Projekt: VWA Thema: WS 2005/06
Empfänger:
Absender: Dittmar Nagel
Anlage-Datum: 22.11.2005 Status-Datum: 08.01.2006
von Hinten: Investitionsplanung und -rechnung, #03
21.11.2005
Alle Foliennummern beziehen sich auf die Ursprungs-PDF’ ohne Lösungen
(vgl. „investition_script_1x4_ol_051111.pdf“, „investition_script_2x4_ol_051111.pdf“).
63
• Der interne Zinsfuß i* eines Projekts ist der Zinssatz, bei dem der Kapitalwert des Projekts Null ist.
Zwar kann man durch Nullsetzung
0 A ) i 1 ( a A q a V
T
1 t
t 0 t *
T
1 t
t 0 t
0=
∑
⋅ − =∑
⋅ + − ==
−
=
−
einen mathematischen Ansatz für die Lösung finden, allerdings handelt es sich schon bei fünf betrachteten Perioden um einen Polynom vierten Grades, sodaß man nicht ohne weiteres nach dem gesuchten Zinssatz i* auflösen kann.
Der interne Zinsfuß wird manchmal auch als die „mögliche Verzinsung des Anfangskapitals“
bezeichnet; diese Interpretation ist wg. der Wiederanlageprämisse realitätsfremd.
In den meisten Fällen ist die Aussage
„Der interne Zinsfuß gibt die Verzinsung des im Projekt gebundenen Kapitals an“
besser – diese Definition ist allerdings nicht mehr tauglich, sobald im Projekt negative Zahlungsüberschüsse vorkommen (die man mit Krediten ausgleichen müßte).
Üblich ist auch eine Bewertung nach der Baldwin1-Methode („Baldwin-Verzinsung“).
Der interne Zinsfuß ist in jedem Falle eine Renditeziffer, die eine Beurteilung der Vorteilhaftigkeit eines Projekts erlaubt.
1 Der Baldwin-Zinssatz ist eine „theoretisch saubere“ Fortentwicklung des Internen Zinsfußes. Das Modell ist praktisch nachvollziehbar: Ein am Anfang bereitgestellter und verzinslich angelegter Betrag dient der Deckung aller Auszahlungsüberschüsse, auf einem zweiten Konto werden die Einzahlungen einschließlich des Verkaufserlöses gesammelt und am Ende bewertet.
Somit werden sowohl Input- als auch Baldwin-Zinssatz berechnet sich zu: 1 KW i NEW
0 N
B= − , wobei
Outputfaktoren entsprechend ihres N= Nutzungsdauer
zeitlichen Interesses ausgewiesen. KW0= Kapitalwert der Auszahlungsüberschüsse in 0 Es wird immer genau eine Lösung EWN= Endwert der Einzahlungsüberschüsse in N
gefunden, Mehrdeutigkeiten oder unsinnige Lösungen sind ausgeschlossen. [Dr. Steffen Metzner]
-1.200,00 368,00 440,00 398,00 456,00
0,1400 01.01.2009 01.01.2005 01.01.2006 01.01.2007 01.01.2008
64
• Beim Projekt A ergäbe sich (wenn man vorher per Taschenrechner oder Excel’s
„XINTZINSFUSS“ den internen Zinsfuß zu 14% bestimmt hätte...):
V 0 1.200
14 , 1
456 14 , 1
398 14 , 1
440 14 , 1
368
4 3 2
1+ + + −−
=
200 . 1 99 , 269 64 , 268 56 , 338 81 ,
322 + + + −
=
=0
65
• Nutzt man die EZÜ der Zahlungsreihe bei Inanspruchnahme eines Kredits (zum internen Zinsfuß) konsequent für Zinsen und Tilgung, so ergibt sich in jedem Zeitpunkt t:
1 t 1 t t KB S
KB = − − − für die Kapitalbindung
t * t KB i
Z = ⋅ für die Zinsen
t t t a Z
S = − für die Tilgung (settlement)
Diese Annahmen stellen also Verwendungsregeln dar, wie das Kapital einzusetzen ist. So ist auch die Definition von Wiederanlageprämissen überflüssig.
Nachteil: bei negativen ZÜ ist das Verfahren nicht mehr tauglich.
• Zur Sensitivitätsanalyse2 kann der interne Zinsfuß genutzt werden:
Der iZF ist der Maximalzinssatz eines Kredits, mit dem ein Projekt finanziert wird – bei höheren Finanzierungskosten würde das Projekt unvorteilhaft
Der iZF ist der Maximalzinssatz einer Alternativanlage eines selbstfinanzierten Projekts, oberhalb dessen das Projekt besser nicht realisiert, sondern das eigene für das Projekt vorgesehene Kapital in die Alternativanlage gesteckt wird.
68
• Zur Definition einer Kapitalwertfunktion3 geht man von einer „Normalinvestition“ aus, die wie folgt definiert ist:
a) Im Projekt gibt es eine oder mehrere (negative) Anfangsauszahlung(en), alle anderen Auszahlungen sind positiv.
0 a0<
0
at> wobei: 1≤t≤T
b) Die Summe der Zahlungsreihe ist positiv: a 0
T
0 t
t>
∑
=2 Eine Sensitivitätsanalyse erlaubt die Sensibilität eines Entscheidungsmodells im Bezug auf unterschiedliche Parameter festzustellen. So können z.B. im Falle einer Investitionsrechnung die Reaktionen auf Veränderungen von Basisgrößen wie Investitionssumme oder Nutzenhöhe untersucht werden. Eine umfassende Beurteilung eines Projekts wird insbesondere durch Erstellung eines Risikoprofils möglich. Zur spartenunabhängigen Sensitivitätsanalyse vgl. insb. das Sensitivitätsmodell nach Prof. Dr. Vester (http://www.frederic-vester.de/).
3 Die Kapitalwertfunktion ordnet jedem Kalkulationszinsfuß i bei gegebenem Zahlungsstrom den zugehörigen Kapitalwert zu.
-100,00 0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
i (Kalkulationszinsfuß) in % Kapitalwert V0
Die Kapitalwertfunktion des Projekts A ergibt sich (unter Anwendung der Excel-Funktion
„XKAPITALWERT“...) als V0=f(i) nach
∑
=− −
⋅
=
T
1 t
t 0 t
0 a q A
V
zu nebenstehendem Grafen; dabei ist bereits der Nulldurchgang der
Abszisse als internem Zinsfuß i* = 14%
und
Ordinate = 462 als Kapitalwert bei i = 0
erkennbar. Da t und a (bei 1t t≥ ) immer positiv sind, ist die Steigung der Kapitalwertfunktion im Bereich −1>i>∞ negativ, die Kapitalwertfunktion fällt monoton (d.h., sie hat keine „Sprünge“).
Um die Kapitalwertfunktion rein qualitativ zu beurteilen wird sie zu
∑
∑
= +=
+
− +
− ⋅
=
⋅
⋅
−
∂ =
∂ T
1 t
1 t t T
1 t
) 1 t t ( 0
) i 1 (
a q t
a i t
V
abgeleitet. Mit der Ableitung lassen sich die Fälle
i⎯⎯→−1
Wenn i gg. -1 geht, geht q gg. Null und damit der Kapitalwert gg. unendlich. Der Graf geht asymptotisch gegen -1.
i=0 (Nulldurchgang der Ordinate) Wenn i Null ist, ist q gerade 1.
Damit wird
der Kapitalwert nun
∑
=
−
T
1 t
0 t A
a oder
∑
= T
0 t
a . t
i⎯⎯→∞
Wenn i gg. unendlich wächst, geht auch q gg. unendlich.
Damit sinkt der Kapitalwert stetig gg. -A0 – der Graf nähert sich asymtotisch -A0 an.
analysieren. Der zweite Nulldurchgang erfolgt beim Kapitalwert Null genau dann, wenn der Zins i dem internen Zinsfuß i* entspricht.
72 Es lohnt sich also immer dann, in ein Projekt zu investieren, wenn der interne Zinsfuß größer ist als der
Kalkulationszinsfuß4: i*>i>0. Das gilt für alle Zahlungsreihen mit einem Vorzeichenwechsel und negativen Auszahlungen am Anfang („−−++++“).
Dem Grafen folgend scheint auch ein lohnendes Projekt denkbar, bei dem der interne Zinsfuß im Negativen, aber immer noch größer als der Kalkulationszinsfuß existiert. Ein negativer Kalkulationszinsfuß ist aber unsinnig und dieser Bereich ist daher von vorneherein auszuschließen.
In Formeln läßt sich dieser Zusammenhang darstellen:
Gilt für eine Zahlungsreihe at<0 in t=0...t (nur Auszahlungsüberschüsse) und at>0 in t=t+1...T (nur Einzahlungsüberschüsse) daß
∑
at>0 (Erfüllung des „Deckungskriteriums“) so folgt i*>0.Gilt darüber hinaus i*>i
so folgt V0>0
und das Projekt ist wg. des positiven Kapitalwerts vorteilhaft.
∑
at<0 kann nicht vorteilhaft sein (vgl. Grafik) und eine Untersuchung ist obsolet.• In der Praxis kommt auch der Fall vor, daß AZÜ’s von EZÜ’s gefolgt werden und das Projekt danach mit AZÜ abschließt („−−−++++−−−“). Das ist z.B.
für Bergbau typisch, bei dem zunächst Kosten durch das Freilegen entstehen und man danach eine Zeit lang Gewinne durch das Ernten hat. Danach entstehen durch das Rekultivieren der Grube zum Projektende wieder Kosten. In einem solchen Fall nimmt die Kapitalwertfunktion nebenstehende Gestalt an.
Das Maximum muß dabei nicht auf der Ordinate, sondern kann im ersten oder zweiten Quadranten liegen.
Zerlegt man die Formel für die Kapitalwertberechnung
∑
=− −
⋅
=
T
1 t
t 0 t
0 a q A
V bzw.
∑
=
⋅ −
=
T
0 t
t t
0 a q
V
in ihre Einzelsummanden und betrachtet den Fall, daß q gegen Null geht (sprich: i geht gegen -1), so ergibt sich:
0 0 qlimV
→ lim(a a q ... a q (T 1) aT q T)
1 1 T
1 0 0 q
−
−
− −
−
→ + ⋅ + + ⋅ + ⋅
=
) q a q a ...
q a a (
lim 0 1 1 T 1 1 T T T
0 q
−
− −
−
→ + ⋅ + + ⋅ + ⋅
=
[
q (a q a q ... a q a )]
lim 1 T
1 1 T
1 T 0 T T 0
q ⋅ + ⋅ + + ⋅ +
= − − −
→
4 Marktzins
i*
Projekt A 462 0,14 Projekt B 364 0,13
∑at
i*
Projekt A 462 0,14 Projekt C 552 0,12
∑at
Für den Fall, daß q gegen Null geht, werden alle Summanden in der Klammer außer dem letzten zu Null.
Es ergibt sich:
T T 0 0 q 0
q q
lim a V
lim→ = → und da a (wg. „T −−−++++−−−“) immer negativ ist: =−∞
→ 0
0 qlimV Zudem ergibt sich aus dem Grafen: für den Fall 0<i*<i gilt V0<0 für den Fall 0<i<i* gilt V0>0
Auch im Falle eines Investitionsprojekts nach dem Muster „−−−++++−−−“ führt es also zu einem positiven Kapitalwert und der Vorteilhaftigkeit des Projekts, wenn der interne Zinsfuß den
Kalkulationszinssatz übersteigt und zu einem negativen Kapitalwert, wenn der Kalkulationszinssatz größer als der interne Zinsfuß ist.
80
• Entscheidungen zwischen einander ausschließenden Projekten
Beispielauswahl von Projekten: Projekt A: at = {-1.200, 368, 440, 398, 456} i* = 0,14 Projekt B: at = {-1.000, 330, 304, 278, 452} i* = 0,13 Projekt C: at = {-1.400, 268, 356, 432, 896} i* = 0,12 Projekt D: at = {-800, 220, 205, 390, 345} i* = 0,15 Æ Vergleich zwischen A und B:
Erstellt man die Kapitalwertfunktion, so zeigt sich, daß A für jeden
Kalkulationszinssatz einen höheren Kapitalwert als B hat: A dominiert B und deshalb kann für die weiteren Überlegungen B ausgeschlossen werden.
Da es aufwändig ist, für eine solche Überlegung die Kapitalwertfunktion zu erstellen, kann man sich für eine Betrachtung auf die beiden Schnittpunkte
der Achsen beschränken: der Abszissenschnittpunkt wird durch den internen Zinsfuß und der Ordinatenschnittpunkt durch die Summe der
Zahlungen festgelegt. In diesem Falle also wie in nebenstehender Tabelle dargestellt.
Æ Vergleich zwischen A und C:
Betrachtet man bei diesem Vergleich die beiden Schnittpunkte, zeigt sich keine Dominanz. Stattdessen gibt es einen Schnittpunkt bei k der beiden Kapitalwert- funktionen; steigt der Kalkulationszins- satz darüber, ist A vorteilhafter, sinkt er darunter, ist C vorteilhafter. Wie findet man diesen kritischen Zinssatz k?
Man könnte die beiden Kapitalwert- funktionen gleichsetzen, was aber
aufwändige Rechnereien zur Folge hätte. Stattdessen bestimmt man besser den internen Zinsfuß des (virtuellen) Differenzprojekts, der
genau diesen Punkt darstellt.
i*
Projekt A 462 0,14 Projekt D 360 0,15
∑at
Man stellt sich also im Grunde die Frage, ob sich neben dem Projekt A (das die kleinere Anfangsauszahlung und den höheren internen Zinsfuß hat) eine Mehrinvestition zur
Finanzierung von C lohnt: sie lohnt sich dann, wenn der interne Zinsfuß i* der Differenzinvestition größer ist als der Kalkulationszinssatz i.
Bestimmt man die Differenzinvestition C-A, so ergibt sich ein interner Zinsfuß dafür von iC-A* = 6,7%. Der Zinssatz am Markt sei 6%. Es lohnt sich, das Projekt C durchzuführen.
Regel: i*C−A >i Æ CfA i
i*C−A = Æ C≈A i
i*C−A< Æ CpA
Für die weiteren Überlegungen betrage der Kalkulationszinssatz 9%. Dann macht es keinen Sinn, C zu realisieren. Es bleibt also nurmehr A gegen D zu vergleichen.
Æ Vergleich zwischen A und D:
Anhand der beiden Achsenschnittpunkte erkennt man wieder, daß sich die beiden Kapitalwertkurven schneiden müssen.
Bei diesem Vergleich hat nun das
Projekt D die kleinere Anfangsauszahlung und den höheren internen Zinsfuß. Darum
ist hier die Frage zu stellen, ob eine Mehrinvestition von D auf A lohnt, also die Differenzinvestition A-D zu bilden.
Es ergibt sich ein interner Zinsfuß der Differenzinvestition von iA-D* = 11,4%.
Bei einem Marktzins von 6% ist also die zusätzliche Investition ebenso sinnvoll wie bei einem Zinssatz von 9%. Aus iA-D* > i
folgt, daß Projekt A dem Projekt D vorzuziehen ist. Dieses Ergebnis gilt, obwohl der interne Zinsfuß von D größer als derjenige von A ist(!!). Dies erklärt sich damit, daß die Investionssumme geringer ist und deshalb die Verzinsung weniger erträgt.
Diese Ergebnisse lassen sich nur erzielen, wenn auch die Differenzinvestition wieder eine Normalinvestition5 ist. Sonst gelten diese Regeln nicht.
5 Normalinvestition ist eine Investition, die
genau einen Vorzeichenwechsel hat,
mit Auszahlung(en) beginnt und deren
Summe der Zahlungen größer Null ist.
