WS2016/17PeterJunghanns Vektoranalysis SkriptzurVorlesung

Skript zur Vorlesung

Vektoranalysis

WS 2016/17 Peter Junghanns

Hinweis: Das vorliegende Skript stellt nur ein Ger¨ ust zu den Inhalten der Vorlesung dar.

Die Vorlesung selbst bietet weiterf¨ uhrende Erl¨ auterungen, Beweise und die ausf¨ uhrliche

Behandlung der Beispiele.

Inhaltsverzeichnis

1 Mehrdimensionale Integralrechnung 7

1.1 Fl¨ achenintegrale . . . . 7

1.2 Variablensubstitution in Fl¨ achenintegralen . . . . 11

1.3 Verallgemeinerung auf den m-dimensionalen Fall . . . . 12

1.4 Beweis der Substitutionsregel . . . . 13

2 Kurvenintegrale 19 2.1 Wege, Kurven und ihre L¨ angen . . . . 19

2.2 Wegintegrale . . . . 22

2.3 Wegunabh¨ angigkeit . . . . 25

3 Oberfl¨ achenintegrale und Integrals¨ atze 29 3.1 Definition der Oberfl¨ achenintegrale . . . . 29

3.2 Integrals¨ atze . . . . 33

3.3 Folgerungen aus den Integrals¨ atzen . . . . 38

3.4 Wirbel- und quellfreie Felder . . . . 39

4 Anhang 43 4.1 Felder in krummlinigen orthogonalen Koordinaten . . . . 43

4.2 Zur W¨ armeleitungsgleichung . . . . 48

4.3 Zum Beweis des Gauß’schen Integralsatzes . . . . 50

3

Literaturverzeichnis

[1] A. B¨ ottcher, Analysis - Skript zur Vorlesung 2010/11 von A. T. Oestreich, http://www.tu-chemnitz.de/mathematik/ang funktionalanalysis/rost/

AnalysisI-II-Mathematiker/Kap1-9.pdf

[2] K. Burg, H. Haf, F. Wille, Vektoranalysis - H¨ ohere Mathematik f¨ ur Ingenieure, Naturwissen- schaftler und Mathematiker, B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden.

[3] K. Burg, H. Haf, F. Wille, Vektoranalysis und Funktionentheorie - H¨ ohere Mathematik f¨ ur Ingenieure (Band IV), B. G. Teubner, Stuttgart.

[4] G. M. Fichtenholz, Differential- und Integralrechnung, Band 3, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin.

[5] H. Fischer, H. Kaul, Mathematik f¨ ur Physiker, Band 1: Grundkurs, B. G. Teubner, Stutt- gart.

[6] H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 2, B. G. Teubner, Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden.

[7] P. Junghanns, Analysis - Skript zur Vorlesung 2013/14, http://www-user.tu-chemnitz.de/∼peju/

5

Kapitel 1

Mehrdimensionale Integralrechnung

1.1 Fl¨ achenintegrale

Es seien B = [a, b] × [c, d] ein Rechteck und f : B −→ [0, ∞) eine stetige Funktion. Wie groß ist das Volumen unter dem Graphen {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ B} der Funktion f , d.h. das Volumen V des K¨ orpers K =

(x, y, z) ∈

: (x, y) ∈ B, 0 ≤ z ≤ f (x, y) ?

Erste Antwort: Der Fl¨ acheninhalt einer Schnittfl¨ ache durch K parallel zur xz-Ebene ist gleich α(y) =

Z

f (x, y) dx , so dass das gesuchte Volumen gleich

V = Z

c

α(y) dy = Z

c

Z

f (x, y) dx

dy

sein m¨ usste. Analog w¨ urde man durch Vertauschen der Rollen von x und y die Formel V =

Z

Z

f (x, y) dy

dx erhalten.

Beispiel 1.1 F¨ ur B = [3, 4] × [1, 2] und f : B −→

, (x, y) 7→ (2x + y)

berechnen wir mittels der in der ersten Antwort vorgestellten Methode V =

ln

.

Zweite Antwort: Zwei Zerlegungen

Z

= {x

, x

, . . . , x

} ∈ Z[a, b] und Z

= {y

, y

, . . . , y

} ∈ Z[c, d]

der Intervalle [a, b] und [c, d] erzeugen eine Zerlegung von B in Teilrechtecke B

= [x

, x

] × [y

, y

] . Wir definieren

m

= inf {f (x, y) : (x, y) ∈ B

} und M

= sup {f (x, y) : (x, y) ∈ B

} . Dann gilt bestimmt

S

(f ; Z

× Z

) :=

n

X

j=1 m

X

k=1

m

∆

≤ V ≤

n

X

j=1 m

X

k=1

M

∆

=: S

(f; Z

× Z

) ,

wobei ∆

= (x

−x

)(y

− y

) =: |B

| den Fl¨ acheninhalt des Teilrechtecks B

bezeichnet.

S

(f ; Z

× Z

) bzw. S

(f ; Z

× Z

) nennt man Darboux’sche Unter- bzw. Obersumme der

7

Funktion f bzgl. der Zerlegung Z

× Z

(vgl. [1, Beweis von Satz 7.2] oder [7, Abschnitt 5.5]).

Wir definieren nun unteres und oberes Darboux’sches Integral als J

(f) = sup {S

(f; Z

× Z

) : Z

∈ Z [a, b], Z

∈ Z [c, d]}

und

J

(f ) = inf {S

(f ; Z

× Z

) : Z

∈ Z [a, b], Z

∈ Z [c, d]}

Definition 1.2 Es seien B = [a, b] × [c, d] ein Rechteck und f : B −→

eine beschr¨ ankte Funktion. Man nennt f auf B Riemann-integrierbar, falls J

(f ) = J

(f ) gilt, und bezeichnet

diese Zahl mit Z Z

B

f (x, y) d(x, y) .

Es ergibt sich nat¨ urlich die Frage, ob erste und zweite Antwort auf das gleiche Resultat f¨ uhren.

Der folgende Satz 1.3 liefert die Antwort “Ja”.

Satz 1.3 (Fubini) Es sei f : B −→

auf dem Rechteck B = [a, b]×[c, d] Riemann-integrierbar.

Existieren die Riemann-Integrale

β(x) = Z

c

f (x, y) dy ∀ x ∈ [a, b] , so gilt

Z Z

B

f (x, y) d(x, y) = Z

a

β(x) dx .

Bemerkung 1.4 Unter den Voraussetzungen der Definition 1.2 ist f genau dann Riemann- integrierbar auf B , wenn eine Zahl J ∈

existiert, so dass es f¨ ur jedes ε > 0 eine Zerlegung Z

× Z

des Rechteckes B gibt mit

J −

n

X

j=1 m

X

k=1

f (ξ

, η

)|B

|

< ε ∀ (ξ

, η

) ∈ B

.

Definition 1.5 Es seien B ⊂

eine beschr¨ ankte Menge und f : B −→

eine beschr¨ ankte Funktion. Ferner seien B

= [a, b] × [c, d] ein Rechteck mit B ⊂ B

sowie

f e (x, y) :=

( f(x, y) : (x, y) ∈ B , 0 : (x, y) ∈ B

\ B .

Wir sagen, dass f auf B Riemann-integrierbar ist, falls f e auf B

Riemann-integrierbar ist, und setzen in diesem Fall

Z Z

B

f (x, y) d(x, y) :=

Z Z

B⁰

f e (x, y) d(x, y) .

Diese Definition ist korrekt, d.h. unabh¨ angig von der Wahl des Rechtecks B

. Mit χ

:

−→

bezeichnen wir die Indikatorfunktion der Menge B ⊂

, d.h.

χ

(x, y) =

( 1 : (x, y) ∈ B ,

0 : (x, y) 6∈ B .

1.1. FL ¨ ACHENINTEGRALE 9 Definition 1.6 Eine beschr¨ ankte Menge B ⊂

heißt Jordan-messbar, wenn die Indikator- funktion χ

auf B Riemann-integrierbar ist. Man nennt dann

|B| = Z Z

B

χ

(x, y) d(x, y)

das Jordan-Maß von B . Eine beschr¨ ankte Menge B ⊂

mit |B | = 0 wird Menge vom (Jordan-)Maß Null oder kurz Nullmenge genannt.

Offenbar gilt f¨ ur B ⊂ B

= [a, b] × [c, d] folgende ¨ Aquivalenzkette:

|B| = 0 ⇐⇒ J

(χ

) = 0 ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ Z

∈ Z [a, b], Z

∈ Z [c, d] : S

(χ

; Z

× Z

) < ε Dabei gilt S

(χ

; Z

×Z

) = X

B⁰_jk∩B6=∅

|B

| . Damit sieht man schnell ein, dass aus |B

| = |B

| = 0 folgt |B

∪ B

| = 0 und dass aus |B

| = 0 sowie B

⊂ B

folgt |B

| = 0 . F¨ ur ein ε > 0 und einen Punkt (x, y) ∈

bezeichnen wir mit U

((x, y)) die (offene) ε-Umgebung um den Punkt (x, y) , d.h.,

U

((x, y)) = n

(x

, y

) ∈

: p

(x

− x)

+ (y

− y)

< ε o .

Satz 1.7 Eine beschr¨ ankte Menge B ⊂

ist genau dann Jordan-messbar, wenn ihr Rand

∂B =

(x, y) ∈

: U

((x, y)) ∩ B 6= ∅ und U

((x, y)) ∩ (

\ B) 6= ∅ ∀ ε > 0 eine Menge vom Maß Null ist.

Sind ϕ

, ϕ

: [a, b] −→

zwei stetige Funktionen mit ϕ

(x) ≤ ϕ

(x) ∀ x ∈ [a, b] , so nennen wir B =

(x, y) ∈

: a ≤ x ≤ b, ϕ

(x) ≤ y ≤ ϕ

(x) einen Normalbereich. Der Graph G

= {(x, f(x)) : a ≤ x ≤ b} einer stetigen Funktion f : [a, b] −→

ist eine Menge vom Maß Null.

Folgerung 1.8 Jeder Normalbereich ist Jordan-messbar.

Satz 1.9 Sind f : B −→

stetig und B ⊂

Jordan-messbar und kompakt, so ist f auf B Riemann-integrierbar.

Folgerung 1.10 Sind f : B −→

stetig und B =

(x, y) ∈

: a ≤ x ≤ b, ϕ

(x) ≤ y ≤ ϕ

(x) ein Normalbereich, so gilt

Z Z

B

f(x, y) d(x, y) = Z

a

Z

f (x, y) dy dx .

Beispiel 1.11 F¨ ur B =

(x, y) ∈

: 0 ≤ x ≤ 1, x

≤ y ≤ √

x und f : B −→

, (x, y) 7→

x

+ y erhalten wir Z Z

B

(x

+ y) d(x, y) = Z

0

Z

√x

x²

(x

+ y) dy dx = 33

140 .

Beispiel 1.12 Wir berechnen das Volumen V eines Ellipsoiden mit den Halbachsen a, b, c ∈ (0, ∞) , d.h. des K¨ orpers

E =

(x, y, z) ∈

: x

a

+ y

b

+ z

c

≤ 1

. Wir erhalten

V = 8 c Z

0

Z

1−^x2

a2

0

r 1 − x

a

− y

b

dy dx = 4πabc 3 . Bemerkung 1.13 Eigenschaften des Riemann-Integrals:

(a) Sind f und g auf B Riemann-integrierbar und α, β ∈

, so ist auch αf + βg auf B Riemann-integrierbar, wobei

Z Z

B

[αf (x, y) + βg(x, y)] d(x, y) = α Z Z

B

f (x, y) d(x, y) + β Z Z

B

g(x, y) d(x, y) gilt. D.h., die Menge der ¨ uber B Riemann-integrierbaren Funktionen ist ein linearer Raum und das Riemann-Integral ein lineares Funktional auf diesem Raum.

(b) Ist |B| = 0 , so gilt Z Z

B

f (x, y) d(x, y) = 0 f¨ ur jede beschr¨ ankte Funktion f : B −→

. (c) Sind f und g auf B Riemann-integrierbar und f (x, y) ≤ g(x, y) f¨ ur alle (x, y) ∈ B mit

evtl. Ausnahme einer Menge vom Maß Null, so gilt Z Z

B

f (x, y) d(x, y) ≤ Z Z

B

g(x, y) d(x, y) .

(d) Sind f und g auf B Riemann-integrierbar, so auch |f| , max {f, g} , min {f, g} und f g . Dabei gilt

Z Z

B

f(x, y) d(x, y)

≤ Z Z

B

|f (x, y)| d(x, y) .

(e) Sind f auf B

und B

Riemann-integrierbar sowie |B

∩ B

| = 0 , so ist f auf B

∪ B

Riemann-integrierbar, wobei Z Z

B1∪B₂

f (x, y) d(x, y) = Z Z

B1

f (x, y) d(x, y) + Z Z

B2

f (x, y) d(x, y) .

(f) Sind f : B −→ [a, b] auf B Riemann-integrierbar und g : [a, b] −→

stetig, so ist g ◦ f : B −→

auf B Riemann-integrierbar.

Bemerkung 1.14 Sind f auf [a, b] und g auf [c, d] Riemann-integrierbar, so ist die Funktion f (x)g(y) auf B := [a, b] × [c, d] Riemann-integrierbar, wobei

Z Z

B

f (x)g(y) d(x, y) = Z

a

f (x) dx · Z

c

g(y) dy .

Bemerkung 1.15 (Mittelwertsatz) Sind B ⊂

Jordan-messbar, f : B −→

Riemann- integrierbar und m ≤ f(x, y) ≤ M f¨ ur alle (x, y) ∈ B mit evtl. Ausnahme einer Menge vom Maß Null, so gilt

m|B| ≤ Z Z

B

f (x, y) d(x, y) ≤ M |B| .

1.2. VARIABLENSUBSTITUTION IN FL ¨ ACHENINTEGRALEN 11

1.2 Variablensubstitution in Fl¨ achenintegralen

Es sei g : Ω −→

, u

v

7→ g(u, v) =

g

(u, v) g

(u, v)

eine injektive, stetig differenzierbare Abbildung auf der offenen Menge Ω ⊂

. Sind R = [u

, u

] × [v

, v

] ⊂ Ω ein “kleines”

Rechteck und R e = g(R) dessen Bild bez¨ uglich der Abbildung g , also i. Allg. ein “krummlinig berandetes Parallelogramm”, so gilt

| R| ≈ e

det

"

g

(u

, v

) g

(u

, v

) g

(u

, v

) g

(u

, v

)

#

· |R| .

Satz 1.16 Die Abbildung g : Ω −→

sei auf der offenen Menge Ω ⊂

injektiv und stetig differenzierbar mit det g

(u, v) 6= 0 f¨ ur alle (u, v) ∈ Ω . Sind B e ⊂ Ω kompakt und Jordan-messbar sowie f : g( B e ) −→

stetig, so ist B = g( B e ) kompakt und Jordan-messbar, und es gilt

Z Z

B

f (x, y) d(x, y) = Z Z

Be

f(g(u, v))| det g

(u, v)| d(u, v) .

J (u, v) := det g

(u, v) nennt man auch die Funktionaldeterminante der Transformation g . Beispiel 1.17 (Polarkoordinaten) Wir betrachten g : [0, ∞) × [0, 2π] −→

, (r, ϕ) 7→

(r cos ϕ, r sin ϕ) . Auf Ω = (0, ∞) × (0, 2π) sind die Voraussetzungen von Satz 1.16 erf¨ ullt, denn dort gilt

det g

(r, ϕ) = det

"

cos ϕ −r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ

#

= r .

Durch geeignete Grenz¨ uberg¨ ange kann man aber zeigen, dass z.B. f¨ ur den Kreis B =

(x, y) ∈

: x

+ y

≤ r

, r

> 0 , und eine stetige Funktion f : B −→

gilt

Z Z

B

f (x, y) d(x, y) = Z Z

R

f(r cos ϕ, r sin ϕ)r d(r, ϕ) mit R = [0, r

] × [0, 2π] .

Beispiel 1.18 (verallgemeinerte Polarkoordinaten) Wir berechnen den Fl¨ acheninhalt |B|

der Ellipse

B =

(x, y) ∈

: x

a

+ y

b

≤ 1

, a > 0, b > 0, und verwenden dazu die Substitution

g(r, ϕ) = (a r cos ϕ, b r sin ϕ) , (r, ϕ) ∈ [0, 1] × [0, 2π] . Es folgt J (r, ϕ) = abr und A = πab .

Beispiel 1.19 Wir berechnen I =

Z

−∞

e

dx = lim

R→∞

Z

−R

e

dx unter Verwendung von

Z

−R

e

dx

= Z

−R

e

dx · Z

−R

e

dy = Z Z

QR

e

d(x, y) , Q

= [−R, R]

, und erhalten I = √

π .

Beispiel 1.20 Wir berechnen den Fl¨ acheninhalt der Menge B ⊂

, die von den Kurven y

= px , y

= qx (0 < p < q) und x

= ay , x

= by (0 < a < b) berandet wird. Unter Verwendung der Substitution

y

= ux , x

= vy , p ≤ u ≤ q, a ≤ v ≤ b , d.h., x = uv

und y = u

v

, erhalten wir J(u, v) = −

und |B | =

.

Beispiel 1.21 Wir nehmen an, dass sich der Bereich B ⊂

unter Verwendung der Polarko- ordinaten in der Form

B = {(r cos ϕ, r sin ϕ) : 0 ≤ r ≤ ρ(ϕ), ϕ

≤ ϕ ≤ ϕ

} mit einer stetigen Funktion ρ : [ϕ

, ϕ

] −→ [0, ∞) schreiben l¨ asst. Es folgt

|B| = Z Z

B

d(x, y) = Z

ϕ1

Z

0

r dr dϕ = 1 2

Z

ϕ1

[ρ(ϕ)]

dϕ . (1.1)

1.3 Verallgemeinerung auf den m-dimensionalen Fall

S¨ amtliche Begriffe aus Abschnitt 1.1 lassen sich problemlos auf Funktionen f : B −→

¨ uber beschr¨ ankten Bereichen B ⊂

ubertragen, indem man zuerst das Riemann-Integral ¨ ¨ uber einem m-dimensionalen Quader [a

, b

] × · · · × [a

, b

] definiert und dann zu beschr¨ ankten Bereichen B ⊂

¨ ubergeht. Der Satz von Fubini kann induktiv verallgemeinert werden. Bem.

1.4, Satz 1.7, Satz 1.9, Bem. 1.14–1.15 und Satz 1.16 gelten analog.

Einen Punkt x ∈

schreiben wir sowohl in der Form x = (x

, . . . , x

) als auch in der Form x =





 x

.. . x





 . Außerdem verwenden wir die Bezeichnungen

|x| :=

v u u t

m

X

k=1

x

und hx, yi :=

m

X

k=1

x

y

f¨ ur den Betrag (Euklidische Norm) und das innere Produkt, wobei x = (x

, . . . , x

) , y = (y

, . . . , y

) ∈

.

Beispiel 1.22 (Zylinder- und Kugelkoordinaten) F¨ ur die Substitution g(r, ϕ, z) = (r cos ϕ, r sin ϕ, z)

gilt det g

(r, ϕ, z) = r , (r, ϕ, z) ∈ [0, ∞) × [0, 2π] ×

(Zylinderkoordinaten). F¨ ur g(r, ϕ, ϑ) = (r cos ϑ cos ϕ, r cos ϑ sin ϕ, r sin ϑ)

erhalten wir det g

(r, ϕ, ϑ) = r

cos ϑ , (r, ϕ, ϑ) ∈ [0, ∞) × [0, 2π] ×

−

,

(Kugelkoordinaten).

Das Volumen der Kugel B =

(x, y, z) ∈

: x

+ y

+ z

≤ R

, R > 0 , ergibt sich damit zu Z Z Z

B

d(x, y, z) = Z

0

Z

2

−^π₂

Z

r

cos ϑ dr dϑ dϕ = 2π · 2 · R

3 = 4πR

3 .

1.4. BEWEIS DER SUBSTITUTIONSREGEL 13 Beispiel 1.23 (verallgemeinerte Kugelkoordinaten) Wir berechnen das Volumen des El- lipsoiden E mit den Halbachsen a, b, c (vgl. Bsp. 1.12) unter Verwendung der Transformation

g(r, ϕ, ϑ) = (ar cos ϑ cos ϕ, br cos ϑ sin ϕ, cr sin ϑ) , (r, ϕ, ϑ) ∈ [0, 1] × [0, 2π] × h

− π 2 , π

2 i

. Wir erhalten J (r, ϕ, ϑ) = abc r

cos ϑ und das Volumen

Z Z Z

E

d(x, y, z) = abc Z

0

Z

−^π

2

Z

r

cos ϑ dr dϑ dϕ = 4πabc 3 . Bemerkung zu verallgemeinerten Riemannschen Integralsummen:

Es seien Z = {B

, . . . , B

} eine (verallg.) Zerlegung des messbaren Kompaktums B ⊂

in zusammenh¨ angende messbare Kompakta B

, so dass |B

∩ B

| = 0 f¨ ur j 6= k , und f : B −→

eine stetige Funktion. Mit d(Z) = max {d(B

) : j = 1, . . . , N } bezeichnen wir den Durchmesser der Zerlegung Z , wobei d(B

) = sup {|x

− x

| : x

, x

∈ B

} . Wir betrachten Summen der Gestalt

N

X

j=1

f (x

)|B

| , x

∈ B

.

Gibt man sich nun ein ε > 0 vor und w¨ ahlt den Durchmesser der Zerlegung so klein, dass

|f (x

) − f(x

)| < ε

|B| + 1 ∀ x

, x

∈ B

, j = 1, . . . , N gilt (gleichm¨ aßige Stetigkeit von f auf B !), so folgt aus Bem. 1.15

Z

Bj

f (x) dx = f (ξ

)|B

| f¨ ur ein ξ

∈ B

und unter Verwendung von Bem. 1.13,(b),(d),(e)

Z

B

f(x) dx −

N

X

j=1

f (x

)|B

|

=

N

X

j=1

f (ξ

) − f (x

)

|B

|

≤ ε

|B | + 1 |B | < ε .

Also: Haben wir eine Folge verallgemeinerter Zerlegungen von B und eine beliebige zugeh¨ orige Folge verallgemeinerter Riemannscher Integralsummen, wobei die Durchmesser der Zerlegungs- folge gegen Null konvergieren, so konvergiert die Folge der verallgemeinerten Riemannschen Integralsummen gegen das Integral der stetigen Funktion f .

1.4 Beweis der Substitutionsregel

Die Verallgemeinerung von Satz 1.16 auf den m-dimensionalen Fall lautet:

Die Abbildung g : Ω −→

sei auf der offenen Menge Ω ⊂

injektiv und stetig differenzierbar mit det g

(u) 6= 0 f¨ ur alle u ∈ Ω . Sind B e ⊂ Ω kompakt und Jordan-messbar sowie f : g( B e ) −→

stetig, so ist auch B = g( B) e kompakt und Jordan-messbar, und es gilt

Z

B

f(x) dx = Z

Be

f(g(u))| det g

(u)| du .

Wir erinnern an den Satz ¨ uber die Umkehrabbildung (vgl. [1, Satz 5.29]):

Sind f : Ω −→

auf der offenen Menge Ω ⊂

stetig differenzierbar, x

∈ Ω , det f

(x

) 6= 0 und y

= f (x

) , so existieren offene Mengen U ⊂ Ω und V ⊂

mit x

∈ U und y

∈ V , so dass f : U −→ V bijektiv und f

: V −→ U stetig differenzierbar sind. Dabei gilt

f

(y) =

f

f

(y)

∀ y ∈ V .

Zum Beweis der Substitutionsregel verwenden wir wesentlich die folgenden S¨ atze 1.24–1.27.

Satz 1.24 (Zerlegungssatz) Es seien m = 2, 3, . . . , Ω ⊂

eine offene Menge, g : Ω −→

, u 7→ (g

(u), . . . , g

(u))

stetig differenzierbar und det g

(u) 6= 0 f¨ ur alle u ∈ Ω . Dann existieren f¨ ur jedes u

∈ Ω eine offene Umgebung W ⊂ Ω von u

und Funktionen

ψ : W −→

, ω : ψ(W ) −→

mit folgenden Eigenschaften:

(a) Das Bild ψ(W ) ist offen.

(b) Die Funktionen ψ und ω sind injektiv und stetig differenzierbar.

(c) Bei geeigneter Numerierung der u

, . . . , u

gilt

ψ(u) = (ψ

(u), . . . , ψ

(u), u

) ∀ u ∈ W und

ω(v) = (v

, . . . , v

, ω

(v)) ∀ v ∈ ψ(W ) . (d) Es gilt g(u) = ω(ψ(u)) f¨ ur alle u ∈ W .

Satz 1.25 Es seien Ω ⊂

eine offene Menge und g : Ω −→

stetig differenzierbar, m ≤ p . Ist N ⊂ Ω eine kompakte Menge vom Jordan-Maß Null, so ist auch g(N ) eine solche Menge.

Satz 1.26 Ist f : K −→

auf der kompakten Menge K ⊂

stetig, so ist auch das Bild f (K) kompakt.

Satz 1.27 Es seien Ω ⊂

eine offene Menge, g : Ω −→

injektiv und stetig differenzierbar sowie g

(x) ∈ G

f¨ ur alle x ∈ Ω . Ist B ⊂ Ω kompakt und Jordan-messbar, so gilt ∂g(B) = g(∂B) , und g(B) ist Jordan-messbar.

Folgerung 1.28 Unter den Voraussetzungen des Satzes zur Substitutionsregel ist B = g( B) e kompakt und Jordan-messbar, so dass wegen der Stetigkeit von f und g sowie g

nach Satz 1.9 die Integrale

Z

B

f (x) dx und Z

Be

f(g(u))| det g

(u)| du

existieren.

1.4. BEWEIS DER SUBSTITUTIONSREGEL 15 Beweis der Substitutionsregel:

(A) Wir nehmen an, dass die Substitutionsregel f¨ ur jeden Quader Q = B e ⊂ Ω gilt, Z

g(Q)

f (x) dx = Z

Q

f (g(u))| det g

(u)| du ,

und betrachten die allgemeine Situation: Es sei F = {Q

, . . . , Q

} eine ¨ Uberdeckung von B e durch W¨ urfel Q

, wobei |Q

∩ Q

| = 0 f¨ ur j 6= k gelte. Wir definieren

M

:= n

j ∈ {1, . . . , r} : Q

∩ ∂ B e 6= ∅ o

, M

= n

j ∈ {1, . . . , r} : Q

⊂ B e o

, F

= [

j∈M_i

Q

. Aus dem Beweis von Satz 1.25 wissen wir, dass die Q

so klein gew¨ ahlt werden k¨ onnen, so dass eine Konstante c

∈

existiert mit |g(Q

)| ≤ c

|Q

| , j = 1, . . . , r . Ist nun ε > 0 beliebig vorgegeben, so k¨ onnen die Q

auch so klein gew¨ ahlt werden, dass |F

| < ε gilt.

Aus B e \ F

⊂ F

folgt | B e \ F

| < ε , so dass |g(F

)| ≤ c

ε und wegen g( B) e \ g(F

) ⊂ g(F

) auch |g( B) e \ g(F

)| ≤ c

ε gilt. Ferner bemerken wir, dass eine Konstante c

∈

existiert, so dass |f(x)| ≤ c

und |f (g(u))| · | det g

(u)| ≤ c

f¨ ur alle x ∈ g( B e ) und alle u ∈ B e gilt.

Aus der gemachten Voraussetzung folgt nun Z

g(F2)

f (x) dx = Z

F2

f (g(u)) | det g

(u)| du . Das impliziert

Z

g(B)e

f (x) dx − Z

Be

f (g(u)) | det g

(u)| du

= Z

g(B)\g(Fe 2)

f (x) dx − Z

B\Fe 2

f(g(u)) | det g

(u)| du

≤ Z

g(B)\g(Fe 2)

|f (x)| dx + Z

B\Fe 2

|f (g(u))| · | det g

(u)| du ≤ c

(c

+ 1)ε.

(B) Es seien B e = [a

, b

]×. . .×[a

, b

] und g(u) von der Gestalt g(u) = (u

, . . . , u

, g

(u)) . Wir verwenden die Bezeichnungen u

= (u

, . . . , u

) und x

= (x

, . . . , x

) , haben also g(u) = g(u

, u

) = (u

, g

(u)) .

1. Fall: det g

(u) > 0 ∀ u ∈ B e Offenbar gilt det g

(u) = ∂g

(u)

∂u

. Es folgt B = g( B e ) =

x ∈

: a

≤ x

≤ b

, j = 1, . . . , m − 1, g

(x

, a

) ≤ x

≤ g(x

, b

) und somit

Z

Be

f (g(u)) | det g

(u)| du = Z

a1

· · · Z

am−1

Z

am

f (u

, g

(u)) ∂g

(u)

∂u

du

du

· · · du

= Z

a1

· · · Z

am−1

Z

f (u

, x

) dx

du

· · · du

= Z

B

f(x) dx .

2. Fall: det g

(u) < 0 ∀ u ∈ B , e analog.

Damit folgt unter Verwendung von (A), dass die Substitutionsregel f¨ ur alle g : B e −→ B der Gestalt g(u) = (u

, . . . , u

, g

(u)) gilt.

(C) B e wie in (B), aber keine weitere Einschr¨ ankung an g . F¨ ur m = 1 gilt bekanntlich die Substitutionsregel. Wir nehmen an, sie gilt f¨ ur m = k − 1 ≥ 1 und zeigen, dass sie dann auch f¨ ur m = k gilt:

• Nach Satz 1.24 existiert f¨ ur jedes u

∈ Ω eine offene Menge U (u

) ⊂ Ω mit u

∈ U (u

) und g(u) = ω(ψ(u)) ∀ u ∈ U (u

) , wobei ω und ψ Satz 1.24,(a)-(c) mit W = U (u

) gen¨ ugen. Da n

U (u) : u ∈ B e o

eine offene ¨ Uberdeckung von B e ist, existieren u

, . . . , u

∈ B e mit B e ⊂

r

[

j=1

U (u

) . Wir zerlegen B e in Teilquader Q

, . . . , Q

, so dass

B e =

s

[

j=1

Q

, |Q

∩ Q

| = 0 f¨ ur j 6= k und

∀ j ∈ {1, . . . , s} ∃ k ∈ {1, . . . , r} : Q

⊂ U (u

) . Auf Q

gilt dann g = ω

◦ ψ

entsprechend Satz 1.24.

• Wir haben nur noch zu zeigen, dass Z

g(Qj)

f (x) dx = Z

Qj

f(g(u)) | det g

(u)| du , j = 1, . . . , s ,

gilt. Betrachten also g : Q −→

, g = ω ◦ ψ , Q = [a

, b

] × . . . × [a

, b

] , ω(v) = (v

, ω

(v)) , ψ(u) = (ψ

(u), . . . , ψ

(u), u

) , wobei g = ω ◦ ψ auf einer offenen Menge U ⊃ Q erkl¨ art ist und ω : ψ(U ) −→

sowie ψ : U −→

injektiv sind.

• Wir definieren Q

= [a

, b

]× . . . ×[a

, b

] , U

k

=

u

∈

: (u

, u

) ∈ U und h

: U

−→

, u

7→ (g

(u

, u

), . . . , g

(u

, u

)) .

Dann sind U

⊂

offen, Q

⊂ U

, h

stetig differenzierbar und injektiv, wobei h

k

(u

) =

∂g

(u

, u

)

∂u

und g

(u

, u

) = ω

(ψ(u

, u

)) = ψ

(u

, u

) , j = 1, . . . , k − 1 , also

∂g

(u

, u

)

∂u

= ∂ψ

(u

, u

)

∂u

, so dass

det h

(u

) = det ψ

(u

, u

) 6= 0 , (det) weil nach der Kettenregel g

(u) = ω

(ψ(u))ψ

(u) gilt. Nach Induktionsvoraussetzung gilt also f¨ ur eine stetige Funktion f e : h

(Q

) −→

Z

h_uk(Q0)

f e (x

) dx

= Z

Q0

f e (h

(u

)) | det h

k

(u

)| du

. (IV)

1.4. BEWEIS DER SUBSTITUTIONSREGEL 17

• Aus

g(u) = ω(ψ(u)) = ω(ψ

(u), . . . , ψ

(u), u

)

= (ψ

(u), . . . , ψ

(u), ω

(ψ

(u), . . . , ψ

(u), u

))

= (g

(u), . . . , g

(u), ω

(g

(u), . . . , g

(u), u

)) folgt

g(u) = ω(g

(u), . . . , g

(u), u

) und ψ(u) = (g

(u), . . . , g

(u), u

) . Die Abbildung v

7→ ω(v

, u

) ist also f¨ ur alle v

∈ h

(Q

) und jedes u

∈ [a

, b

] definiert. Wir setzen

F (v

, u

) := f (ω(v

, u

)) | det ω

(v

, u

)|

und erhalten aus (IV) und (det) Z

h_uk(Q0)

F (v

, u

) dv

= Z

Q0

F (h

(u

), u

) | det h

(u

)| du

= Z

Q0

F (g

(u

, u

), . . . , g

(u

, u

), u

) | det ψ

(u

, u

)| du

= Z

Q0

F (ψ(u

, u

)) | det ψ

(u

, u

)| du

. Es folgt

Z

ψ(Q)

F (v

, u

)d(v

, u

) = Z

ak

Z

h_uk(Q0)

F (v

, u

) dv

du

= Z

a_k

Z

Q0

F (ψ(u

, u

)) | det ψ

(u

, u

)| du

du

= Z

Q

F (ψ(u)) | det ψ

(u)| du = Z

Q

f (g(u)) | det g

(u)| du wegen

F (ψ(u)) | det ψ

(u)| = f (ω(ψ(u)) | det ω

(ψ(u))| · | det ψ

(u)| = f (g(u)) | det g

(u)| . Außerdem folgt aus (B) unter Beachtung von ω(v) = (v

, . . . , v

, ω

(v)) , dass

Z

ψ(Q)

F (v

, u

) d(v

, u

) = Z

ψ(Q)

f (ω(v

, u

)) | det ω

(v

, u

)| d(v

, u

)

= Z

ω(ψ(Q))

f(x) dx = Z

g(Q)

f (x) dx .

Kapitel 2

Kurvenintegrale

2.1 Wege, Kurven und ihre L¨ angen

Unter einem Weg γ in

verstehen wir eine stetige Abbildung γ : [a, b] −→

eines Intervalls [a, b] ⊂

. Die von diesem Weg erzeugte Kurve Γ = Γ

ist das Bild dieser Abbildung,

Γ = {γ (t) : t ∈ [a, b]} . Wir verwenden die Bezeichnungen

γ (t) = γ

(t), . . . , γ

(t)

=

γ

(t) . . . γ

(t)

=







 γ

(t)

.. . γ

(t)









=

γ

(t)

.

Ist Z = {t

, t

, . . . , t

} ∈ Z[a, b] eine Zerlegung des Intervalls [a, b] , so bezeichnen wir mit L(γ, Z) die L¨ ange des Polygonzuges [γ(t

), γ(t

), . . . , γ(t

)] , d.h.

L(γ, Z) =

n

X

k=1

|γ(t

) − γ(t

)| .

Man nennt nun den Weg γ rektifizierbar, wenn L(γ) := sup {L(γ, Z) : Z ∈ Z [a, b]} eine endli- che Zahl ist. In diesem Fall heißt L(γ) die L¨ ange des Weges γ .

Eine Funktion f : [a, b] −→

heißt von beschr¨ ankter Variation, wenn sup

(

X

k=1

|f (t

) − f (t

)| : Z = {t

, t

, . . . , t

} ∈ Z[a, b]

)

< ∞

gilt. Der Weg γ = (γ

, . . . , γ

) : [a, b] −→

ist genau dann rektifizierbar ist, wenn jede Funktion γ

: [a, b] −→

, j = 1, . . . , m , von beschr¨ ankter Variation ist.

Beispiel 2.1 Die stetige Funktion

f : [0, 1] −→

, t 7→

( t sin

: 0 < t ≤ 1 , 0 : t = 0 , ist nicht von beschr¨ ankter Variation, so dass der Weg

γ : [0, 1] −→

, t 7→

"

t f (t)

#

nicht rektifizierbar ist.

19

Sind γ

: [a, b] −→

und γ

: [b, c] −→

zwei Wege mit γ

(b) = γ

(b) , so verstehen wir unter der Summe γ = γ

⊕ γ

den Weg

γ : [a, c] −→

, t 7→

( γ

(t) : a ≤ t ≤ b , γ

(t) : b < t ≤ c .

Offenbar ist der Weg γ genau dann rektifizierbar, wenn die Wege γ

und γ

rektifizierbar sind, wobei L(γ) = L(γ

) + L(γ

) gilt.

Sei γ : [a, b] −→

ein Weg. F¨ ur a ≤ t

≤ t

≤ b bezeichnen wir mit s(t

, t

) die L¨ ange des Weges γ |

. Insbesondere sei s(t) = s(a, t) , a ≤ t ≤ b , die sogenannte Wegl¨ angenfunktion.

Man nennt γ : [a, b] −→

einen Jordanweg, wenn γ : [a, b) −→

injektiv ist. Eine Kurve Γ heißt Jordankurve, wenn sie von einem Jordanweg erzeugt wird.

Satz 2.2 Es seien Γ eine Jordankurve und γ

: [a

, b

] −→

, j = 1, 2 , zwei Γ erzeugende Jordanwege. Dann existiert eine stetige Bijektion ϕ : [a

, b

] −→ [a

, b

] , so dass

γ

(t) = γ

(ϕ(t)) , t ∈ [a

, b

] ,

also γ

= γ

◦ ϕ , gilt. Umgekehrt ist γ

= γ

◦ ϕ : [a

, b

] −→

ein Jordanweg, wenn γ

: [a

, b

] −→

ein Jordanweg und ϕ : [a

, b

] −→ [a

, b

] eine stetige Bijektion sind.

Satz 2.3 Es seien γ

: [a

, b

] −→

ein Weg, ϕ : [a

, b

] −→ [a

, b

] eine stetige Bijektion und γ

= γ

◦ ϕ . Dann sind γ

und γ

gleichzeitig rektifizierbar oder nicht rektifizierbar, wobei L(γ

) = L(γ

) gilt.

Die S¨ atze 2.2 und 2.3 erlauben die folgende Definition der L¨ ange einer Jordankurve: Ist γ ein die Kurve Γ erzeugender Jordanweg, so ist die L¨ ange von Γ gleich L(γ) .

F¨ ur den Beweis des Satzes 2.5 ben¨ otigen wir den folgenden Satz. Ist f = (f

, . . . , f

) : [a, b] −→

mit Riemann-integrierbaren Funktionen f

: [a, b] −→

, j = 1, . . . , m , gegeben, so vereinbaren wir die Bezeichnung

Z

f (t) dt = Z

a

f

(t) dt

j=1

. Satz 2.4 Ist f : [a, b] −→

stetig, so gilt

Z

a

f(t) dt

≤ Z

a

|f (t)| dt .

Satz 2.5 Ist γ : [a, b] −→

ein stetig differenzierbarer Weg, so gilt s

(t) = |γ

(t)| , t ∈ [a, b] , und somit

L(γ) = s(a, b) = s(b) − s(a) = Z

a

s

(t) dt = Z

a

|γ

(t)| dt . Beispiel 2.6 Wir berechnen den Umfang eines Kreises mit dem Radius r ,

{(r cos t, r sin t) : t ∈ [0, 2π]} .

Beispiel 2.7 Die L¨ ange einer Volldrehung der Schraubenlinie mit dem Radius r und der Gang- h¨ ohe h ,

r cos t, r sin t, ht 2π

: 0 ≤ t ≤ 2π

ist gleich p

(2πr)

+ h

.

2.1. WEGE, KURVEN UND IHRE L ¨ ANGEN 21

−1

−0.5 0

0.5 1

−1

−0.5 0 0.5 1 0 1 2 3 4

x x = cos(t), y = sin(t), z = t/π

y

z

Zwei Volldrehungen der Schraubenlinie mit dem Radius 1 und der Gangh¨ohe 2

Beispiel 2.8 Die L¨ ange der Kurve, die durch den Graphen einer stetig differenzierbaren Funk- tion f : [a, b] −→

beschrieben wird, ist gleich

Z

p 1 + [f

(t)]

dt .

Man nennt einen Weg γ : [a, b] −→

glatt, wenn er stetig differenzierbar ist und γ

(t) 6= Θ (d.h., |γ

(t)| 6= 0) ∀ t ∈ [a, b] gilt.

Beispiel 2.9 Der Weg γ : [−1, 1] −→

, t 7→

t

t

ist ein Beispiel f¨ ur einen stetig differen- zierbaren, aber nicht glatten Weg. Die zugeh¨ orige Kurve nennt man Neil’sche Parabel.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

y

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

y

Die Neil’sche Parabel γ(t) = t⁵, t²

, −1≤t≤1

Sind nun γ ein glatter Weg und Γ = Γ

, so ist die Bogenl¨ ange s(t) = s(a, t) gegeben durch s(t) =

Z

a

|γ

(τ )| dτ und (streng) monoton wachsend auf [a, b] , wobei s

(t) = |γ

(t)| > 0 ∀ t ∈ [a, b]

gilt. Es sei ϕ : [0, L] −→ [a, b] die differenzierbare Umkehrfunktion von s : [a, b] −→ [0, L] ,

L = L(γ) = L(Γ) . Dann ist (vgl. Satz 2.2) δ(s) = γ (ϕ(s)) , s ∈ [0, L] , ebenfalls ein glatter

Jordanweg mit Γ = Γ

. Man nennt δ(s) die Parametrisierung der Jordankurve Γ nach der Bogenl¨ ange. Dabei gilt

δ

(s) = γ

(ϕ(s))ϕ

(s) und ϕ

(s) = 1

s

(ϕ(s)) = 1

|γ

(ϕ(s))| , also |δ

(s)| = 1 , s ∈ [0, L] .

Ausgehend von der Formel (1.1) kann man zeigen, dass das Integral 1

2 Z

a

γ

(t)γ

(t) − γ

(t)γ

(t) dt

den orientierten F¨ acheninhalt angibt, den der Strahl vom Koordinatenursprung zum Punkt (γ

(t), γ

(t)) entlang des stetig differenzierbaren Weges γ : [a, b] −→

¨ uberstreicht.

2.2 Wegintegrale

Wir erinnern an den Begriff des Riemann-Stieltjes-Integrals (vgl. [1, Abschnitt 7.5] oder [7, Abschnitt 5.6]): F¨ ur eine beschr¨ ankte Funktion f : [a, b] −→

, eine monoton nicht fallende Funktion µ : [a, b] −→

und eine Zerlegung Z = {t

, t

, . . . , t

} ∈ Z [a, b] definieren wir die Darboux’schen Unter- und Obersummen

S

(f ; Z, µ) :=

n

X

k=1

m

(f ; Z )[µ(t

) − µ(t

] , S

(f ; Z, µ) :=

n

X

k=1

M

(f ; Z)[µ(t

) − µ(t

] , wobei

m

(f ; Z) = inf {f (t) : t

≤ t ≤ t

} , M

(f; Z) = sup {f(t) : t

≤ t ≤ t

} . Das Darboux’sche untere bzw. obere Integral ist dann gegeben durch

J

(f; µ) = sup {S

(f; Z, µ) : Z ∈ Z [a, b]} bzw. J

(f; µ) = inf {S

(f ; Z, µ) : Z ∈ Z [a, b]} . Sind beide Integrale gleich, so nennt man f bzgl. µ Riemann-Stieltjes-integrierbar und schreibt

Z

f dµ = Z

a

f (t) dµ(t) := J

(f ; µ) = J

(f ; µ) . Ist f : [a, b] −→

stetig, so existiert

Z

f dµ , denn zu jedem ε > 0 existiert eine Zerlegung Z = {t

, t

, . . . , t

} ∈ Z [a, b] mit

M

(f; Z) − m

(f; Z) < ε

µ(b) − µ(a) + 1 , k = 1, . . . , n , woraus S

(f ; Z, µ) − S

(f ; Z, µ) < ε folgt.

Ist µ : [a, b] −→

eine Funktion beschr¨ ankter Variation, so ist die Funktion µ

(t) = V

(µ) := sup

(

X

k=1

|µ(t

) − µ(t

| : {t

, t

, . . . , t

} ∈ Z[a, t]

)

monoton nicht fallend auf [a, b] . F¨ ur die Funktion µ

(t) = µ

(t) − µ(t) und a ≤ t

< t

≤ b gilt dann

µ

(t

) − µ

(t

) = V

(µ) − [µ(t

) − µ(t

)] ≥ V

(µ) − |µ(t

) − µ(t

)| ≥ 0 .