Institut f¨ur Informatik SS 08 der Universit¨at M¨unchen
Prof. Dr. M. Hofmann PD Dr. M. Lange
Hermann Gruber 25.4.2008
Ubungen zur Vorlesung ¨ Automatentheorie
Blatt 3
Besprechung in der ¨Ubung am 5.5.2008
Aufgabe 8: Betrachten Sie den FO-Satzϕ:=∃x.Pb(x)∧ ∀y.y < x→Pa(y).
a) Geben Sie einen regul¨aren Ausdruckα an, so dassL(α) =L(ϕ) gilt.
b) Konstruieren Sie nach dem Verfahren aus dem Satz von B¨uchi-Elgot- Trakhtenbrot einen NFA A mitL(A) =L(ϕ).
Aufgabe 9: Machen Sie sich mit dem Werkzeug MONA vertraut:
http://www.brics.dk/mona/
Lassen Sie sich von MONA die gemeinsamen Vielfachen von 2, 3 und 5 minde- stens bis zur Gr¨osse 1000 berechnen.
Aufgabe 10: Sie wissen aus der Vorlesung, dass das Fragment EMSO[<]
genauso ausdrucksstark ist wie MSO[<] selbst. Eine einfache Variation dieses Sachverhalts ist die Frage, ob das Fragment AMSO[<] auch bereits dieselbe Ausdrucksst¨arke besitzt. Hierbei ist AMSO[<] analog zu EMSO[<] definiert, wir erlauben jedoch nur Allquantoren als zweitstufige Quantoren. Finden Sie einen Beweis oder ggf. ein geeignetes Gegenbeispiel, das nicht in AMSO[<]- definierbar ist.
–bitte wenden–
Aufgabe 11: Sei DSO[<] (“dyadic second-order logic”) die analog zu MSO[<]
definierte Logik, mit der Modifikation, dass nun die zweitstufige Quantifizie- rung ¨uber zweistelligen Pr¨adikaten X(x, y) erfolgt, an Stelle vonX(x) in MSO.
Die Syntax ist bis auf diese Ersetzung dieselbe wie bei MSO. Zur Definition einer Semantik verwenden wir eine AbbildungI, die erststufige Variablen auf Positionen und zweitstufige Variablen aufMengen von Paaren von Positionen abbildet. Dann definieren wir die Semantik genau wie bei MSO, außer f¨ur die f¨ur die zweitstufigen Variablen:
w|=IX(x, y) gdw (I(x), I(y))∈I(X)
w|=I∃X.ϕ gdw es gibt eine Menge von Positionspaaren M ⊆ {0,1, . . . ,|w| −1} × {0,1, . . . ,|w| −1},
so dass w|=I[X7→M]ϕ
Wir wollen nun ein wenig untersuchen, was diese Erweiterung mit sich bringt.
1. Nichtregul¨are Sprachen: Finden Sie einen DSO-Satz ϕ, so dass L(ϕ) = {anbn|n≥0}.
2. Kontextfreie Sprachen: Zeigen Sie, dass jede kontextfreie Sprache DSO- definierbar ist.
Hinweis: Gehen Sie analog zum entsprechenden Teil des Beweises des Satzes von B¨uchi-Elgot-Trakhtenbrot vor. SeiG eine kontextfreie Gram- matik. Mit zweistelligen Pr¨adikaten lassen sich Teilw¨orter definieren. Be- nutzen Sie in der zu konstruierenden FormelϕG f¨ur jedes NichtterminalA eine zweistellige Relation XA, die dann genau diejenigen Teilw¨orter ent- halten soll, welche von A aus ableitbar sind. Zur Vereinfachung k¨onnen Sie annehmen, dass G in Chomsky-Normalform vorliegt.
3. Nicht-kontextfreie Sprachen: Finden Sie einen DSO-Satzϕ, so dassL(ϕ) = {anbncn|n≥0}.
4. Beweisen Sie, dass (das Erf¨ullbarkeitsproblem der Logik) DSO[<] unent- scheidbar ist.
