UWIS, Testpr¨ ufung 1,

(1)

UWIS, Testpr¨ ufung 1,

” L¨osung“

Thomas Kuster 19. Februar 2005

1 Schwimmendes Schiff (3 Punkte) 2 Kollision mit K¨ anguruhs (3 Punkte) 3 Heisse Bremsen (5 Punkte)

4 K¨ uhlbox (4 Punkte)

5 Akustische Interferenz (3 Punkte)

1

(2)

UWIS, Testpr¨ ufung 1,

” L¨ osung“ 2

6 Optische Absorption eines Molek¨ uls (2 Punkte)

Die harmonische Normalschwingung eines Molek¨ uls hat eine Nullpunkten- ergie E ₀ = 0.3eV. Bei welcher Wellenl¨ ange λ (im Vakuum) absorbiert das Molek¨ ul bei ¨ Ubergang n = 2 → n = 3, wobei n die Vibrationsquantenzahl bedeutet?

Da ich keine Ahnung hatte und Divna einem gesagt hat die Aufgabe sei geschenkt, sie stehe im Tipler, schl¨ agt man diese Bibel (2. Auflage Deutsch) einfach mal auf. Im Index steht Absorptionsspektren zweiatomiger Molek¨ ule (S. 1208ff), dort geht dann weiter zur Gleichung (37.18):

E _vib =

v + 1 2

hν, v = 0, 1, 2, . . . Nun heisst es mal nachdenken. . .

v ist unser n

” Wir schreiben hier nicht n, sondern v. . . “, auch der n¨ achste Satz hat ist wichtig

” Interessant an den Schwingungsenergieniveaus ist, dass sie ¨ aquidistant sind,. . . “, also ist es egal ob von n = 2 → n = 3, n = 1 → n = 2 oder n = 0 → n = 1. Setzen wir einmal ein was wir haben:

E 0 =

0 + 1 2

hν ^λ=

c

=

ν

1 2 h c

λ ⇒ 2E 0 = h c

λ (1)

Nun suchen wir noch die Differenz ∆E zwischen zwei Energieniveaus.

E _n+1 − En = ∆E =

(n + 1) + 1 2

h c

λ − (n + 1 2 )h c

λ =

(n + 1) + 1 2

−

n + 1 2

h c

λ =

n + 1 + 1

2 − n − 1 2

h c λ = h c

λ (2)

Nun haben wir jedoch bei der Gleichung (1) h _λ ^c bekommen, also setzen wir Gleichung (1) gleich mit Gleichung (2):

2E ₀ = ∆E = h c

λ ⇒ λ = hc

2E ₀ = 6.626 · 10 ⁻³⁴ Js 2.998 · 10 ⁸ ms ⁻¹ 2 · 0.3eV · 1.602 · 10 ⁻¹⁹ J eV ⁻¹ = 2.067 · 10 ⁻⁶ m = 2.07µm

Also im IR-Bereich.

(3)

UWIS, Testpr¨ ufung 1,

” L¨ osung“ 3

7 Magnetische Sturm (3 Punkte)

W¨ ahrend eines magnetischen Sturmes, d. h. einer Schwankung des Erdma- gnetfeldes, ausgel¨ ost durch Vorg¨ ange auf der Sonne, schwankt die senkrechte Komponente des Erdmagnetfeldes um 1% pro Minute ungef¨ ahr sinusf¨ ormig um ihren Mittelwert B ⊥ = 10 ⁻⁴ T.

Wie gross ist die Amplitude U ₀ der induzierten Spannung in einem Kabel, welches die St¨ adte Paris, Warschau und Neapel geradlinig verbin- det (Die St¨ adte bilden ungef¨ ahr ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenl¨ ange s = 1350km)?

Wir gehen mal der Reihe nach und formulieren den ersten Satz mal mathematisch, das Erdmagnetfeld schwankt um 1% pro Minute ungef¨ ahr sinusf¨ ormig (also sinusf¨ ormig). Die Periode (T ) ist eine Minute die Schwan- kung ist p = 1% = 0.01 von gegebenen B ⊥ .

B ⊥ p sin(ωt) ^ω=

2π

⇒

T

B ⊥ p sin 2π

T t

Damit h¨ atten wir die Schwankung, und durch Addition des Mittelwertes erhalten wir B(t):

B (t) = B ⊥ + B ⊥ p sin 2π

T t

= B ⊥

1 + p sin 2π

T t

(3) Nun kommen wir zur eigentlichen Aufgabe, die Phyik an der Aufgabe ist zu verstehen, dass ein magnetischer Fluss durch das Leiterdreieck existiert. Dies induziert bekanntlich eine Spannung U ind , welche in der Aufgabe gesucht ist.

U _ind = − ∆Φ _m

∆t = − d

dt Φ _m (4)

Nun fehlt Φ m welches gegeben ist durch:

Φ m (t) = Z

A

B dA (3)

= Z

A

B ⊥

1 + p sin 2π

T t

dA

Da B von t abh¨ angt tut die Φ m nat¨ urlich auch, sieht h¨ asslich aus. B h¨ angt aber nicht von der Fl¨ ache ab, ¨ uber die integriert wird (sondern nur von der Zeit), daher kann B (t) als Konstante behandelt werden (vor das Integral schreiben):

Φ m (t) = B ⊥

1 + p sin 2π

T t Z

A

dA Nun setzten wir das in Gleichung (4) ein:

U ind (t) = − d dt B ⊥

1 + p sin 2π

T t Z

A

dA

(4)

UWIS, Testpr¨ ufung 1,

” L¨ osung“ 4

Dies ist nun die die exakte L¨ osung, bei der U _ind von der Zeit abh¨ angt, da das eingesetzte Φ m ebenfalls von t abh¨ angt. Diese l¨ asst sich nun vereinfachen.

Das Intergral ist ¨ uber die Fl¨ ache der

” Spule“ welche in unserem Fall eine Wicklung hat und durch das Leiterdreieck zwischen den St¨ adten gebildet wird, somit m¨ ussen wir nur die Dreiecksfl¨ ache berechnen A = ^s ₄

²

√

3 und anstelle des Integrals einsetzen.

U ind (t) = − d dt B ⊥

1 + p sin 2π

T t s ²

4 √ 3 Anders schreiben:

U _ind (t) = − d dt B ⊥

s ² 4

√ 3

1 + p sin 2π

T t

Nun leiten wird den Ausdruck nach t ab, da ein _dt ^d vor dem Ausdruck steht:

U ind (t) = B ⊥

s ² 4

√ 3

0 + p 2π T cos

2π T t

=

B ⊥

s ² 4

√ 3p 2π

T cos 2π

T t

Nach draussen schauen und sich nochmals ¨ uberlegen was gesucht ist. Die gr¨ osse der Amplitude U ₀ , also setzen wir den cos ^2π _T t

UWIS, Testpr¨ ufung 1,

UWIS, Testpr¨ ufung 1,

” L¨osung“

Thomas Kuster 19. Februar 2005

1 Schwimmendes Schiff (3 Punkte) 2 Kollision mit K¨ anguruhs (3 Punkte) 3 Heisse Bremsen (5 Punkte)

4 K¨ uhlbox (4 Punkte)

5 Akustische Interferenz (3 Punkte)

1

UWIS, Testpr¨ ufung 1,

” L¨ osung“ 2

6 Optische Absorption eines Molek¨ uls (2 Punkte)

Die harmonische Normalschwingung eines Molek¨ uls hat eine Nullpunkten- ergie E 0 = 0.3eV. Bei welcher Wellenl¨ ange λ (im Vakuum) absorbiert das Molek¨ ul bei ¨ Ubergang n = 2 → n = 3, wobei n die Vibrationsquantenzahl bedeutet?

Da ich keine Ahnung hatte und Divna einem gesagt hat die Aufgabe sei geschenkt, sie stehe im Tipler, schl¨ agt man diese Bibel (2. Auflage Deutsch) einfach mal auf. Im Index steht Absorptionsspektren zweiatomiger Molek¨ ule (S. 1208ff), dort geht dann weiter zur Gleichung (37.18):

E vib =

v + 1 2

hν, v = 0, 1, 2, . . . Nun heisst es mal nachdenken. . .

v ist unser n

” Wir schreiben hier nicht n, sondern v. . . “, auch der n¨ achste Satz hat ist wichtig

” Interessant an den Schwingungsenergieniveaus ist, dass sie ¨ aquidistant sind,. . . “, also ist es egal ob von n = 2 → n = 3, n = 1 → n = 2 oder n = 0 → n = 1. Setzen wir einmal ein was wir haben:

E 0 =

0 + 1 2

hν λ=

=

1 2 h c

λ ⇒ 2E 0 = h c

λ (1)

Nun suchen wir noch die Differenz ∆E zwischen zwei Energieniveaus.

E n+1 − En = ∆E =

(n + 1) + 1 2

h c

λ − (n + 1 2 )h c

λ =

(n + 1) + 1 2

−

n + 1 2

h c

λ =

n + 1 + 1

2 − n − 1 2

h c λ = h c

λ (2)

Nun haben wir jedoch bei der Gleichung (1) h λ c bekommen, also setzen wir Gleichung (1) gleich mit Gleichung (2):

2E 0 = ∆E = h c

λ ⇒ λ = hc

2E 0 = 6.626 · 10 −34 Js 2.998 · 10 8 ms −1 2 · 0.3eV · 1.602 · 10 −19 J eV −1 = 2.067 · 10 −6 m = 2.07µm

Also im IR-Bereich.

UWIS, Testpr¨ ufung 1,

” L¨ osung“ 3

7 Magnetische Sturm (3 Punkte)

W¨ ahrend eines magnetischen Sturmes, d. h. einer Schwankung des Erdma- gnetfeldes, ausgel¨ ost durch Vorg¨ ange auf der Sonne, schwankt die senkrechte Komponente des Erdmagnetfeldes um 1% pro Minute ungef¨ ahr sinusf¨ ormig um ihren Mittelwert B ⊥ = 10 −4 T.

Wie gross ist die Amplitude U 0 der induzierten Spannung in einem Kabel, welches die St¨ adte Paris, Warschau und Neapel geradlinig verbin- det (Die St¨ adte bilden ungef¨ ahr ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenl¨ ange s = 1350km)?

Wir gehen mal der Reihe nach und formulieren den ersten Satz mal mathematisch, das Erdmagnetfeld schwankt um 1% pro Minute ungef¨ ahr sinusf¨ ormig (also sinusf¨ ormig). Die Periode (T ) ist eine Minute die Schwan- kung ist p = 1% = 0.01 von gegebenen B ⊥ .

B ⊥ p sin(ωt) ω=

⇒

B ⊥ p sin 2π

T t

Damit h¨ atten wir die Schwankung, und durch Addition des Mittelwertes erhalten wir B(t):

B (t) = B ⊥ + B ⊥ p sin 2π

T t

= B ⊥

1 + p sin 2π

T t

(3) Nun kommen wir zur eigentlichen Aufgabe, die Phyik an der Aufgabe ist zu verstehen, dass ein magnetischer Fluss durch das Leiterdreieck existiert. Dies induziert bekanntlich eine Spannung U ind , welche in der Aufgabe gesucht ist.

U ind = − ∆Φ m

∆t = − d

dt Φ m (4)

Nun fehlt Φ m welches gegeben ist durch:

Φ m (t) = Z

A

B dA (3)

= Z

A

B ⊥

1 + p sin 2π

T t

dA

Da B von t abh¨ angt tut die Φ m nat¨ urlich auch, sieht h¨ asslich aus. B h¨ angt aber nicht von der Fl¨ ache ab, ¨ uber die integriert wird (sondern nur von der Zeit), daher kann B (t) als Konstante behandelt werden (vor das Integral schreiben):

Φ m (t) = B ⊥

1 + p sin 2π

T t Z

Die harmonische Normalschwingung eines Molek¨ uls hat eine Nullpunkten- ergie E ₀ = 0.3eV. Bei welcher Wellenl¨ ange λ (im Vakuum) absorbiert das Molek¨ ul bei ¨ Ubergang n = 2 → n = 3, wobei n die Vibrationsquantenzahl bedeutet?

E _vib =

hν ^λ=

E _n+1 − En = ∆E =

Nun haben wir jedoch bei der Gleichung (1) h _λ ^c bekommen, also setzen wir Gleichung (1) gleich mit Gleichung (2):

2E ₀ = ∆E = h c

2E ₀ = 6.626 · 10 ⁻³⁴ Js 2.998 · 10 ⁸ ms ⁻¹ 2 · 0.3eV · 1.602 · 10 ⁻¹⁹ J eV ⁻¹ = 2.067 · 10 ⁻⁶ m = 2.07µm

W¨ ahrend eines magnetischen Sturmes, d. h. einer Schwankung des Erdma- gnetfeldes, ausgel¨ ost durch Vorg¨ ange auf der Sonne, schwankt die senkrechte Komponente des Erdmagnetfeldes um 1% pro Minute ungef¨ ahr sinusf¨ ormig um ihren Mittelwert B ⊥ = 10 ⁻⁴ T.

Wie gross ist die Amplitude U ₀ der induzierten Spannung in einem Kabel, welches die St¨ adte Paris, Warschau und Neapel geradlinig verbin- det (Die St¨ adte bilden ungef¨ ahr ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenl¨ ange s = 1350km)?

B ⊥ p sin(ωt) ^ω=

U _ind = − ∆Φ _m

dt Φ _m (4)

Dies ist nun die die exakte L¨ osung, bei der U _ind von der Zeit abh¨ angt, da das eingesetzte Φ m ebenfalls von t abh¨ angt. Diese l¨ asst sich nun vereinfachen.

” Spule“ welche in unserem Fall eine Wicklung hat und durch das Leiterdreieck zwischen den St¨ adten gebildet wird, somit m¨ ussen wir nur die Dreiecksfl¨ ache berechnen A = ^s ₄

T t s ²

U _ind (t) = − d dt B ⊥

s ² 4

Nun leiten wird den Ausdruck nach t ab, da ein _dt ^d vor dem Ausdruck steht:

s ² 4

s ² 4

Nach draussen schauen und sich nochmals ¨ uberlegen was gesucht ist. Die gr¨ osse der Amplitude U ₀ , also setzen wir den cos ^2π _T t

s ² 4

T = 10 ⁻⁴ T · 1350000 ² m ²