Teil 8 Vektoranalysis

Teil 8

Vektoranalysis

8.1 Skalar- und Vektorfelder

Skalarfeld

R ³ 3 P 7→ U (P ) ∈ R alternative Schreibweisen: U = U (x, y, z) = U (~r)

Visualisierung durch Niveaumengen oder Einschr¨ankungen auf achsenparallele Ebenen Vektorfeld

R ³ 3 P 7→ F ~ (P ) ∈ R ³ alternative Schreibweisen: F ~ = F ~ (x, y, z) = F ~ (~r)

Komponenten bzgl. eines kartesischen Koordinatensystems: F x , F y , F z

Visualisierung als Richtungsfeld oder mit Hilfe von Feldlinien Vektorfelder in Polarkoordinaten

auf den Punkt (x, y) = (r cos ϕ, r sin ϕ) bezogene orthonormale Basis

~e r =



 

 cos ϕ sin ϕ



 

 , ~e ϕ =



 



− sin ϕ cos ϕ



 



Darstellung

F ~ (x, y) = F ~ (r, ϕ) = F r ~e r + F ϕ ~e ϕ , F r = F ~ · ~e r , F ϕ = F ~ · ~e ϕ

ϕ r

~e ϕ ~e r

x

y

Vektorfelder in Zylinderkoordinaten

auf den Punkt (x, y, z) = (% cos ϕ, % sin ϕ, z) bezogene orthonormale Basis

~e % =



 

 

 

 cos ϕ sin ϕ

0



 

 

 



, ~e ϕ =



 

 

 



− sin ϕ cos ϕ

0



 

 

 



, ~e z =



 

 

 

 0 0 1



 

 

 



Darstellung

F ~ (x, y, z) = F ~ (%, ϕ, z) = F % ~e % + F ϕ ~e ϕ + F z ~e z

mit

F % = F ~ · ~e % , F ϕ = F ~ · ~e ϕ , F z = F ~ · ~e z

O

x-Achse

y-Achse z-Achse

P

ϕ

̺

z

~e ̺

~e ϕ

~e z

Vektorfelder in Kugelkoordinaten

auf den Punkt (x, y, z) = (r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ) bezogene orthonormale Basis

~e r =



 

 

 



cos ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϑ



 

 

 



, ~e ϑ =



 

 

 



cos ϕ cos ϑ sin ϕ cos ϑ

− sin ϑ



 

 

 



, ~e ϕ =



 

 

 



− sin ϕ cos ϕ

0



 

 

 



Darstellung

F ~ (x, y, z) = F ~ (r, ϑ, ϕ) = F r ~e r + F ϑ ~e ϑ + F ϕ ~e ϕ

mit

F r = F ~ · ~e r , F ϑ = F ~ · ~e ϑ , F ϕ = F ~ · ~e ϕ

x-Achse

y-Achse z-Achse

P

ϕ ϑ

r

~e r

~e ϑ

~e ϕ

8.2 Differentialoperatoren

Gradient

grad U =



 

 

 



∂ x U

∂ y U

∂ z U



 

 

 



f¨ur ein Skalarfeld U (x, y, z)

entspricht Richtung des st¨arksten Anstiegs

invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen alternative Definition:

grad U (P ) = lim

diamV → 0

1 vol V

ZZ

S

U d~ S

mit S der Oberfl¨ache eines den Punkt P enthaltenden r¨aumlichen Bereichs V und nach außen orientiertem vektoriellem Fl¨achenelement d~ S

Divergenz

div F ~ = ∂ _x F _x + ∂ _y F _y + ∂ _z F _z entspricht der Quelldichte

invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen alternative Definition:

div F ~ (P ) = lim

diam V → 0

1 vol V

ZZ

S

F ~ · d~ S

mit S der Oberfl¨ache eines den Punkt P enthaltenden r¨aumlichen Bereichs V und d~ S dem nach außen orientierten vektoriellen Fl¨achenelement

Rotation

rot F ~ =



 

 

 



∂ y F z − ∂ z F y

∂ z F x − ∂ x F z

∂ x F y − ∂ y F x



 

 

 



entspricht der Wirbeldichte

invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen Darstellung mit Hilfe es ε-Tensors

rot F ~

i = X 3 j,k=1

ε ijk ∂ j F k , F ~ = X 3

i=1

F i ~e i

alternative Definition:

(~n ^◦ · rot F ~ )(P ) = lim

diam S → 0

1 area S

Z

C

F ~ · d~r

mit regul¨aren Fl¨achen S mit orientiertem Rand C : t 7→ ~r(t), die den Punkt P enthalten und dort die Normale ~n haben

Laplace-Operator

∆U = div(grad U ) = ∂ ² U

∂x ² + ∂ ² U

∂y ² + ∂ ² U

∂z ² invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen

Rechenregeln f¨ ur Differentialoperatoren Hintereinanderschaltung

• rot(grad U) = ~ 0

• div(rot F ~ ) = 0

• rot(rot F ~ ) = grad(div F ~ ) − ∆ F ~ Produkte

• grad(U V ) = U grad V + V grad U

• div(U ~ F ) = U div F ~ + F ~ · grad U

• div( F ~ × G) = ~ G ~ · rot F ~ − F ~ · rot G ~

• rot(U ~ F ) = U rot F ~ − F ~ × grad U

Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten Transformation von Skalar- und Vektorfeldern

U(x, y, z) = Φ(%, ϕ, z)

F ~ (x, y, z) = F x ~e x + F y ~e y + F z ~e z = Ψ % ~e % + Ψ ϕ ~e ϕ + Ψ z ~e z = Ψ(%, ϕ, z) ~ auf Zylinderkoordinaten x = % cos ϕ, y = % sin ϕ, z = z

grad U = ∂ % Φ~e % + 1

% ∂ ϕ Φ~e ϕ + ∂ z Φ~e z

div F ~ = 1

% ∂ % (%Ψ % ) + 1

% ∂ ϕ Ψ ϕ + ∂ z Ψ z

rot F ~ = 1

% ∂ ϕ Ψ z − ∂ z Ψ ϕ

~e % + (∂ z Ψ % − ∂ % Ψ z ) ~e ϕ

+ 1

% (∂ % (%Ψ ϕ ) − ∂ ϕ Ψ % ) ~e z

∆U = 1

% ∂ % (%∂ % Φ) + 1

% ² ∂ _ϕ ² Φ + ∂ _z ² Φ

Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten

Transformation von Skalar- und Vektorfeldern U (x, y, z) = Φ(r, ϑ, ϕ)

F ~ (x, y, z) = F x ~e x + F y ~e y + F z ~e z = Ψ r ~e r + Ψ ϑ ~e ϑ + Ψ ϕ ~e ϕ = Ψ(r, ϑ, ϕ) ~ auf Kugelkoordinaten x = r cos ϕ sin ϑ, y = r sin ϕ sin ϑ, z = r cos ϑ

grad U = ∂ r Φ~e r + 1

r ∂ ϑ Φ~e ϑ + 1

r sin ϑ ∂ ϕ Φ~e ϕ

div F ~ = 1

r ² ∂ r r ² Ψ r

+ 1

r sin ϑ ∂ ϕ Ψ ϕ + 1

r sin ϑ ∂ ϑ (sin ϑΨ ϑ ) rot F ~ = 1

r sin ϑ (∂ ϑ (sin ϑΨ ϕ ) − ∂ ϕ Ψ ϑ ) ~e r

+ 1

r sin ϑ (∂ ϕ Ψ r − sin ϑ∂ r (rΨ ϕ ))~e ϑ

+ 1

r (∂ r (rΨ ϑ ) − ∂ ϑ Ψ r ) ~e ϕ

∆U = 1

r ² ∂ r r ² ∂ r Φ

+ 1

r ² sin ² ϑ ∂ _ϕ ² Φ + 1

r ² sin ϑ ∂ ϑ (sin ϑ∂ ϑ Φ)

8.3 Integration

Kurvenintegral

Z

C

U = Z b

a

U (~r) | ~r ⁰ (t) | dt

f¨ur eine Kurve C : [a, b] 3 t 7→ ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ^t und ein Skalarfeld U (x, y, z) unabh¨angig von der Parametrisierung und insbesondere der Orientierung

Weg

Kurve mit festgelegtem Durchlaufsinn

C : [a, b] 3 t 7→ ~r(t) =



 

 

 

 x(t) y(t) z(t)



 

 

 



zusammengesetzte Wege: C 1 + · · · + C m

Weg mit umgekehrtem Durchlaufsinn: − C Arbeitsintegral

Z

C

F ~ · d~r = Z b a

F ~ (~r(t)) · ~r ⁰ (t) dt

f¨ur einen Weg C : [a, b] 3 t 7→ ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) ^t und ein Vektorfeld F ~ (x, y, z) bei gleichbleibender Orientierung unabh¨angig von der Parametrisierung;

Anderung des Vorzeichens bei Umkehrung der Durchlaufrichtung ¨ alternative Schreibweise:

Z

C

F x dx + F y dy + F z dz, dx = x ⁰ (t) dt, dy = y ⁰ (t) dt, dz = z ⁰ (t) dt

Fl¨ achenintegral

ZZ

S

U dS = ZZ

D

U(~r(u, v)) | ~n(u, v) | dudv , ~n = ∂ u ~r × ∂ v ~r

f¨ur eine Fl¨ache S : D 3 (u, v) 7→ ~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ^t und ein Skalarfeld U (x, y, z)

unabh¨angig von der Parametrisierung

Flussintegral

ZZ

S

F ~ · d~ S = ZZ

S

F ~ · ~n ^◦ dS = ZZ

D

F ~ (~r(u, v)) · ~n(u, v) dudv

f¨ur eine Parametrisierung D 3 (u, v) 7→ ~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ^t der Fl¨ache S und mit d~ S = ~n ^◦ dS , dS = | ~n(u, v) | dudv

dem vektoriellen Fl¨achenelement in Richtung der Normalen ~n = ∂ _u ~r × ∂ _v ~r

bei gleicher Orientierung des Normalenvektors unabh¨angig von der Parametrisierung; ¨ Anderung des Vor- zeichens bei Umkehrung der Normalenrichtung

Fluss durch einen Funktionsgraph ZZ

S

F ~ · d~ S = ZZ

D

− F x ∂ x f − F y ∂ y f + F z dxdy

f¨ur eine skalare Funktion z = f(x, y) mit Definitionsbereich D und Graph S (Normale mit positiver z-Komponente)

Fluss durch einen Zylindermantel Randkurve % = %(ϕ)

Z 2π 0

z

max

Z

z

min

F % % − F ϕ ∂ ϕ % dz dϕ, F ~ (%, ϕ, z) = F % ~e % + F ϕ ~e ϕ + F z ~e z

(Flussrichtung nach außen)

% = a (Kreiszylinder)

a Z 2π

0 z Z

max

z

min

F % dz dϕ

Fluss durch eine Sph¨ are Radius r = a

Z π 0

Z 2π 0

F r a ² sin ϑ dϕ dϑ, F ~ (r, ϑ, ϕ) = F r ~e r + F ϑ ~e ϑ + F ϕ ~e ϕ

radiales Feld F ~ = f (r) ~e r Fluss 4πa ² f (a)

8.4 Integrals¨ atze

Orientierter Rand einer Fl¨ ache

∂S = C = C 1 + · · · + C m

S links von C i , d.h. das Kreuzprodukt aus Normale ~n von S und Tangentenvektor ~t von C zeigt in die Fl¨ache

Satz von Gauß

ZZZ

V

div F dV ~ = ZZ

S

F ~ · d~ S

mit S der Oberfl¨ache eines K¨orpers V und d~ S dem nach außen gerichteten vektoriellen Fl¨achenelement Volumenberechnung mit Hilfe des Satzes von Gauß

vol(V ) = 1 3

ZZ

S

~r · d~ S

mit S = ∂V und d~ S dem nach außen gerichteten vektoriellen Fl¨achenelement Satz von Gauß in der Ebene

ZZ

A

div F dA ~ = Z

C

F ~ · ~n ^◦ dC = Z

C

F ~ × d~r, F ~ = F x ~e x + F y ~e y

mit

div F ~ = ∂ x F x + ∂ y F y , F ~ × d~r = F x y ⁰ (t) − F y x ⁰ (t) und ∂A = C : t 7→ ~r(t) dem orientierten Rand von A

Fl¨ achenberechnung mit dem Satz von Gauß

area(A) = 1 2

Z

C

~r × d~r

mit ∂A = C : t 7→ ~r(t) dem orientierten Rand von A Satz von Green

ZZ

A

rot F dA ~ = Z

C

F ~ · d~r, rot F ~ = ∂ _x F _y − ∂ _y F _x

mit C : t 7→ r(t) dem orientierten Rand von ~ A

Satz von Stokes

ZZ

S

rot F ~ · d~ S = Z

C

F ~ · d~r

mit C dem orientierten Rand der Fl¨ache S

8.5 Potentialtheorie

Potential

U Potential von F ~ ⇔

F ~ = grad U Arbeitsintegral entspricht Potentialdifferenz

Z

C

F ~ · d~r = U (B) − U (A) = [U ] ^B _A

f¨ur jeden Weg C : t 7→ ~r(t), t ∈ [a, b] von A nach B R

C

F ~ · d~r = 0 f¨ur geschlossene Wege Existenz eines Potentials

Existenz eines Potentials ⇔ Wegunabh¨angigkeit des Arbeitsintegrals ⇔ U (P ) = U (P 0 ) +

Z

C

P

F ~ · d~r

mit C P : t 7→ ~r(t) einem beliebigen Weg, der P 0 mit P verbindet Potential bis auf eine Konstante eindeutig

Integrabilit¨ atsbedingung

F ~ = grad U = ⇒ rot F ~ = 0 Umkehrung g¨ultig f¨ur einfach zusammenh¨angende Gebiete

Konstruktion eines Potentials

grad U = F ~ = (F x , F y , F z ) ^t Integration von F x bzgl. x

U (x, y, z) = Z

F x dx = U 1 (x, y, z) + C 1 (y, z) Integration von F y = ∂ y U = ∂ y U 1 + ∂ y C 1 bzgl. y

C 1 (y, z) = Z

(F y − ∂ y U 1 ) dy = U 2 (y, z) + C 2 (z) Integration von F z = ∂ z U = ∂ z U 1 + ∂ z U 2 + ∂ z C 2 bzgl. z

C ₂ (z) = Z

(F _z − ∂ _z U ₁ − ∂ _z U ₂ ) dz = U ₃ (z) + c

Hakenintegral

F ~ = (F x , F y , F z ) ^t = grad U

U (Q) = U (P ) +

q

1

Z

p

1

F x (x, p 2 , p 3 ) dx +

q

2

Z

p

2

F y (q 1 , y, p 3 ) dy +

q

3

Z

p

3

F z (q 1 , q 2 , z) dz

analoge Integrale bei Permutation der Koordinaten Vektorpotential

A ~ Vektorpotential von F ~ ⇔

F ~ = rot A ~

Existenz eines Vektorpotentials

F ~ = rot A ~ = ⇒ div F ~ = 0 Umkehrung g¨ultig auf einfach zusammenh¨angendem Gebiet

Vektorpotential bis auf ein Gradientenfeld eindeutig bestimmt:

rot B ~ = rot A ~ = ⇒ B ~ = A ~ + grad U

− ∆U = div A ~ (Eichung) div B ~ = 0 Konstruktion eines Vektorpotentials

A(x, y, z) = ~



 

 

 

 



0 R x

x

0

F z (ξ, y, z) dξ − R z z

0

F x (x 0 , y, ζ) dζ

− R x x

0

F _y (ξ, y, z) dξ



 

 

 

 



analoge Formeln durch zyklisches Vertauschen der Variablen