Institut f¨ur Informatik SS 08 der Universit¨at M¨unchen
Prof. Dr. M. Hofmann PD Dr. M. Lange
H. Gruber 16.05.08
Ubungen zur Vorlesung ¨ Automatentheorie
Blatt 6
Besprechung in der ¨Ubung am 23.05.08
Aufgabe 17:
a) Betrachten Sie den folgenden nichtdeterministischen B¨uchi-AutomatenA uber dem Alphabet Σ =¨ {a, b,#}:
p q
r
a a
b b
a, b,# a, b,#
Abbildung 1: Der B¨uchi-Automat A
b) Geben Sie den Lauf des deterministischen Muller-AutomatenA′, der mit- tels der Safra-Konstruktion aus Aentsteht, auf dem Wort (ab#)ω an.
c) Wiederholen Sie die vorherige Teilaufgabe f¨ur das Wort (ab#ba#)ω.
Hinweis: Konstruieren Sie nur die f¨ur den jeweiligen Lauf ben¨otigten Safra- B¨aume, einen nach dem anderen.
–bitte wenden–
Aufgabe 18: Ein Streett-Automat ist ein Tupel A = (Q,Σ, q0, δ,F), das syntaktisch einem Rabin-Automaten gleicht; insbesondere ist F eine Menge {(G1, F1), . . . ,(Gk, Fk)} von Paaren von Zustandsmengen f¨ur eink∈N. Aller- dings unterscheidet sich die Akzeptanzbedingung von der eines Rabin-Automaten.
Der Streett-AutomatA akzeptiert ein Wortw gdw. es einen Laufρ vonA auf wgibt, so dass f¨ur alle i= 1, . . . , k gilt:Inf(ρ)∩Gi 6=∅ oder Inf(ρ)∩Fi=∅.
Beweisen Sie nun die folgende Aussage: Jede von einem Streett-Automaten erkennbareω-Sprache istω-regul¨ar, und umgekehrt.
Aufgabe 19: Seien L1 und L2 zwei ω-regul¨are Sprachen, die je von einem Muller-AutomatenA1 undA2mitmbzw.nZust¨anden erkannt werden. Zeigen Sie, dass es einen Muller-Automaten Amit h¨ochstens m×n vielen Zust¨anden gibt, der die SpracheL1∩L2 erkennt.
Hinweis:Achten Sie besonders auf die Akzeptanzbedingung.
