauften Metern die Gewinnzone.

(30)

C 8

Mengenangabe in ME 200 450

Gesamtkosten in € pro ME 1.300.000 2.500.000

Gesamtgewinn in € pro ME 0 425.000

c) Wie verändert sich die Kostenfunktion, wenn beide Kostenpositionen um 15% erhöht werden? Der Preis wird außerdem um 19% MWSt. erhöht. Berechnen Sie den neuen Break-Even-Point!

(Ergebnisse und Zwischenschritte sind jeweils auf zwei Stellen gerundet!)

a) Vorsicht: Hier ist Gesamtgewinn, nicht Gesamterlös gegeben!

K(x) = 4.800∙x + 340.000 G(x) = 1700∙x – 340.000 E(x) = 6.500∙x b) BEP: B(200/1.300.000)

c) K(x)neu = 5.520∙x + 391.000 E(x)neu = 7.735∙x

BEPneu: B(176,52/1.365.382,20)

(31)

Quadratische Funktionen:

Anwendungsbezogene Übungsaufgaben C 9

Übungsskript Höhere Handelsschule und Wirtschaftsgymnasium – Jahrgangsstufe 11 C 30 Aufgabe 8: Quadratische Funktionen

Der Wasserstrahl eines Springbrunnens hat eine Parabelform und gelangt 3 Meter hoch und 6 Meter weit.

a) Welche quadratische Funktion beschreibt diese Parabel, wenn der Wasserstrahl im Koordinatenursprung ansetzt?

b) Fertigen Sie eine Skizze an!

Nullstellen:

N1(0/0) N2(6/0) Scheitelpunkt: S(3/3) f(x) = a∙(x – 3)² + 3 f(0) = a∙(0 – 3)² + 3 = 0

<=> a =

(Scheitelpunktform bzw. allgemeine Form)

−1 3

(32)

Aufgabe 9: Quadratische Funktionen

Ein Ball wird vom Rand eines Turms in ein ebenes Gelände abgeworfen.

Die Flugbahn wird im angegebenen Koordinaten- system durch die Funktion h mit

h(x) = - 0,05∙x²+ x + 40 beschrieben (Einheiten in m).

a) Wie hoch ist der Abwurfpunkt T?

b) Wo ist der höchste Punkt S der Flugbahn?

c) In welchem Punkt trifft der Ball den Boden?

a) h(0) = -0,05∙0² + 0 + 40 = 40 (m)

Der Abwurfpunkt T befindet sich in 40m Höhe.

b) h(x) = -0,05∙x² + x + 40

= -0,05 (x² – 20∙x – 800)

= -0,05 (x² – 20∙x + 10² - 10² – 800)

= -0,05 [(x – 10)² – 900]

= -0,05 (x – 10)² + 45

Antwort: Der höchste Punkt lautet S(10/45).

c) h(x) = 0 0 = -0,05∙x² + x + 40 0 = x² – 20∙x – 800

x1 = 40 x2 = -20

Antwort: Der Ball trifft in 40m Entfernung auf den Boden. Punkt N(40/0)

(33)

Der Kraftstoffverbrauch eines PKW hängt bekanntlich von der Geschwindigkeit ab.

Durch Messungen wurde der funktionale Zusammenhang ermittelt.

Es gilt:

K(v) = 0,002∙v² - 0,18 ∙v + 8,55 für v > 40

Dabei bedeuten:

K(v) der Kraftstoffverbrauch in Liter/100 km und v die Geschwindigkeit in km/h.

a) Bei welcher Geschwindigkeit beträgt der Verbrauch genau 7 Liter auf 100 km?

b) Bei welcher Geschwindigkeit ist der Kraftstoffverbrauch am geringsten?

K(v) = 0,002∙v² – 0,18∙v + 8,55 für v > 40 a) Ansatz: K(v) = 7

<=> 0,002v² – 0,18v + 8,55 = 7

<=> v² – 90∙v + 775 = 0

quadratische Gleichung mit der Lösung v1 = 45 + √1250 ≈80,36

v2 = 45 - √1250 ≈ 9,6 dieses Ergebnis scheidet aus wegen v > 40!

Antwort: Bei einer Geschwindigkeit von 80,36 km/h ist der Verbrauch 7 Liter/100 km.

b) Der Scheitelpunkt ist das Minimum: vs = 45 K(45) = 0,002 ∙ 45² - 0,18 ∙ 45 + 8,55 = 4,5

Der Verbrauch ist mit 4,5 Liter/ 100 km bei einer Geschwindigkeit von 45 km/h am geringsten.

(34)

Anwendungsbezogene Übungsaufgaben C 9 Aufgabe 11: Quadratische Funktionen

Ein biologischer Versuch zeigt folgende Messwerte:

benötigte Zeit in h 0 2 4 6 8

Anzahl der Zellteilun- gen

0 2 8 18 32

a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

b) Zeichnen Sie den Graphen.

c) Nach welcher Zeit haben 200 Zellteilungen stattgefunden?

d) Wie lange dauert es, bis 1800 Teilungen erfolgt sind?

a) Funktionsgleichung: f(x) = 0,5∙x² b)

c) f(x) = 200 <=> 0,5∙x² = 200

<=> x = 20

Antwort: 200 Teilungen haben nach 20 h stattgefunden.

d) Berechnung siehe Teil c)! Antwort: 1800 Teilungen nach 60 h.

(35)

Ein Bogenschütze schießt einen Pfeil senkrecht in die Höhe. Die Höhe h des Pfeils in Ab- hängigkeit von der Zeit t wird beschrieben durch:

h(t) = -4∙t² + 15∙t + 2 mit h in Metern und t in Sekunden

a) Lösen Sie die Gleichung h(t) = 0 und erläutern Sie die Bedeutung der Lösungen.

b) Zeichnen Sie den Graphen von h(t).

c) Nach welcher Zeit hat der Pfeil wieder die Abschusshöhe ( h = 2 ) erreicht?

d) Bestimmen Sie die größte Höhe, die der Pfeil erreicht.

a) h(t) = -4∙t² + 15∙t + 2 = 0 <=> t² – 3,75∙t – 0,5 = 0 t1≈3,879 ; t2≈ −0,129

Bedeutung der beiden Lösungen: Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Pfeil von einer Höhe h = 2 m abgeschossen. Nach der Zeit t = 3,879 s kommt der Pfeil auf dem Boden h = 0 an.

Würde man den Pfeil vom Boden h = 0 aus abschießen, so benötigte er für die ersten 2 m die Zeit 0,129 s.

b)

c) Ansatz h(t) = 2

<=> -4∙t² + 15∙t + 2 = 2

 t1 = 0 ; t2 = 3,75

Nach t = 3,75 s befindet sich der Pfeil wieder auf der Abschusshöhe von 2 m.

d) ts = 1,875

h(ts) = h(1,875) ≈ 16,063 Die größte Höhe 16,063 m wird nach 1,875 s erreicht.

(36)

Anwendungsbezogene Übungsaufgaben C 9 Aufgabe 13: Quadratische Funktionen

Die abgebildete Stahlbrücke hat eine Spannweite von 100 m und eine Höhe von 30 m.

Fertigen Sie eine vereinfachte Konstruktionszeichnung (mit einem Parabelbogen) in einem

Koordinatensystem (1cm = 10 m) an.

Die beiden inneren Stützen haben einen waagerechten Abstand von 40 m.

Berechnen Sie die Höhe der Stützen.

Lösung zu Aufgabe 13:

Aus der Situationsbeschreibung lassen sich folgende Punkte herauslesen:

P1(0/0) P2(100/0) S(50/30)

Setze den Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform ein:

f(x) = a∙(x – 50)² + 30

Setze einen der beiden Punkte ein. Hier P2: 0 = a∙(100 – 50)² + 30 Nach a auflösen ergibt: -0,012 = a

f(x) = -0,012 (x – 50)² + 30

= -0,012 (x² – 100∙x + 2500) + 30

Man erhält die Funktionsgleichung: f(x) = -0,012∙x² + 1,2∙x

Wegen der Spannweite von 100 m und des waagerechten Abstands der inneren Stützen muss gelten: f(30) = f(70)

f(30) = -0,012∙30² + 1,2∙30 = 25,2

Ergebnis: Die Höhe der Stützen beträgt: 30m – 25,2m = 4,8m

(37)

Die Abbildung zeigt die Konstruktion einer Brücke, die eine Scheitelpunkthöhe von 45 m besitzt.

a) Berechne die Höhen der Stützen bei x = 20m, x = 30m, x = 40m und x = 60m.

b) Ermittle die Spannweite der Brücke in Höhe der x-Achse!

Lösung zu Aufgabe 14:

a) Aus der Zeichnung zu entnehmen: S(0/45) P1(50/20) P2(-50/20) Einsetzen vom Scheitelpunkt: f(x) = a (x – 0)² + 45

Einsetzen von P1: 20 = a∙ (50 – 0)² + 45 Nach a auflösen ergibt: -0,01 = a

Man erhält die Funktionsgleichung: f(x) = -0,01∙x² + 45

Berechnung der Sützenhöhen: f(20) = 41 → 45m – 41m = 4m f(30) = 36 → 9m

f(40) = 29 → 16m f(60) = 9 → 36m b) Ansatz: f(x) = 0

-0,01∙x² + 45 = 0 x² – 4500 = 0

x1 = √4500 ≈ 67,08; x2 = - √4500 ≈ -67,08 N1(67,08/0); N2(-67,08/0)

(38)

Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen:

Übungsaufgaben zu Nullstellen, Extrem- und Wendepunkten

C 10

Aufgabe 15: Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen

Untersuchen Sie folgende Funktionen mit den angegebenen Gleichungen auf:

 Nullstellen

 Extrema

 Wendepunkte

a) f(x) = x⁴ – 3x³ + 4x b) f(x) = x³ – 5x² + 6x – 2 c) f(x) = -x⁴ + 2x³ d) f(x) = x³ + x² + 4 e) f(x) = x² – 4x – 5 f) f(x) = x⁴ - 8x³ + 18x² g) f(x) = x³ – 6x² + 12x – 8 h) f(x) = 2x³ + 2x² – 8x – 8 i) f(x) = 3x³ – 9x² – 27x - 15 j) f(x) = 0,5x³ + 2x² - 5x – 2 k) f(x) = x⁴– 8x³ + 16x² l) f(x) = x⁴ – 6x³ + 4x²

(39)

C 10

Übungsskript Höhere Handelsschule und Wirtschaftsgymnasium – Jahrgangsstufe 11 C 38 Lösung zu Aufgabe 15:

Teil Nullstellen Extrempunkte Wendepunkte

a) (-1; 0);

(0; 0);

(2; 0)

TP (-0,59; -1,62);

TP (2; 0);

HP (0,84; 2,08)

(0; 0) (1,5; 0,94)

b) (0,59; 0);

(1; 0);

(3,41; 0)

HP (0,78; 0,11);

TP (2,55; -2,63)

(1,67; -1,26)

c) (0; 0);

(2; 0)

HP (1,5; 1,69) SP (0; 0);

(1; 1)

d) (-2; 0) HP (-0,67; 4,15);

TP (0; 4)

(-0,33; 4,07)

e) (-1; 0);

(5; 0)

TP (2; -9) -

f) (0; 0) TP (0; 0) SP (3; 27);

(1; 11)

g) (2; 0) - SP (2; 0)

h) (-2; 0);

(-1; 0);

(2; 0)

HP (-1,54; 1,76);

TP (0,87; -12,1)

(-0,33; -5,19)

i) (-1; 0);

(5; 0)

HP (-1; 0);

TP (3; -96)

(1; -48)

(40)

C 10

Hinweis:

HP = Hochpunkt TP = Tiefpunkt SP = Sattelpunkt

j) (-5,65; 0);

(2; 0);

(-0,35; 0)

HP (-3,59; 18,6);

TP (0,93; -4,52)

(-1,33; 7,04)

k) (0; 0);

(4; 0)

TP (0; 0);

HP (2; 16);

TP (4; 0)

(0,85; 7,1);

(3,15; 7,1)

l) (0; 0);

(0,76; 0) (5,24; 0)

TP (0; 0);

HP (0,5; 0,31);

TP (4; -64)

(0,24; 0,15) (2,76; -37,60)