ganzen homogenen Funktion von mehreren Veränderliclien in lineare Faktoren. INAUGUßAL-DISSEßTATION VON DER PHILOSOPHISCHEN FACÜLTÄT

(1)

• «

Uber die Zerlegung

einer

ganzen homogenen Funktion von mehreren Veränderliclien in lineare Faktoren.

INAUGUßAL-DISSEßTATION

ZUR

ERLANGUNG DER DOCTORWÜRDE

VON DER PHILOSOPHISCHEN FACÜLTÄT

DER

FRIEDKICH-WILHELMS-UNIVEKSITÄT ZU BERLIN

GENEHMIGT UND

ÖFFENTLICH ZU VERTIIEIDIGEN

am 28. April 1882

VON

Carl Weltzien

aus Schwerin in Mecklenburg.

OPPONENTEN:

Leo Grunmach, Dr. phil.

Theodor Gross, Dr. phil.

Leo Saigge, Reg.-Baumeister.

BERLIN;

BDCHDBÜCKEREI VON GUSTAV SCHADE (OTTO FRANCKE).

Linien ßtr. 158.

(2)

(3)

Soll eine ganze homogene Funktion nter Ordnung von 3Veränderlichen ^2 (geometrisch:

eine Kurve nter Ordnung)

•^0 (^1 *^1 ^2 *^2)

*^0

^(Pii.

*^1

^12 *^1 ^2 ^22 ^ • • • . ein Produkt von n linearen Faktoren

{xq -\-aiXi-\- «2 x^) (.^’ü ßiXi-\- X2) (xq + ^1 ^1 + ;'2 ^2) • • • •

darstellen, so ergiebt sich ein System von

(n +

1

) Tf-

2

)

1.2

Bedingungsgleichungen für die 2^ Grössen cci^^cc^; /?2; V19T2; dasselbe soll immer mit I bezeichnet werden. Eliminiert man hieraus zunächst^ alle^ Grössen mit Ausnahme der Koeffi- cienten eines Faktors, z. B. «i, «3, so erhält man ein £(nderts System von 1 Gleichungen, das sich leicht zu

(n

1

^{) (n-h}

2

)

172

ergänzen lässt, von denen nur von einander unabhängig sind; dasselbe soll stets mit II bezeichnet werden. Aus seiner Herleitung ist klar, dass es auch für die Koefficienten jedes an¬

deren Faktors gilt. Die letzten

n (n — 1) i

72

dieser Gleichungen enthalten weder ein von «i, unabhängiges Glied, noch ein solches erster Ordnung; addiert man zu jeder derselben diejenigen Gleichungen, welche sich aus ihr dadurch er¬

geben, dass ßi^ ß^\ ;'i, .... für «i, gesetzt werden, so treten an die Stelle der Terme

Ausdrücke

X fl

«1 «2 X u

«1 a!^ n n ^{X fl}

welche sich in Folge von I rational durch die Koefficienten 63, in? ^12? ^225 • ••• ausdrüeken

^(^T—

1

⁾ lassen. Man erhält dadurch

1.2 Gleichungen, welche in den Koefficienten Ji, is, .... von der (n-+-l)ten Ordnung sind.

Dies Verfahren wird im folgenden als allgemeine Methode bezeichnet und für die 2te5

3

te,

4

te und

5

te Ordnung durchgeführt; ausserdem werden für die

2

te und

3

te Ordnung noch

1*

(4)

auf anderem Wege die Bedingungsgleichungen hergeleitet und für den 3ten Grad die Aufgabe:

„wann die Funktion in eine Iter und eine 2ter Ordnung zerfallt“ gelöst.

Die Gleichungen II sind die Bedingungen, unter denen die vorgelegte Funktion einen linearen Faktor enthält (oder gleich dem Produkte einer Funktion (n—l)ter und einer Iter Ord¬

nung ist). Man erhält dieselben daher einfacher, indem man die Koefficienten der Funktion den entsprechenden des Produktes gleichsetzt und die Koefficienten der Funktion (n—l)ter Ordnung eliminiert; die letzteren lassen sich rational durch «i, ausdrücken.

Eine andere Methode zur Herleitung der Gleichungen II ist folgende. Fügt man zu den beiden Gleichungen der gleich Null gesetzten vorgelegten Funktionen nter und Iter Ordnung noch

Wo ^0 ^1 H“ Wg = 0

hinzu und eliminiert hieraus so erhält man eine Gleichung in Wq, w^, Wg. Diese ergiebt

£Ci iCn

durch Spezialisierung von wq, wi,wa diejenigen Werte von —, —, welche die beiden Funktionen

^0 ^0

(diejenige «ter Ordnung und •+• «s «2) gleichzeitig zum Verschwinden bringen. (Für diesen Zweck hat Hesse dies Verfahren oft benutzt.) Soll nun -f-«i vTi-f-«3 in der anderen Funktion als Faktor enthalten sein, so müssen die Koefficienten der für wo, «i, «3 aufgestellten Gleichung sämmtlicb verschwinden.

Während im Falle der Existenz eines, linearen Faktors die Koefficienten rational sind, er¬

geben sich bei n linearen Faktoren die Koefficienten nicht rational. Dies folgt aus der speziellen Natur des Systems I. Da dasselbe sich nicht ändert, wenn zugleich a, mit ßi (oder y, oder di....) und «3 mit (oder y, oder d,...) vertauscht wird, so müsste ein rationaler Wert von «, auch för ßu ytt ^11 • • • zulässig, oder «,==/?,== y, = d, ...., ebenso — ß^ == y^ = ... sein, was im allgemeinen nicht stattfindet.

Für n = 2, wo die Bedingung für die Existenz eines und zweier linearen Faktoren die¬

selbe ist, sind a,; /},, ß, nicht rational. Dies folgt auch daraus, dass nach Elimination von ua aus den

3

ersten Gleichungen von II sich 2 Gleichungen 2ten Grades für er, ergeben, die in den Koefficienten von a\ und «t zur Übereinstimmung gebracht werden können, also entweder keine oder beide Wurzeln gemeinsam haben; das Eliminationsresnltat giebt daher die Bedingung an, dass das letztere stattfindet (vergleiche § 1, Gl).

§ 1. Zerlegung einer ganzen homogenen Funktion Ster Ordnung von 3 Veränderliehen in S lineare Faktoren.

Ä. Allgemeine Methode.

Soll

gleich dem Produkte

ha Xa)

Xq 5

^jj

a!\

-+- ijj Xi Xa -f- 633

x]

(xo

-f- «1 «1 + «3

Sa) {xo -\-ßiXi-{- ßa Xa)

sein, so müssen folgende Gleichungen bestehen:

ai-+- ßi — bl

®i

ßi —

^{^11}

«a-h ßa =

®2

ßi —

«l

ßi

-+- «3 /*! = *12-

bi l ha

(5)

5

Durch Elimination von /

9

t, ft erhält man:

— of* H“ ft «a — 622 = 0

2Oft Ofg - 61 Ofg - ^3 Oft —{— 61a = 0

— Of J -4- Oft — ölt = 0.

Eliminiert man aus je zwei aufeinanderfolgenden Gleichungen diejenigen Glieder, welche keine der Grössen ^>i, ft, ... zu Koefficienten haben, so erhält man:

— 6a «1 «a *4“ 61 Of J — 6ta Ofa 4- 2 639 «1 = 0 63 of j 61 Oft ofa 61a Oft “4“ 2 611 Ofa 0»

Eliminiert man endlich aus diesen beiden Gleichungen diejenigen Glieder, deren Koefficient

6a ist, so erhält man:

^22— ^12 «1 0^2 4- 611 Of’ = 0.

Diese 6 Gleichungen bilden das System IL

Addiert man zu der letzten Gleichung diejenige, welche aus ihr hervorgeht, wenn oft, «3 durch ft, ft ersetzt werden, nämlich:

^22

ß] ~

^12 ft ft 4- 611

ßl =0

und bedenkt, dass aus I sich ergiebt:

a]^ß] = b] — 2bn al-hßl=bl — 2b^

Oft Ofa 4~ ft ft = 61 63 61a,

so erhält man die Bedingungsgleichung:

III. 6ti bl

4

6t 6a

26

aa _6^

63 6t Daraus folgt:

(6)

Methoden, bei denen entweder das Gleichungssystera I oder II allein zu Grunde gelegt wird.

B. 1) Will man I allein benutzen, so liegt es nahe, die sich aus den 4 ersten Gleichungen ergebenden Werte:

«1 ßi

2

b,-W,

«2

ßi

w.

in die 5te einzufnhren; hierbei ist gesetzt:

b]-4

bn

= w:

^22 =

w:.

bl —4 b^.

Dadurch erhält man:

TT,

W, = b,b,-2 b,„

woraus sich durch Quadrierung und eine leichte Reduktion die Bedingungsgleichung ergiebt.

2) Aus ■

«iH“

ßi — bl

ßi«1-4-aißi

=

^{^>12} folgt:

i«2—ßd«i = ^l«2 — *12 («2

ßi) ßi =

^*1

ßi

^{+ *12} und durch Multiplikation beider Gleichungen:

(«2 — ßif «ißi == — b] «2 ßi + *1 *12 («2 + ßi) — b], und hieraus unter Benutzung der Gleichungen I die Bedingungsgleichung.

C. Unter alleiniger Benutzung von II kann man folgendermassen verfahren:

1) Aus der 2ten Gleichung ergiebt sich:

_ *2 “l *12

~ 2 a,-*, ’

setzt man diesen Wert für in die 3te Gleichung ein, so erhält man:

(4 *22 - *D («: - *1 «l) + *L - *1 *2 *12 + *22 b] = 0;

soll diese Gleichung mit der ersten:

{«l — bl a^) -+-bi2 — 0 verträglich sein, so muss

(4 b^ - bl) bii - bl + bl b, bl, -b„bl = 0

sein; unter dieser Bedingung haben beide Gleichungen jedoch beide Wurzeln gemeinsam, die letzteren sind daher nicht rational.

2) Giebt man der Iten, 3ten, 6ten Gleichung die Form:

(2 cc, ” b, ) cc, ““ (*a Ci, 2 ^33 ) — 0 (2 ^33 *,3cc^ a, (*i20^1 — 2 bii cc^ cc, — 0 (2 bii bl «,) — (fii 2 a, ) a, = 0,

(7)

7

so ergiebt sich:

(2 «2 ““ ^a) (2 ^22 ^12 «2) (2 in — ij «i) = (ig ofg — 2 iaa) (^la «i — 2 in «2) (ii — 2 Ofi)*)

oder:

(ia ii2 2 ij iga) («! — ii «i -f* in) «2 + (ii iia — 2 ig in) («*— ia Ofa ^23) «i ) _q

H- (ijig 2ii2) (i22«J iigOfiOfa + iii^^D ” 2(inia+ i22ijH“ ij^ — iiiaiia — 4ini2a) «i^fa i ^

oder:

in ia + ^22 i? H“

i^

— ii i2

iia

—

4

in ^—

0

.

3

) Betrachtet man die

6

Gleichungen II als linear in den

6

Termen «i »2^ «fa?

so muss ihre Determinante verschwinden. — Zweckmässiger ist jedoch folgende Modifikation.

Durch Elimination der Terme «*, «i «2? «a erhält man:

(

4

^{i22 —}b\ ) cfj -f- (ij ig — 2 ijg ) org -f- ig i^g — 2 ij igg = 0

(ii ig 2 ijg ) cfj -f- ( 4 in ij ) Ofg ii iia — 2 ig in = 0 (ig ii

²

2 ij igg) cfj -f- (ii iig — 2 ig in) ofg -f- 4 in igg — i

^*2

=0.

Die Determinante dieser Gleichungen ist das Quadrat von 2 in ii

3

ii

iia 2 igg ig 5 ii ig 2

da sie ihr adjungiert ist; jene und daher auch diese muss verschwinden. Unter dieser Bedingung sind

2

von den

3

Gleichungen Folgen der dritten.

Da die

3

Gleichungen auch für gelten, so geben die Verhältnisse der Koefficienten, nämlich z. B.:

4

igg ig ia ii 2 ixg

ia iia — 2 ij igg ig ijg 2 ij igg

Xi Xcj

diejenigen Werte von —, —, welche x^-k- «1

«g ^g,

ô + iîî + /^2â gleichzeitig zum Ver- Xq Xq

schwinden bringen (geometrisch: die Koordinaten des Durchschnittspunkts der beiden Geraden);

sie sind rational, während die Koefficienten der Geraden von einer Quadratwurzel abhängen.

§ 2. Zerlegung einer ganzen homogenen Funktion 3ter Ordnung von 3 Veränderlichen in drei lineare Faktoren, sowie in eine Funktion 2ter und Iter Ordnung.

A. Allgemeine Methode.

Soll

xl -f* {bl Xi -f* Jg ^2) ^0 + (^11 + ^12 ^1 ^2 + ^22 ^0 ^111 "d“ ^112 ^2 + ^221 + ^>222

gleich dem Produkte

{xq -4- «1 -4- «2 ^a) (^0 -h ßix^-h ß^ x^) (xq -{-yiXi-h ^a) sein, so müssen folgende Gleichungen bestehen:

*) Setzt man in den Gleichungen — , ~ für cfj, cfg und multipliziert mit «J, so ist dies die Funktional-

«0 «0 determinante.

(8)

1

«! •+•/?! + p'i = bl «Q H“ ft H“ ft â "+“ ft â ^â Ofa ft — âai

ft/i Xi öft + cci ft = Jii ft;â + ^"8 â â ft = âa ^â ft H“ ft Y\ *+“ â «i ft = îia

«1 ft Y\ =

^111

«a ft ra =

*238

^{«1 ft +}cc^ßi + /^i ^a

4

“ ft^i + «a

4

“ ^a «i = fta-

Durch Elimination von ft, ft; ;'i, erhält man:

- 0^2 H“ ft 0^2 - *28 ^a *822 ^

3

^{«1 a* —}

2

ft «1 «a — 6i «3 + iaa ■+* *ia ^^a — ftai =

0

—

3

«1 «a H“ *2 a* H“

2

6i «i «a — *12 ofi — *11 «2 H“ *112 =

0

of, bl cc^ H“ ^11 cci — *111 0

und hieraus:

ft fti H-

3

6111 ßl-hyl — b\ —

3

ft b^ -H

3

6322

«1 «2 4- ft ft 4- Y\ Yft = 61 62 — *12

of* «a H“ /?Jft -hY^iYq — *! *2 — *1 *12 — *2 *11"+" *112

«1 «2“^ ft ßl'^YiyI = *2*1 — *2 *12 — *1 *22 + *2215

SO erhält man. die Bedingungsgleichungen:

( *1 *22 *1 *221 *1 *2 *12 ”1“ 2 6, ft 611a *1*2 *11-3*2*111-4*i*ii*a2H“*l*i2~l~9*a2*lll *12*112 ■4“*11*221 ^= 0

IIL < *j *1, *j *JJ2 *2 *1*12 "4“ 2 *1 *2 *221“t“*i *2*22 3 *j *222 4 *3*11 *22~l”ft * j 2~4" 9 *11*322 *12 *222 “4” *22 *112 0 ( *, *aag *, *2*221 ^^*1 *2 *112 *2 *111 3*1*11 *222H“*! *2a*lia'4“*l *12*221 “4” *2*11*221-*2*ia*lia“t“3 *2*22*111 ^^^0.

=

0

=

^*23^ofa^“i”

3

^{*333 —■}

0

^»

Daher:

3 2*1 *11 ft 2 *11 3 *111 = 0

ft *13 *119

3 2 6, *22

*221

6, 2 *aa

3

^*339

Ausserdem ergeben sich für «i und otq in bekannter Weise die Verhältnisse der ünterdeterminanten.

(9)

t

9 Neben diesen Gleichungen besteht noch folgende:

3^329 2

J931 J113

^221

2

ijia

3

^111

1

=

0

.

J99 612 Jii

Man erhält dieselbe durch folgende Betrachtung. Denkt man statt der Grössen cti, «j; ij, 63, resp. —, .

VQOO t'a

—, — gesetzt, so ändert sich nichts in der vorgelegten Funktion, sobald

«0 «0

. oder in

^000 ^000

«0, «1, «a; ^0005 ^222^- verwandelt werden in resp. «j, «a, «0*? ^222? ^000?

«2, «05 «1; ^2225 ^0005 ^1115. Dadurch erhält man überhaupt aus jeder Gleichung 2 andere.

Eliminiert man ferner auch aus den 3 Gleichungen jeder Horizontalreihe «i, «3 z. B. nach den Methoden C des § 1, so erhält man:

= 0.

Jede dieser 3 letzten Gleichungen eiözeln giebt die Bedingung an, dass die 3 Gleichungen:

3 262

2 6, 2 6, 612 J22

26

a 69a 61a

b. 2^32 6,3 = 0 6,2

2 6221

^112 = 0

2 69a

3

6222 2 6321

b. 612

2 622

26

„ 2 6112

³

6111 61a

₆₂₂₁

2 611a

^0

“b"

«1Oß\

“f-

«2 ^2

— 0,

üTq

H-

all

+

^2

— 0,

^0 ■ haben. Denn diese Bedingung lautet:

• »^1 + ^^2 ^2 == 0 ein Wertsystem gemeinsam

«1 «2 1

ß, 1 = 0.

n ^2 1

Determinante ist jedoch:

b\ - 2 6„ bl 62 — 612 b.

6, 62 612 2 622 b.

b. b. 3

woraus sich durch leichte Umformung die erste der 3 Determinanten ergiebt.

Sollen alle 3 linearen Faktoren einander gleich werden, so müssen auch die 2ten Ab-

2 hl cc^ ^13 —— 0 Jii «a Jjia = 0.

leitungen verschwinden:

— 3 «1H“ 61 = 0 - 3 «2 "t“ ^2 - 0 2 63 «1 — 612 - 2 61 «1 — 2 611 =0 2 62 Äg J ^22 - 0 — 622 «1 6321 —

— 611 «1H“ 3 6111 = 0 622 «3 “f“ 3 6223 — 0 Daher:

6, 6„ _ 3 6jjj 612 _- 3 6, - 6., 2 62 622 62 622 3 6222 61a ^112

'622 2 6, "ili*

B. Zerlegung einer ganzen homogenen Funktion Ster Ordnung von 3 Veränder liehen in eine Iter und 2ter Ordnung.

Betrachtet man die 10 Gleichungen II als linear in den Termen

«*«3 5 «i«2? «n ^^1^35 «19 «35 19

so muss die Determinante, welche, abgesehen von dem Faktor 2, die Form:

2

(10)

0 0 0 —1 0 0 h 0 — 6« 6m3 0 0 3 0 0 - hl ^22 ^12 ^221

0 — 3 0 0 bl 0 — 6ia — bii bii

²

1 0 0 0 — 0 0 bii 0 — bin

0 0 b^ bl 0 ^22 - ^la 3 ^222 ^221 0 0 b^ bl 0 ^22 0 hii 6221 ^112 0

— 62 bl 0 0 612 —^11 0 —6113 —36111 0

0 632 612 611 3 6222 6321 6112 0 0 0 622 612 611 0 6221 6112 36111 0 0 0

— 6222 6221 — 6112 6iii 0 0 0 0 0 0

hat, verschwinden; sie ist von der Art, dass die Glieder der Diagonale Null und die zu dieser symmetrischen Glieder entgegengesetzt sind; da sie gerader Ordnung ist, so ist sie also ein voll¬

ständiges QuadratDie Ausrechnung ergiebt jedoch weiter, dass sie identisch verschwindet.

Diejenige Unterdeterrainante

9

ter Ordnung, welche man erhält durch Fortlassung der letzten Horizontal- und Vertikal-Reihe, verschwindet als Determinante derselben Art von ungerader Ord- nung"'* **)); daher müssen auch die übrigen ünterdeterminanten

9

ter Ordnung verschwinden. Es ergeben sich so 9 Gleichungen für die Existenz eines linearen Faktors, resp. die Zerlegung in einen linearen und einen quadratischen Faktor, von denen 2 unabhängig sind. Diese Gleichungen sind jedoch 9ter Ordnung in den Koefficienten der vorgelegten Funktion. Da aber diese Be¬

dingungen sich als Gleichungen Ster Ordnung darstellen lassen, so sollen sie auf anderem Wege hergeleitet werden.

Benutzt man nur die ersten 8 Gleichungen, so kann man 8 Terme durch die übrigen aus- drücken, z. B.

a\ a\ ofg «I al al a\ «2 «2

durch «2 und 1. Man erhält dadurch folgende Gleichungen***):

— 5 62) a, = {Bl bii Bll bl ) «3-+- Bill ^2 — B2 6111 (Ba B 63) «j «3 = (B112 B 6113) «3 -f- 3 (B3 6113 ^112 63) (Ba B 63)

ctict^

= (B 6331 Bjsi ) ofs —f- B221 63 jBa 6331 (Ba B 63) «2 (B33 63 B3 632 ) «2 —|— B3 6322 B222 63 -{B,^B 63) = (B 611 - Bll ) «2 -M (Bll 62 - Ba 611)

(Ba B 63) cci CC2 = (Bi2 B 613) Ofa -f- j (Ba 612 B13 63) (Ba B 63) Of j = (B 633 B22 ) Ofa —f“ B22 63 Ba 633 (B3 B 63) cci (Bl — B 61 ) «2 -f- jf (Ba bl Bl 63)

worin zur Abkürzungf) gesetzt ist:

*) Baltzer: Determinanten 1870. § 7, 1.

**) Baltzer: Determinanten 1870. § 3, 14.

***) Baltzer: Determinanten 1870. § 8,^4.

t) Salmon; Höhere ebene Curven, deutsch von Fiedler. 1873.

(11)

11

^111 ^ ^111 ^221 ^1 ^112 ^11 ^12 ^ ^111 ^12 ^221 —” ^\\2 ^1

-^222 3 ^222^112^2 ^221^12^22 * ^222^12 ^112^22 ^ 221^2

ßll2 9^111^222^1 ^ ^lll ^12^22 ^ ^111^221^2 ^ ^222 ^li ^ ^112 ^ |2 ^112^221^1 ‘~l“ 2 ^11^32 ^ 112^2 -®11 9 ^221 2^111^12^2 ^ ^111^22^1 3 6,12“^ ^12 ^221^11^1 ^ 5i,2 ^n ^3 ^jj ^33

-^221 9 ^111 ^222 ^2 ^ ^222 ^11 ^12 ^ ~ ^ ^222 ^il2 ^ ^111 ^22 ^^221 ^12 ^112 ^221 ^2 ^ ^221 ^11 ^22 ^221 ^1

^22 9 ^>222 ^112 ^ ^222 ^12 ^1 ^ ^222 ^11 ^2 ^ ^ 221 * ^22 ^12 ^112 ^22 ^2 ^ ^221 ^22 ^l ^22 ^U -^1 9 ^22 ^ ^112 ^12 ”^“ 3 ^221 ^11 ^ ^111 ^2 ^ ' * ^1 ^12 ^11 ^22 ^1 ~^" ^ ^112 ^l ^2 ^221 ^1 -^2 9 ^222 ^11 ^ ^221 ^12 ^ ^ ^112 ^22 ^ ^222 ^^2 ^12 ^11 ^22^2 ‘^~’ ^ ^221 ^1 ^2 ^112 ^2

5i2 =27 ^111^222 3 (6|i2^22^2 “^^222^1l^i"^~^ll2^22l) *^12 ^12(^112^2 ~^^221^l“^ ^11 ^22) ^ ^22^1 ^221 ^11^2)*

Eliminiert man nun mit Hülfe der Gleichungen IV aus der Iten und 3ten Gleichung des Systems II die Terrae a\ a\a^ a\ «i, so erhält man

VI 1 ~

( (ß ^12 ßl2 ) «2 = 3 (ß2 ^12 ßl2 ^2)-

Durch Vertauschung der Indizes 1 und 2 erhält man:

’ I (ß ii

2

^{— ßi}

2

⁾

«1

⁼

3 (^1 K

^'—

^2

^{^l)*}

Dadurch ergeben sich als Bedingungen für das Zerfallen der vorgelegten Funktion 3ter Ordnung in eine Iter und 2ter Ordnung die beiden Gleichungen

{^22 ^2 ^2 ^22) (®12 ^2 ^2 ^12) ^ (^222 ^2 -^2 ^222) (^12 ^ ^12) (ßll &i - ßl Jii) (ßi2 f>l ßl ^12) “ S (^111 ^l ^1 ^111) (^12 ^ ^12) 5 welche in den Koefficienten der vorgelegten Funktion von dev 8ten Ordnung sind.

C. Andere Methoden für die Zerlegung der Funktion in 3 lineare Faktoren.

Soll jedoch die Funktion in 3 lineare Faktoren zerfallen, so müssen die Gleichungen VI auch bestehen, wenn a^, durch /?i, oder durch ^i, ersetzt werden; daraus^ ergeben sich die Bedingungsgleichungen:

ß32 h - B,b^ = 0

Bi2 ^2 B2 ^12 G

ß,, = 0

ß,2

— B b,^ = 0 B^

b^

B^

^{^222 G}

^1 -®i ^111 G*

Von diesen Gleichungen sind nur 3 unabhängig. Diese Bedingungen lassen sich auch aus dem System IV herleiten; denn auch hier muss für die Existenz von 3 linearen Faktoi'en jeder Koefficient verschwinden. Betrachtet man nämlich z. B. die letzte Gleichung

(B^ — Bb^a^ —

(^1—

Bb^ a^-\-\{B^b^ — B^b^^

2*

(12)

so müssen neben ihr auch die Gleichungen

(B, ^—B b,)

ß, =

(ß, - B b,)

ß,

i (B, b, - B,

(ßj — ß Jj) ri = (ß, — ß b,) n + T (ßj bl — Bl Jj)

erfüllt sein. Dies ist aber im Allgemeinen, da die Determinante

«1 «2 1 ft ft 1 ri y2 1

nicht verschwindet, wie oben gezeigt, nur möglich, wenn die Koefficienten dieser Gleichung, sowie aller Gleichungen IV einzeln verschwinden.

Es zeigt sich hierdurch, dass im Falle der Existenz eines linearen Faktors die Koefficienten desselben rational sind, während im Falle der Existenz von 3 linearen Faktoren die Koefficienten von einer Gleichung 3ten Grades abhängen.

Zerfällt die Funktion in eine Iter und eine 2ter Ordnung

^0 ^2 ^0 (.ßi ^1 ßi ^2} *^0 ßll ßl2 ^1 ^2 i^22 ^2?

SO ergeben sich ß2^ • • • ^.Is rationale Funktionen von «i,

ßi = ^l — CCl i^2 = ^2 — «2 •

ß\,i -—■ ^11 Ofj ~f" CC y ^22 ^22 ^2 ^2 1 ^2 ßl2 ^12 ^2 ^2 ^ ^ ^2 ?

da «1, «2 rationale Funktionen der Grössen . sind, so gilt dies auch von ßy^ ßz; ß^^ ^21 ßn- — Eine C 1) des § 1 entsprechende Methode ist folgende: Setzt man aus der 3ten Gleichung von II den Wert von «2 in die 2te ein, so erhält man eine Gleichung 5ten Grades für ihr Grad kann mit Hülfe der 4ten Gleichung auf 3 erniedrigt werden und zwar so, dass die Koeffi¬

cienten, welche in den Grössen ig? • • • von der 3ten Ordnung sind, auch nach der Reduktion des Grades dieselbe Ordnung haben. Sollen nun beide Gleichungen auch für ß^^ erfüllt sein, so ist — da eine gemeinsame rationale Wurzel ay = ßy = y^ zur Folge haben würde — dies nur möglich, wenn die Koefficienten der einen Gleichung denen der anderen proportional sind. Durch Vertauschung der Indizes 1 und 2 ergeben sich ausser den hierdurch erhaltenen 3 Gleichungen nooh 3 andere; von- diesen 6 Gleichungen sind nur 3 unabhängig.

§ 3. Allgemeine Methode für die Zerlegung einer ganzen homogenen Funktion 4ter Ordnung von 3 Teränderlichen in 4 lineare Faktoren.

Soll die Funktion

^0 1 (^1 ' "1 ^2 ^2) ^0 ^ (^11 i ^12 *^1 *^2 ^22 ^0 (^111 "4"” ^112 ^2 ^221 ^2 ^222 ^2) ^0

i ^1111 i ^1112 ^2 “4” ^1122 ^2 “f^”^2221 ^2222 ^2

gleich dem Produkte

(^0 H“ «1 H“ «2 ^2) (^0 “i“ -f- /?2 ^2) (^0 -f*

y

2 ^2) (^0 “I- dl + da ^2)

sein, so müssen folgende Gleichungen bestehen;

(13)

13

b, ■h.

bn f^}ßi + «2^2 4- «2*^2 *+“ ßi^i 4“ ßiß^ 4- r^ß» — b»

^111 «2 ßl Vi 4- «2 ßi 4- «2 ^2 <^2 4- ßi ya ^a — ^222

II.

“i 4- ^14- y, 4- (1,

«1 ßi 4- «1 4- a, d, 4- /?, y, 4- /J, d, 4- y, d,

“i ßi Yx 4- «1ßx dl 4- a, ^1 dl 4- ß^ y, d,

*1 ßl Yldl = ^1111 *2 /^2 Yt ßa ^2222

ßaYa â4" ßi âYa â4” Yi f^faßa â4“ d, £<2 ßa Ya ®222i

â ßl Yl dl 4” ßaî Yl dl 4" Yaî ßl dl 4" d2ci^ ßiYi = ßnu

«1ßl Ya 4 4- «1 Yl ßa dj 4- «i di ßa Ya 4- ßi Yi «a ^a 4- ßi di «j Ya 4- Yi d, ^2 i^2 - ^1122

Ofl ^2 y2 ^2 Y1 ^2 ^2 ^1 Y2 Yl ^2 §2 <^1 ^2 Y2 ®12

+

3

ftiuaJ—36222«!== G

632 ccI H“6j2 Cf 10^2 ^11«I «2 ^ ^221«1 ^ ^112«1 «2 J ^^111 «1 «2 ^1122 «I J ^ ^1112 «1 «2 G6jj|i of j — 0

6222 Cf 1 Cf2 "4"” ^221 « I «2 ^112 Cf 1 Cf 2 i 6j^ Cf 2 363221 Cf j Of2 I 2 6^j22 Cfj Of^ ^1112 «2 ^ 4⁶³²²²« i G

6222 « I ^21 « 1 «2 “

4

” ^112 « 1 «2 ^111

«1

«2 ^221 « l ^ ^ ^1122 « I «2 ^ 6jjj3 Ofj Of j

1

^”

4

6inj Of ^

0

63222 Cf , H“ 6333^ Of I Of2 6jj22 Of j Of 2 i ^1112 «1 Cf 2 ^1111 Cf 2 G.

Addiert man zu jeder der 6 letzten Gleichungen die entsprechenden und bedenkt, dass aus I folgt:

b] — 2ft,

ft + ft + r’ + ft

Cf* 4- ft 4- “4- ft

oc\ + ß\ + Y\^ö\

Cf, 4- “4- ^2 “4- ft

«a 4- /^a “4- ^2 + ft cfi cf34- ft ft 4- Y\ Yft + ft ft of’ cf34- ft 4- ;'i ;'2 + ft ft

Cfl «2 1 ßl P2 i 3 ' ^2

«,^«a 4- ß^i ßa4- y\ Ya 4~ d^ dj

«1 «14- ßl ßl-h Yl y:4- dl dj d[a]al-hß]ßl-hY]Yl-h6]6:]

80 erhält man die 6 Bedingangsgleichungen.

§ 4. Allgemeine Methode für die Zerlegung einer ganzen homogenen Funktion 5ter Ordnung Ton 3 Teränderlichen in 5 lineare Faktoren.

. Soll die Funktion:

xl-‘r(biXi-{-baX^a;\-\-{biix\-^biaaiiaia-\-b^xX)x\~\-{biiix\ + b„3x\xa-\-b„iXix\-\-b^x*^x\4-

(^miî4~îiij^*â4“iiijj^!^»4" ^4821 *i^j4“i2jjj*a) ô4"6iiiu®j4“^ 1110*1*24" 6iujj*,^,4“Jjisiii^,^,4“6ajänXi£B,4~^jijjiî

(14)

gleich dem Produkte:

(^04-«1 -4-«2 ara) (.2?o + /^i ^2-^2) (*2^0 <^1 + <^2 ^2) ^1 + ^2 «^2)

sein, so müssen folgende Gleichungen bestehen:

I.

«1 /^i «1 ri ‘ «2 /52 + «2 ^2

Hieraus erhält man durch dasselbe Verfahren, wie für = 2, 3, 4 folgende Gleichungen:

ir.

■ ^11 «I «3 ^12 «f «2 — ^22 «1 3 ^111 «f «3 - 2 ^112 aj «2 + ^221 «f — 6 ^1111 «1 + 3 ^1112 «? «2 — ^1122 «? -h lü ^11111 «3 4 ^11112 «1 «2 + ^11122 «? = 0

■ ^11 ^12 ^1 ^2 — ^22®^f ®^2 ^2-^112^? ^2 ^222 ^ ^1111 ^2 ^2221 ^1122*^1 ^^2”^“ ^ ^11112 ^3 — ^^11122 ®^2 ^22211 ^

‘ ^11 ^2 "1“ ^12^1 ^3 — ^22^3 "l" ^111 ^2-^221 ^>^2 "t“ 2 ^222 ®J ^2-^1112*^2 ^1122^1 ^2-^ ^2222 “t“ ^11122 ^3-^^22211 «1 0^2"^“ ^ ^22221 ^

• ^11 «2 4- ^12 «1 «3 ^22 «1 «2 4* ^U2 «3 —2 ^221 «1 «2 4“ 3 ^222 «? «3 4“ 3 ^2221 «1 «3 ^1122 «3 ^ ^2222 «* «2 4“ ^22211 «3-^ 632221 «1 «2 4~ 10 633222 «3 = ^

■ ^111 **3 4"6113 ßj ßj — 6221 af ^2 4“62220fi 4" 46iiiiffiß2 — 362112 ß^ ßj 4"261122 ß2 — ^2221 106iiii2ß2 4"66iiii2ßi a\ — 36iii22ß2 ß24"6222iißi =0

• 61H ßi ßa -I" ^112^1 ®^3 — ^221 ^34“ 6322 <^24“ 26iiiißa —6iii2ßi 4"6222i ßj ßa 2 62222^^1 ^ ^11112*^2 4" 3 6iii22ßiß2 — 3 6222iiß^ ß24" 2 632221^1

■ 6111 ßj 4~ 6ii2ßiß2-6331 ß| ß34" ^222^3^34"6iii2ß2 26ii22ßiß34“ 3 6222i ßJ ßj —462222^1 <^2 ^11122*^34" 36222iißiß3 —062222ißJ ß24" 10622222^1 ^^0

' ^1111 <’f3 4“6iii2ßi ßa — ^1122^3«34“ 63221 ^^2— ^2222*^34" 5 611111 ßj — 4 611113 ßi «a 4" 3 611122 «f «3 — 2^22211 ^2 — ^22221 ~ 0

' ^1111 ^^2 4" ^1112®! ^2 ^1122 ^34" 63221 ß| ßj ^2222^1 ^24~ ^11112 ^2 — ^ ^11122 «1 4" 3 632311 ß^ ßj 4632221 ^^2 4" 5 622223 0

■ ^Illll<^2 4“6ini2ß2ßi ^11122^^3^1 4-632211 ßJ ßf — ^22221*^2^1 4“ 623223 ßJ == 0,

Addiert man zu jeder dieser 10 Gleichungen die entsprechenden und bedenkt, dass aus l folgt:

-f? = 6?~-26ii

«1 4-/5f 4-yf 4-cr,^4-«f = 6® — 3 61611 -1-3 6111

«f4-/9f4-rf4-cl‘i^4-ff = 6J-46f6ii4-46i6iii-

«J 4^{- yj}4^-

dl

4- fJ = 6J - 5^{6J 611}4^-5 6J 6111 -

«3 ß ² 4-y54-cr|4-«3 ~^3—^^22

ßa 4- /Jj 4- ya 4- cr®4^{- «a ~}^3^—3^{63 633}4^“3⁶³²²

«34-/^34^-yJ4^-cr24^-f3 = 6a—4656224-4636222'

'4 61111'+' 26^1

"5 (61111 4-5 (611111 ^11 ^111)

“ 462222 4-265o

ß^ 4"/^a 4"ya 4" <^

2

^{^}

4

^{-— ^3 — ^}

6

^{^}

633

^{-f- 56^}

6332

⁵

(63222

^—

6

^{aa) ^}

2

^{4- 5}

(632322

^—

6336322

⁾ ai«2 4-/Ji/?3 4“yiy2 4-cricf3 4-fif2 == ^1^2'-^12

®i®*2 4“/Jj/53 4“yjy2-l“<^*^^2-l-f5f2 = 6^63 — 61613-

«1 «34“A/J34-*yi y34“c^icr24-fif5 = 6561 — 63 613 - 4-/J5A-l-y3y2 4-<li<^2 4-«3«2 = 6563 — 65612-

«ia34-/?i/554-yiy34-cficr®4-«i«5 = 6561 — 65613-

- 63 611 4^{- 6112}

• 61 633 4^{- 6221}

- 2 61 63 611 4^{- 61 6112}4^{- 611 612}4- 6111 63 — 61112 - 2 61 63 633 4" 63 6321 4" 623 613 4" 6322 61 — 63221

—

^222^12—6

2(aaa«4-A3Ä»4.y«y*4.j'3(f*4-«^«*)===: i ^^1^2 6? 633 — 36?63 613 — 361 65611 4- 6? 6331 4- 26i 63 6112 4- 656111 4- 61 6?2 (4- 2616ii 6334-262611612 — 6161122 — 6361112 6116321 — 63361H — 6136113 4“ 6; 2(a?ß54-iJ?iJ54-y?y54-W4-«?f5)=

111 ^\2 *^113 "T“ <^11123 265 6? 65 611 — 365 61 612 — 363 6? 633 4“ 65 6113 4" 2 61 63 6331 4- 6? 6323 4- 63 6?a

4“ 2 63 633 6n 4- 2 61 622 6i3 63 61133 — 6i 63331 633 6113 6n 6332 — 612 6331 4- 633311 y SO erhält man die 10 Bedingungsgleicbungen.

(15)

15

§ 6. Zerlegung einer ganzen homogenen Funktion yon mehr als 3 Teränderlichen in lineare Faktoren.

Für das Zerfallen einer Funktion von mehr als 3 Veränderlichen in lineare Faktoren lässt sich die allgemeine Methode anwenden. Für die 2te und 3te Ordnung reicht man mit einer Vertauschung der Indizes aus.

Für die ganze homogene Funktion 4ter Ordnung von 4 Veränderlichen -f- ^ .

bedarf man ausserdem noch besonders folgender Hülfsformeln:

2 («1 «2 /Ja ßs-hyi Yi Yi-\-(^i (^2 ^2^3 — ^23 — ^2^31 — ^3^12“!“^123

3 («5 «2 ff3 + /J?^2 ßz'^rY\ Y2 Yz '+■ <^2 ^3) ^ 3^5 ^2^3-^1^23 — 2 ^1^2 ^31 — 2 ^2 ^3 ^11 — 2^3^! ^ia"f- ^11^23“1"^12^31 *+" ^138'+■^2 ^118 ^8^112 ^1123*

Für die ganze homogene Funktion 5ter Ordnung von 5 Veränderlichen bedarf man ausserdem noch folgender Relationen:

4 («5 «2 «3 + ß^, ß2 ßs -f Y^l y2 Y3 + «^?C^2 «2 «3)

_ j 4 ^2 ^3 ^ I ^23 3 ^ J ^2 ^31 3 ^{^3}^{^22} -f- ^ ^J^223 — ⁶ ^2 ^2 ^3 ^11 "f" 2 ^2 ^2 ^118 "f" 2 ^2 ^{^8} ^112 *4” 2 Äg ^{^8} Ä²II *4“ 2 ^2 ^11 ^38

(-f- 2 ^2 ^11 ^31 "H 2^3 ^21 ^12 •+■ 2^2 ^2 ^31 ^1123 — ^2 ^1113 — ^3 ^1112 — ^11 ^123 — ^12 ^118 — ^81 ^112 — ^23 ^111 ^11128 6 (a] ttl «3 + ßl ßl ßz -f y] yIYz -f cTfcTJ -h f] f J #3)

6^? ^3-3^;^2^23-*3^?^3^22-3^1^1 631-3^5^3 ^11 + ^?^22S 4-^5^ 113 — 6 ^1 ^2 ^3 ^12 4“ 2 ^2 ^2 ^138 4“ 2 ^2 ^3 ^112 4“ 2 Ä3 ^2 ^231 4“ ^ ^1 ^23 ^31

4“ 2 ^2 622 ^28 4- 2 ^2 ^11 ^23 4“ 2 ^2 ^12 ^31 4“ 2 Ä3 ^21 ^22 ^1 ^3231 ^3 ^1123 — ^3 ^1122 4" ^3 — ^11 ^228-^22 ^118 — ^12 ^138-^28 ^112 ^81 ^221 ^11228 6 («2 «2 «3 «4 -f- ßl ß2 ßz ^4 4“ Yi Yz Yz Y^ 4“ ^i (^2 ^3 ^4 4- «i ^2 *8 O =

662 ^2 ^8 ^4 2^2 ^2 ^34 — 2 ^2 ^3 ^24 — 2^2 ^4 ^23 — 2^2 ^4 ^13 — 2^3 ^4 ^22 4“ ^12 ^34 4“ ^13 ^24 4“ ^14 ^38 4“ ^284 4“ ^3 ^184 4“ ^8^124 4“ ^4 ^128 ^1284

60 («5 «2 «3 «4 -f ß\ ß2 ßz/S4 4- y\ Yz Yz n 4- ^3<^44- fa H«4)

6OÖ5 hz hz ^4 — 15h\^2 ^34 — 15h\ hz ^24 — 15^J ^4 ^23 — 30 hz hu — 30 hi hz ^22 — 30^2 ^2 ^4 ^13 — 30 bi b^ bz ^24 4-^5b\^234 4- 10 ^ ^2 ^134 + 10^1 bz ^224 4- 10^2 h ^123 4» 10 ^2 h ^114 + 10^2 K ^13 + 10 ^3 ^4 ^112 4- 10^2 ^12 ^34 4- 10^2 ^18 ^24 4“ 10^2 ^24 ^28 -f“ 10^2 ^11 ^34 4“ 10^2 ^13 ^14 4“ 10^3 ^21 ^24 4“ 10^3 ^22 ^14 4“ 10^4 ^xi ^23 4“ IO64 ^22 ^13- ^ ^1 ^1234 - ü^g 62I84 — ^^3 ^1124

564 62133 - 5^11^234^-5^12^134^-^^13^124 ^^14^123 ^ 633 6124 5 634 6223 5634 6213 4^-5622234^*

Die Bedingung, dass die 4 resp. 5 linearen Faktoren für ein gemeinsames Wertsystem verschwinden, sowie diejenigen, unter denen 2 oder mehr als 2 der linearen Faktoren gleich sind, lassen sich in analoger Weise aufstellen, wie bei der 3ten Ordnung.

(16)

I.

Die wichtigste Aufgabe der Philosophie besteht in einer möglichst einfachen und vollstän¬

digen Beschreibung der Wirklichkeit.

II .

In der Variationsrechnung ist es für den Fall einer ebenen Kurve zweckmässig, beide Koordinaten als Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen zu betrachten.

III.

Das Additionstheorem ist der beste Ausgangspunkt für die Theorie der elliptischen Funktionen.

IV.

Es ist wünschenswert, die Invariantentheorie in die Universitätsvorlesungen aufzunehmen.

VITA.

Natus sum Carolus Weltzien Suerini in urbe Megalopolis die XV mensis Augusti a. h. s. 52 patre Julio, matre Luisa e gente Hennemann. Fidei addictus sum evangelicae. Primis literarum elementis imbutus gymnasium Fridericianum adii; ad studia mathematica et physica me incitabant 111. Bastian, Brauns, Hartwig. Maturitatis testimonio instructus anno h. s. 71 civibus üniversitatis Fridericae Guilelmae Berolinensis adscriptus horum in numero per decem semestria commoratus sum. Exercitationibus seminarii mathematici, quas moderantur 111. Kummer et Weierstrass, interfui per sex semestria. Disserentes audivi viros III. Aronhold, Bauer, Christoffel, Dove, Foerster, Helmholtz, Hertzer, Kummer, Kronecker, Liebe, Paalzow, Peters, Pochhammer, Poggendorff, Quincke, Seil, Tietjen, Weierstrass, Zeller.

Cum anno h. s. 75 examen, quod dicitur pro facultate docendi, superassem, in schola, quae dicitur Friedrichs-Werdersche Gewerbeschule, auspiciis 111. Gallenkamp directoris praeceptoris munere fungor.

Omnibus, quorum scholis interfui, viris clarissimis, imprimis 111. Christoffel, Kummer, Kronecker, Weier¬

strass gratias ago maximas semperque habebo.