Vergleich verschiedener Modelle
AndreasPallack, Soest
Welche Funktion be- schreibt die Verkaufszah-
len besser?
SteckbriefderAufgabe SekundarstufeII (Analysis) Dauer: 2-3Unterrichtsstunden NotwendigeVoraussetzungen:
SchülerinnenundSchüler
# habenKenntnissederDifferenzial- und Integralrechnung
# verfügenüberelementareModellie- rungskompetenzen
ProzessbezogeneKompetenzen, diemit dieserEinheitgefördert werden können:
SchülerinnenundSchüler
# modelliereneineSachsituation
# vergleichenModelle
# argumentieren mitHilfe einesModells InhaltsbezogeneKompetenzen, diedie- seEinheit verfolgt:
SchülerinnenundSchüler
# arbeiten miteinerFunktionbeschränk- tenWachstums
# vergleichenSummeundIntegral
RollederTechnologie (TI-NspireTM, TI-NspireTMCAS)
# Visualisieren
# Berechnen
MöglicheZugänge, dievonderTechnologieunterstützt werden:
# Graphisch:Nahezu sämtlicheArgumentekönnenaufdergraphischenRepräsentation aufgebaut werden.
# Numerisch:DurchLists & SpreadsheetisteineÜbersetzung indiskreteDatenjederzeit möglich.
# Algebraisch:DiskreteDatenwerdendurchFunktionsgleichungenbeschrieben.
EmpfehlungzurUnterrichtsorganisation:
DieAufgabe istangelehntanAbituraufgabenausdemBerufsbildendenBereich. Entspre- chendsolltedieAufgabe fürUnterrichtszweckeumgearbeitet werden. DieAufgabekannin dieserFormzumWiederholenundÜbeneingesetzt werden.
ReduziertaufdenModellvergleichkanndieAufgabeauch genutzt werden, umSchülerinnen undSchülerfür verschiedeneModellierungenein- und derselbenSachsituationzu sensibili- sieren. IndiesemFallsollte imUnterricht vielPlatzfürEigenaktivitätgeschaffenwerden. Es
Aufgabe:
EinSupermarktführteineneueZahnseide ein. Indenersten5Wochenergebensich folgen- dewöchentlicheVerkaufszahlen:
Verkaufswoche 1 2 3 4 5
VerkaufteStückzahlindieserWoche 22 43 61 75 89 a) BestimmenSiedieGleichung einerParabel, diedieseDatengutbeschreibt. ZeichnenSie dieParabel mitdenDatenpaarenineinKoordinatensystemein.
DieFunktionfmitf(t)=184– 184%e–0,136tbeschreibtmodellhaftdieEntwicklungder wöchent- lichenVerkaufszahlen. Dabei ist tdieZeitinWochen nachderEinführung, f(t) dieverkaufte Stückzahlinnerhalb derWochet.
b) ZeichnenSiedasSchaubildvonf indasSchaubildvonTeilaufgabea) ein. Vergleichen SiediebeidenModelle.
c) Mit welchenwöchentlichenStückzahlen kannderSupermarktlangfristigrechnen?
BestimmenSienäherungsweise, wievielePackungenZahnseidederSupermarktinden ersten52 Wocheninsgesamt verkauft. NachwievielenWochensindinsgesamtmehrals 15 000 Packungenverkauft?
d) BestimmenSiediemomentaneÄnderungsrate int= 1 undt= 25. InterpretierenSiediese Ergebnisse.
Teilaufgabea)
StartenSiedieApplikationGraphs & Geo- metry. GebenSiedieDatenalsListenein (Listeneingeben) und benennenSiediese z. B. mit wo (fürWoche) undst (fürStück- zahl).
ÖffnenSiedieApplikationData & Statistics auf einerneuenSeite. StellenSiedieListen graphischdar, indemsiediebeidenListen- bezeichnungenalsDiagrammvariablenwäh- len.
FührenSie einequadratischeRegression durch. Der GraphderRegressionsfunktion wird danndargestellt. Teilaufgabea) istdamit erledigt.
Teilaufgabeb)
ZeichnenSiedie gegebeneFunktionindas gleicheKoordinatensystem (Funktionzeich- nen).
PassenSiedasKoordinatensystemsoan, dassdieVerläufebeiderGraphenguter- kennbar sind.
Das quadratischeModellbeschreibteinen Verkaufsverlauf, dernachungefähr 10 Wo- chenseinMaximumerreicht undmitder 19.
WochebeiNullangekommenist. Ab der 20.
WochewerdensogarnegativeVerkaufszah- lenerreicht:Die Zahnseide wird also zurück- gebracht?
Das zweitevorgegebeneModellbeschreibt Verkaufszahlen, diezuBeginnstarkund dannimmer schwächeransteigen. DieVer- kaufszahlenscheinensichmittel- bislangfris- tigzu stabilisieren.
MitBlickaufdieSituationerscheintdas zwei- teModellangemessen.
Teilaufgabec)
Entsprechendwirdhierauchmitdemzweiten Modellweitergearbeitet. WenndasModelldie Datengutbeschreibt, kann mandieVer- kaufszahlen nach52 Wochendurch eine Summeberechnen ([k]drückenund die Summeauswählen, umeine entsprechende Vorlagezu öffnen). Manerhält ungefähr 8 300 Stück. DienächsteFragemöchte ich miteinerGleichunglösen. Deswegenwird alternativ zurSumme einIntegralberechnet.
UmdiediskretenDaten mitdemIntergral möglichstgutanzunähern, wurdenalsGren- zen 0,5sowie52,5gewählt. DieFlächenan- teilelinks undrechts vomFunktionswertin derjeweiligenWoche gleichensich–wiedie Rechnungzeigt–augenscheinlichweitge- hend aus.
Hinweis:DieseRechnungensindnurmitTI- NspireTMCASmöglich. DieFunktionen kön- nenaber auchmitHilfe einerTabellenkalku- lationanalysiert werden, wasauchmitTI- NspireTMfunktioniert. DieserLösungsweg wirdimAnschlussandieCAS-Lösungange- rissen.
DieVerkaufszahl nachxWochenberechnet sich gemäßdermitHilfedesIntegralsbe- rechnetenFunktion. DasErgebnis wirdunter demFunktionsnamenf2 gespeichert (Funkti- onspeichern).
lösen. DiezugehörigeGleichungkannaber näherungsweise gelöst werden (Gleichungen lösen).
Da dasIntegral nurnäherungsweisedieMo- dellwertesummiert, wird dasErgebnisnoch- malsmiteinerSummeüberprüft. Nach88 WochenistdieVerkaufszahl nochnichter- reicht. DieAntwortistalso, dassdie gesuchte Verkaufszahlgemäß (desModells) nach89 Wochenerreicht wird.
NochoffenistdieFrage, wiesichdieVer- kaufszahlen langfristig entwickeln. Einsetzen derZahlen88und89illustriert, dass sichdie VerkaufszahlenzudiesemZeitpunktbereits stabilisierthaben. DieBerechnungdes Grenzwerts ([lim(f1(t),t,")], das"erhältman unter[/,k]) bestätigt, dassdieVerkaufs- zahlensichlangfristigbei 184Stückstabili- sierenund dass 184eineobereGrenze ist.
MitTI-NspireTM(ohneCAS) kanndieAufgabe z. B. mitHilfevonLists & Spreadsheets gelöst werden. GebenSiedieSpaltenformeln wienebenstehendein. Derentsprechende Wert (>15 000) mussdann noch inSpalteC gesucht werden. Natürlichkommtmanzum gleichenErgebnis:Nach89Wochenwurden mehrals 15 000 Stückverkauft.
AuchdaslangfristigeVerhalten lässt sichmit HilfederTabelleanalysieren. Manerhält ebenfalls 184alsGrenzwert.
Teilaufgabed)
DieÄnderungsratenwerdeninGraphs &
Geometrybestimmt. Natürlichkönntendafür auchdieAbleitungenberechnet werden. Öff- nenSie eineneueSeitemitder Applikation Graphs & Geometry. InderEingabezeile wählenSiedieFunktionf1 aus. Diesewird ausdenvorherigenSeitenübernommen, da innerhalbeinesProblemsaufsämtlicheVari- ablenzugegriffenwerden kann. NachDrü- ckenvon[·]wird derGraph gezeichnet.
StellenSiedieKoordinatenachsensoein, dassdieFunktionswerteandenStellen 1 und 25abgelesenwerden können.
KonstruierenSie eineTangenteandenGra- phenund bestimmenSiesodieAbleitung (Funktionableiten:graphisch). Bestimmen SiezusätzlichdieKoordinatendesPunktes, andemdieTangenteangelegt wird (Koordi- natenbestimmen).
DrückenSie[d], umdiebisherigenAktio- nenzubeenden. MiteinemDoppelklick [x,x]aufdiex-Koordinatekannder x-Wert durchEingabeüberdieTastaturgewählt werden. GebenSiezuerstdie 1 ein. Man erhälteineSteigung (momentane
Änderungsrate) vonungefähr 21,84.
AlternativkannderPunktauchaufdieStellen gezogenwerden. DabeitrifftderPunktaber inderRegeldie gewünschtenKoordinaten nichtgenau.
DenzweitenWerterhältmandurchEingabe von 25. DiemomentaneÄnderungsratebe- trägthier ungefähr 0,84.
Dasbedeutet, dass sichzuBeginn (inder erstenWoche) dieVerkaufszahlen massiv verändern. Siesteigenvondererstenzur zweitenWocheum mehrals 20 Stück. Nach 25WochensindnurnochleichteAnstiege (ungefähreinePackungmehrproWoche) zu verzeichnen.
gaben:AndieRealitätangelehnte, eingekleideteAufgaben.
DermangelndeRealitätsbezugzeigt sichunteranderemdurch:
# dieBildung einesModellsaufderBasisnur wenigerZahlen,
# dieVerwendung kleiner Verkaufszahlen, die imNormalfall großenSchwankungen unter- liegensowie
# demAusblendenvonVerkaufsschwankungeninGänzebeiderArbeitmitdemModell.
Eine solche Analyse würde man wohl unter marktwirtschaftlichen Gesichtspunkten nicht durchführen. Trotzdem ermöglicht diese Aufgabe die Plausibilität von Modellen zu untersu- chen, und zwar in einemfürSchülerinnen und Schülernüberschaubaren und gutkontrollier- barenFall.
DieAufgabe istdeswegendurchausgeeignet, umzu überprüfen, obSchülerinnenundSchü- ler mit vorgegebenenModellen arbeiten und diese imgegebenen Sachkontextinterpretieren können. Um die Aufgabe auch im Unterricht gewinnbringend bearbeiten zu können, sollten nur Teilaufgaben behandelt und diese zusätzlich geöffnet werden, um die Pluralität von Lö- sungswegenzubegünstigen.
Aufbauend aufDiskussionen zu solchenAufgaben sollten imUnterricht auch echte Progno- sen (wiez. B. dieEntwicklungdes Ölpreises) behandelt werden, umzu zeigen, dass dieBil- dung einesModellsinstarkemMaßedurchseineAnnahmengeprägtist. DazueinBeispiel:
ZurDrucklegung dieses Heftes überstieg der Ölpreis pro Barrel erstmals die 100 $ Grenze.
Noch vor einigen MonatenwurdemitfallendenÖlpreisengerechnet, weswegen vielePrivat- haushaltemitdemKaufvonHeizölfürdenWintermonate warteten. Nun müssen siesichmit dem teuren Öl (umdie75 Cent pro Liter) eindecken. In den Medien findetman nun Schlag- zeilenwie„Ölbald bei 200 $“. Ähnlich häufig (nurnicht unter so großenSchlagzeilen) findet man aber auch gegensätzliche Deutungen. Hier wird mit einer baldigen Rezession, also ei- nem Abschwung in der Wirtschaft, gerechnet, was zu fallenden Ölpreisen führen würde.
Darüber hinaus spielt z. B. die Stärke des € eine nicht zu vernachlässigende Rolle bei der Entwicklung des Ölpreises in Deutschland. Was sollten man also Verbrauchern raten:Jetzt möglichst viel kaufen odernur wenigkaufenund auf fallendePreise hoffen?
Solche komplexen Sachsituation könne zwar im Mathematikunterricht nicht umfassend be- handelt werden, jedoch findenSchülerinnen undSchüler beider (wennauchnuroberflächli- chen) Diskussion solcher realen Entwicklungen Prinzipien und Methoden wieder, die sie im kleinen Rahmen kennen gelernt haben. Entsprechend werden die Lernenden eine andere, kritischerePerspektiveaufModelle entwickeln, die ihnenz. B. inden Medienals wahr vorge- stellt werden.
