Hans-Jürgen Schneider: Hopfalgebren

Hopfalgebren und Quantengruppen

[Wintersemester 2008/2009 und Sommersemester 2009]

Vorlesung von Prof. Dr. Hans-J¨urgen Schneider

Unautoritative Mitschrift von Darij Grinberg mit Erg¨anzungen Version 0.1.99 vom 3. Juli 2018

Ubungsbl¨¨ atter zu der Vorlesung:

http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~hanssch/Hopfalgebren.html Ubungsbl¨¨ atter zu einer anderen Vorlesung ¨uber Hopfalgebren:

http://www.mathematik.uni-marburg.de/~heckenberger/hans.htm

-1. Anmerkungen (DG)

Dies ist eineBeta-Version, die noch nie vollst¨andig korrekturgelesen wurde. Hin- weise auf Fehler oder Verst¨andnisfragen¹ sind willkommen!

TO-DO:

Einf¨uhrung: fehlt v¨ollig (ich meine die ersten ca. 30 Minuten der Vorlesung).

Kapitel I.1: abgleichen mit Scan pp. 5-6 und pp. 10-12.

Kapitel I: summenlose Sweedler-Notation besser erkl¨aren.

Kapitel I: direkte Summe von Coalgebren einf¨uhren (Beweise?).

Kapitel I: Wedderburn-Artin-S¨atze kompatibel machen.

Kapitel I: Beweis von Beispiel 2.60 (Shufflehopfalgebra) zu Ende f¨uhren.

Kapitel II.1: evtl. in Satz 1.41

2 Liestruktur auf

A⁺(A⁺)²∗

einf¨uhren, und bei 1.5. Beweis g) sch¨oner machen.

Kapitel II.2-4: Einige Beweise brauchen Feinschliff.

Kapitel III.5: Noch nichts sinnvolles drin. Werde vielleicht eines Tages daran weiterschreiben...

Kapitel IV.4-7: Hier fehlt mir ein Teil der Mitschrift.

Ausblick auf Zweites Semester: fehlt gr¨oßtenteils.

Dank geht an Johannes Flake f¨ur eine Mitschrift des 1. Kapitels, und an Katharina Jochemko und Valentin Hans f¨ur eine Vielzahl von Fehlerkorrekturen.

1bitte anA@B.com, wobei A=darijgrinbergundB=gmail

Hinweis an den Leser

Das nachfolgende Skriptum setzt sich zusammen aus einer Mitschrift von Prof.

Schneiders Vorlesungen ¨uber Hopfalgebren und Quantengruppen auf der einen Seite, und meinen eigenen Materialien auf der anderen. (Das Verh¨altnis ersterer zu letzteren ist ungef¨ahr 2:1.) Dies f¨uhrt leider zu einer merkbaren Inhomogenit¨at im Schreibstil (meine Beweise sind in der Regel detaillierter, aber auch deutlich schwerf¨alliger und weniger optimiert) und einer abenteuerlichen Nummerierung (wenn ich beispielsweise zwei neue S¨atze zwischen einem Satz 3.3 und einem Satz 3.4 anf¨ugen wollte, habe ich sie Satz 3.11

3 und Satz 3.12

3 genannt).

Die Mitschrift von Prof. Schneiders Vorlesungen ist unvollst¨andig (es fehlen: die Einleitung, der Ausblick auf das 2. Semester, Beispiel IV.2.6 und Teile von Abschnitten IV.4, IV.5 und IV.6 und ggfls. sp¨ater kommende Abschnitte), aber sie ist in sich selbst abgeschlossen (d. h. auf den fehlenden Teilen wird nicht aufgebaut).

Die zum Verst¨andnis des Skriptums ben¨otigten Vorkenntnisse sind:

• Lineare Algebra, insbesondereTensorprodukte von Vektorr¨aumen. (Zwar werden in Kapitel I Tensorprodukte vonR-Moduln eingef¨uhrt, doch diese Einf¨uhrung ist kurz und nicht wirklich als erste Einleitung geeignet, wenn man nicht bereits Tensorprodukte von Vektorr¨aumen kennt. Ferner wird eine Reihe von Eigen- schaften von Tensorprodukten ¨uber das gesamte Skriptum hinweg ohne expliziten Verweis verwendet.)

• Algebra im Umfang einer 1-Semester-Vorlesung. Vor allem die grundlegenden Eigenschaften von Ringen sind notwendig. Galoistheorie wird eher selten verwen- det. Der Satz von Artin-Wedderburn wird allerdings in mehreren verschiedenen Formen gebraucht!

0. Vorbemerkungen Empfohlene Literatur

Diese Vorlesung folgt nicht exakt einem Buch, aber es werden folgende B¨ucher zur Begleitlekt¨ure empfohlen:

• Christian Kassel: Quantum Groups, New York 1995.

• Jens Carsten Jantzen: Lectures on Quantum Groups, Providence 1996.

• George Lusztig: Introduction to Quantum Groups, Birkh¨auser 2008.

• Anatoli Klimyk, Konrad Schm¨udgen: Quantum Groups and Their Representa- tions, Berlin/Heidelberg 1997.

• Eiichi Abe: Hopf Algebras, Cambridge 1980.

• Susan Montgomery: Hopf Algebras and Their Actions on Rings, Providence 1993.

• Moss E. Sweedler: Hopf Algebras, New York 1969.

[...]

Notation

Bevor wir zu dem eigentlichen Skript kommen, wollen wir einige Schreibweisen einf¨uhren, die in der Literatur nicht einheitlich benutzt, oder benutzt aber nie definiert werden.

• Unter Ringen verstehen wir immer Ringe mit 1, die im Allgemeinen nicht kom- mutativ sein m¨ussen. Ringhomomorphismen m¨ussen die 1 auf die 1 abbilden.

• IstT ein Term, in dem eine Variablexvorkommt, und sindCundDzwei Mengen, dann bezeichnen wir mit

C→D, x7→T

die Abbildungf :C →D,die durchf(ξ) =T [xξ] f¨ur alleξ ∈Cdefiniert ist².³ Wenn unmißverst¨andlich klar ist, wasC undDsind, k¨onnen wir diese Abbildung f auch einfach mit x7→T bezeichnen und C →Dweglassen.⁴

Diese Notation setzt voraus, daß x eine einzelne Variable ist. Doch manchmal verwendet man auch eine gewisse Verallgemeinerung dieser Notation, bei der an

2Die Abk¨urzungT[xξ] bedeutet ”das, was herauskommt, wenn man jedes Vorkommen vonxim TermT durchξersetzt”.

3Beispiel: Die Abbildung

Z→Z, n7→n² ist die Abbildung, die jeder ganzen Zahl ihr Quadrat zuordnet.

4Wer den Lambda-Kalk¨ul aus der mathematischen Logik kennt, soll unsere Notation C→D, x7→T

einfach als Synonym f¨ur die Notationλx.T :C→D verstehen.

die Stelle der Variablen x ein komplizierterer Term S treten kann. Das heißt, wenn man zwei Terme S und T hat (in denen wiederum Variablen vorkommen k¨onnen), sowie zwei Mengen C und D, dann versteht man unter

C→D, S 7→T

eine Abbildung f : C → D, die f¨ur jede Variablenbelegung ρ die Bedingung f(S(ρ)) = T(ρ) erf¨ullt. Diese Definition macht nur Sinn, wenn klar ist, aus welchen Mengen die Variablen im Term S kommen, und wenn S(ρ) ∈ C und T (ρ) ∈ D f¨ur jede sinnvolle Variablenbelegung ρ ist. Und selbst dann ist eine Abbildung

C→D, S 7→T

weder notwendigerweise existent noch notwendigerweise eindeutig. Doch manch- mal erh¨alt man Eindeutigkeit, wenn man zus¨atzliche Eigenschaften von dieser Abbildung verlangt. Ein Beispiel: Die Menge {e₁, e₂, ..., e_n} ist eine Basis des R-VektorraumesRⁿ. Offensichtlich ist

Rⁿ →R, e_i 7→1

keine wohldefinierte Abbildung, denn nur ihre Werte auf den Vektorene₁, e₂, ..., e_n sind vorgegeben, w¨ahrend die restlichen Werte beliebig sein k¨onnen. Doch die R-lineare Abbildung

Rⁿ →R, e_i 7→1

ist wohldefiniert (d. h. sie existiert und ist eindeutig), denn es gibt genau eine R-lineare Abbildung f : Rⁿ → R, welche f(e_i) = 1 f¨ur jedes i ∈ {1,2, ..., n}

erf¨ullt.

Eine R-lineare Abbildung

Rⁿ →R, e_i+e_j 7→i−j

existiert (f¨ur n > 1) wiederum nicht, denn es gibt keine R-lineare Abbildung f :Rⁿ →R,die f(e_i+e_j) =i−j f¨ur allei, j ∈ {1,2, ..., n}erf¨ullt. Es gibt auch keine Abbildung

Z→Z, n+m7→nm,

da eine solche Abbildung 1 in 0 ¨uberf¨uhren m¨usste (denn 1 = 1 + 0 und 1·0 = 0) und 1 in−2 ¨uberf¨uhren m¨usste (denn 1 = (−1) + 2 und (−1)·2 = −2), was einen Widerspruch darstellt. Es ist also klar, daß man jedesmal, wenn man von einer Abbildung

C→D, S 7→T

redet, sich bewusst machen muss, warum so eine Abbildung existiert und ein- deutig ist (denn es ist alles andere als garantiert).

• Wir werden hin und wieder gewisse Abbildungen mit kan bezeichnen. Welche Abbildung wir damit meinen, wird von Kontext zu Kontext unterschiedlich sein.

Die allgemeine Regel ist folgende: Sind U und V zwei Mengen, dann bezeichnen wir mit kan : U → V die naheliegendste Abbildung von der Menge U in die Menge V. Der Begriff ”naheliegend” ist dabei kein formal definierter Begriff,

aber es wird (hoffentlich!) aus dem Kontext klar sein, welche Abbildung wir jeweils meinen. Indem wir die Abbildung mit kan :U → V bezeichnen, werden wir uns ihre explizite Beschreibung ersparen; wir werden quasi die Definition dieser Abbildung dem Leser als ¨Ubung ¨uberlassen. Zwei Beispiele:

Beispiel 1: Ist M eine Menge und ist ∼ eine ¨Aquivalenzrelation auf der Menge M, dann wird die Menge aller ¨Aquivalenzklassen von Elementen der Menge M modulo der Relation∼alsM∼bezeichnet. Wenn wir dann von der Abbildung kan :M →M∼ reden, dann meinen wir damit die Abbildung

M →M∼, x7→

Aquivalenzklasse des Elementes¨ x∈M modulo ∼ (dies ist die Abbildung, die jedes Element x ∈ M auf seine ¨Aquivalenzklasse modulo ∼ abbildet). Es kann zwar auch andere Abbildungen zwischen von der Menge M in die Menge M ∼ geben, aber diese eine Abbildung ist die einzige wirklich naheliegende, und deshalb bezeichnen wir sie mit kan :M →M∼.

Beispiel 2: Sind U, V und W drei Mengen, dann bezeichnen wir mit kan : (U×V)×W →U ×(V ×W) die naheliegendste Abbildung von (U ×V)×W nachU ×(V ×W). Dies ist die Abbildung

(U×V)×W →U ×(V ×W), ((u, v), w)7→(u,(v, w)).

Bemerkung: Abbildungen, die wir kan nennen, werden immer kanonische Ab- bildungen sein⁵, aber nicht jede kanonische Abbildung kann mit kan bezeichnet werden (denn ”kanonisch” heißt noch lange nicht ”naheliegend”).

• Abbildungen ”wissen” immer, von welcher Menge in welche Menge sie gehen.

Das heißt, wenn wir von einer Abbildung f :A→B sprechen, sind nicht nur die Wertepaare (a, f(a)) f¨ur allea∈A, sondern auch die Mengen A und B Teil der Spezifikation der Abbildung. Beispielsweise ist damit die Abbildung sin :R→R nicht das gleiche wie die Abbildung sin : R → [−1,1], auch wenn diese beiden Abbildungen auf der gleichen Menge definiert sind und ¨uberall die gleichen Werte haben.

• Sind f und g zwei Abbildungen, deren Verkettung f ◦g wohldefiniert ist, dann schreiben wir f¨ur diese Verkettungf◦g gelegentlich auchf g. Istf eine Abbildung und x ein Objekt, f¨ur das f(x) wohldefiniert ist, dann schreiben wir f¨ur f(x) gelegentlich auchf x. Diese beiden Notationen (f g f¨ur die Verkettung f◦g, und f x f¨ur den Wert f(x)) k¨onnen in gewissen F¨allen kollidieren; in diesen F¨allen werden wir auf diese Notationen verzichten.

• Sind pund q zwei Objekte (Zahlen, Vektoren, Matrizen, Mengen, oder was auch immer), dann definieren wir eine Zahl δ_p,q wie folgt: δ_p,q =

1, wennp=q;

0, wenn p6=q . Normalerweise sind dabei mit 1 und 0 die ganzen Zahlen 1 bzw. 0 gemeint, aber manchmal werden wir damit auch die Eins bzw. die Null in einem bestimmten Ring meinen.

5Was der Begriff ”kanonische Abbildung” genau bedeutet, wird im Abschnitt ”Nat¨urliche Trans- formationen zwischen Funktoren” erkl¨art.

• Wenn wir einen Begriff U definiert haben, der von einem Objekt O abh¨angt, dann k¨onnen wir U auch mitUO bezeichnen. Einige Beispiele:

Eine abelsche (additive) Gruppe G ist definiert als eine Menge M mit einer bestimmten Verkn¨upfung +. Diese Verkn¨upfung k¨onnen wir dann auch als +_G bezeichnen.

Oder: IstV ein Modul ¨uber einem kommutativen Ring, dann gibt es einen kanon- ischen Homomorphismus

Ψ :V →V^∗∗, definiert durch Ψ (x) = (f 7→f(x)) f¨ur alle x∈V.

Dieses Ψ k¨onnen wir dann auch als Ψ_V bezeichnen.

Der Sinn dieser Notation wird klar, wenn wir mehrere Objekte haben und die entsprechenden Begriffe betrachten wollen, z. B. zwei Vektorr¨aumeV undW und die entsprechenden kanonischen HomomorphismenV →V^∗∗undW →W^∗∗.Wir k¨onnen diese Homomorphismen nicht beide mit Ψ bezeichnen; deshalb nennen wir sie Ψ_V bzw. Ψ_W.

• Die Abk¨urzung dim steht f¨ur Dimension, und zwar f¨ur Dimension von Vek- torr¨aumen ¨uber einem Grundk¨orper oder (etwas allgemeiner) f¨ur Dimension von freien Moduln ¨uberkommutativen Ringen. ( ¨Uber nichtkommutativen Ringen ist auch f¨ur freie Moduln die Dimension nicht eindeutig, d. h. ein Modul ¨uber einem nichtkommutativen Ring kann Basen unterschiedlicher L¨ange haben!)

• Die n×n-Einheitsmatrix bezeichnen wir mit En oder (wenn klar ist, welches n gemeint ist) kurz mit E.

• Unter der Skalarmultiplikation auf einem Vektorraum verstehen wir die Multip- likation eines Skalars (d. h. eines Elementes des Grundk¨orpers) mit einem Vektor des Vektorraums, und nicht ein etwaiges Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren.

Statt ”Skalarmultiplikation” sagen wir auch ”Wirkung des Grundk¨orpers”. All- gemein verstehen wir unter derWirkung eines Rings R auf einem R-Linksmodul M die Abbildung R×M → M, die jedes Paar (r, m) auf rm abbildet. (Analog f¨ur Rechtsmoduln.)

• Wir werden f¨ur viele Begriffe eine etwas altert¨umliche, an das Lateinische an- gelehnte Schreibweise benutzen, bei der das Pr¨afix ”co/ko” mit einem ”c” geschrieben wird (z. B. ”Coalgebra”, ”Comodul”, ”coassoziativ”, etc.). In der meisten mod- ernen deutschsprachigen Literatur wird hingegen dieses Pr¨afix mit einem ”k”

geschrieben (d. h. diese Begriffe lauten ”Koalgebra”, ”Komodul”, ”koassozia- tiv”, etc.).

• Ich werde manchmal den Buchstabenkin doppelter Bedeutung verwenden: Zum einen bezeichne ich mit k meistens den Grundk¨orper oder Grundring, ¨uber dem ich Vektorr¨aume (bzw. Moduln), Algebren, Coalgebren usw. betrachte⁶; zum an- deren kannkje nach Kontext f¨ur etwas anderes (z. B. f¨ur eine nat¨urliche Zahl, f¨ur einen Summationsindex, o. ¨a.) stehen. Ich hoffe, daß sich die Mißverst¨andnisse, die durch diese Doppelbelegung entstehen, in Grenzen halten, da ein K¨orper oder Ring meistens doch recht gut von einer Zahl zu unterscheiden ist. Aber

6Manchmal werde ich den Grundk¨orper auch anders nennen, aber meistens wird erkheißen.

es ist schlechte Notation, die ich hier benutze. Wenn ich dieses Skript nochmal schreiben w¨urde, w¨urde ich den Grundk¨orper bzw. Grundring anders nennen.

• Das Symbol hat in diesem Text immer Pr¨azedenz ¨uber den Symbolen × und

⊗. Das heißt,A×BC ist alsA×(BC) zu lesen, und nicht als (A×B)C.

Ferner istA⊗BC ist als A⊗(BC) zu lesen, und nicht als (A⊗B)C.

• SindX undY zwei Mengen und istf :X →Y eine Abbildung, dann werden wir die Bildmenge der Abbildungf mit Imf oder auch mitf(X) bezeichnen. Diese Bildmenge ist zu unterscheiden von derZielmenge der Abbildungf, welche alsY definiert ist (auch wenn nicht alle Elemente vonY auch tats¨achlich Bilder unterf sind!). Diese Unterscheidung ist dadurch m¨oglich, daß (wie oben gesagt) nicht nur die Wertepaare (a, f(a)), sondern auch die MengenXundY zur Spezifikation der Abbildung f geh¨oren (sonst w¨are der Begriff der Zielmenge nicht wohldefiniert).

Erstes Semester I. Kapitel: Grundlagen

1. Moduln, Algebren, Tensorprodukte, Kategorien, Funktoren In diesem Abschnitt werden wir einige Grundlagen aus der Algebra bereitstellen.

Fundamentale Eigenschaften von Moduln

Diese Vorlesung baut auf der Theorie der Moduln ¨uber (nicht notwendig kommu- tativen!) Ringen auf. Ein paar Konventionen im Voraus:

• SeiRein Ring. EinR-Linksmodul ist eine abelsche GruppeM mit einer Linkswirkung vonRaufM.EinR-Rechtsmodulist eine abelsche GruppeNmit einer Rechtswirkung von R auf N. Wirkungen sind dabei immer assoziativ⁷, distributiv (sowohl im Ringelement, als auch im Modulelement) und unit¨ar (d. h. die 1 des Ringes wirkt als Identit¨at auf dem Modul). Wir werden diese Definition sp¨ater detail- lierter wiederholen, und zwei anderen (¨aquivalenten) Definitionen des Begriffes

”R-Linksmodul” gegen¨uberstellen.

Bemerkung: Statt dem Begriff ”R-Linksmodul” benutzen viele Autoren auch das Synonym ”Links-R-Modul”, und entsprechend ”Rechts-R-Modul” statt ”R- Rechtsmodul”, und analoge Synonyme f¨ur Comoduln und Hopfmoduln (dies sind Begriffe, die wir sp¨ater einf¨uhren werden).

• Unter einem R-Modul verstehen wir ein Objekt, das ein R-Linksmodul oder ein R-Rechtsmodul ist. (Genauso werden wir sp¨ater unter einem C-Comodul ein Objekt verstehen, das ein C-Linkscomodul oder ein C-Rechtscomodul ist.)

• SeiRein Ring. IstM einR-Linksmodul, dann bezeichnet man denR-Linksmodul M auch mit RM (besonders, wenn man deutlich machen will, daß man den R- Linksmodul M und nicht nur die zugrundeliegende Menge M betrachtet). Ist N ein R-Rechtsmodul, dann bezeichnet man den R-Rechtsmodul N auch mit N_R.

7Insofern kann man nicht aus jeder Rechtswirkung eine Linkswirkung machen, indem man die Ringelemente ”einfach” links statt rechts schreibt! (Nat¨urlich geht dies, falls der Ring kommutativ ist.)

• Seien R und S zwei Ringe. Ein (R, S)-Bimodul ist eine abelsche Gruppe M mit einer Linkswirkung von R auf M und einer Rechtswirkung von S auf M, die folgende Eigenschaft erf¨ullen: F¨ur alle r ∈ R, s ∈ S und x ∈ M gilt (rx)s = r(xs) (diese Eigenschaft wird manchmal als Kompatibilit¨at der beiden Modulstrukturen bezeichnet). Jeder (R, S)-Bimodul hat eine kanonische Struk- tur alsR-Linksmodul (indem man die Rechtswirkung vonS aufM vergisst) und eine kanonische Struktur als S-Rechtsmodul (indem man die Linkswirkung von R auf M vergisst).

• Seien R und S zwei Ringe. Ist M ein (R, S)-Bimodul, dann bezeichnet man den (R, S)-BimodulM auch mit_RM_S (besonders, wenn man unterstreichen will, daß man den (R, S)-Bimodul M meint, und nicht die zugrundeliegende Menge M).

Die kanonischeR-Linksmodulstruktur aufM heißt dann_RM,und die kanonische S-Rechtsmodulstruktur M_S.

Es ist wichtig, RMS, RM und MS miteinander nicht zu verwechseln, obwohl die zugrundeliegende Menge M immer die gleiche ist! (Hier ist ein Beispiel daf¨ur, warum wir es notwendig ist, _RM_S, _RM und M_S voneinander zu unterscheiden:

Wenn wir zwei (R, S)-Bimoduln M und N haben, und RMS ∼= RNS schreiben, dann meinen wir, daß M und N als (R, S)-Bimoduln isomorph sind. Wenn wir aber _RM ∼= RN schreiben, dann meinen wir, daß M und N als R-Linksmoduln isomorph sind. Der Unterschied ist gewaltig.)

• Sei Rein Ring. Eine R-linkslineare Abbildung ist ein anderes Wort f¨ur einen Ho- momorphismus zwischen R-Linksmoduln. Entsprechend ist eine R-rechtslineare Abbildung nichts anderes als ein Homomorphismus zwischen R-Rechtsmoduln.

Eine R-lineare Abbildung ist ein Homomorphismus zwischen R-Moduln (Links- oder Rechtsmoduln, je nachdem, was f¨ur Moduln die Definitionsmenge und die Bildmenge sind).

• F¨ur einen Ring R sind ”Homomorphismen zwischen R-Moduln” und ”R-lineare Abbildungen” Synonyme.

Wir rekapitulieren erstmal einige einfache Konstruktionen wie Produkte und Co- produkte von Moduln:

Erinnerung: Sei R ein Ring.

1) Ist M ein R-Linksmodul, und N ⊆M ein Untermodul, dann definiert man den R-Linksmodul MN als Menge {m |m∈M} der ¨Aquivalenzklassen von Elementen von M bez¨uglich der Relation ∼, die wie folgt definiert ist: F¨ur zwei Elemente m₁ und m₂ von M gilt m₁ ∼ m₂ genau dann, wenn m₁ −m₂ ∈ N ist. Dabei definiert man auf MN die Addition durchm1+m2 =m1+m2 f¨ur alle m1, m2 ∈M und die Skalarmultiplikation durch rm = rm f¨ur alle r ∈ R und m ∈ M. Der R-Linksmodul MN heißtFaktormodul des Moduls M modulo N.

Die Abbildung kan :M →MN,die jedesm∈M auf die zugeh¨orige ¨Aquivalenzklasse m ∈ MN abbildet, ist R-linear. Der R-Linksmodul MN und die kanonische Ab- bildung kan besitzen folgende universelle Eigenschaft:

F¨ur jedenR-LinksmodulX und jedeR-lineare Abbildungf :M →X mitf(N) =

0 gibt es genau eine R-lineare Abbildungg :MN →X, so dass das Diagramm M ^{f //}

kan

X

M/N

g

<<

kommutiert.

2) Sei I eine Menge, und (M_i)_i∈I eine Familie vonR-Linksmoduln. Dann definiert man denR-Linksmodul Q

i∈I

M_i als die Menge Q

i∈I

M_i (das kartesische Produkt der Men- gen M_i), ausgestattet mit komponentenweiser Addition (also (m_i) + (m⁰_i) = (m_i+m⁰_i) f¨ur alle (m_i),(m⁰_i)∈ Q

i∈I

M_i) und komponentenweiser Skalarmultiplikation (alsor(m_i) = (rm_i) f¨ur alle r ∈ R und (m_i) ∈ Q

i∈I

M_i). F¨ur jedes j ∈ I l¨aßt sich eine Abbildung pr_j : Q

i∈I

M_i →M_j definieren durch pr_j((m_i)) =m_j f¨ur alle (m_i)∈ Q

i∈I

M_i.Diese Abbil- dung pr_j ist R-linear. Der R-Linksmodul Q

i∈I

M_i hat zusammen mit den Abbildungen pr_j folgende universelle Eigenschaft:

Ist X ein R-Linksmodul, und ist f_i : X → M_i eine R-lineare Abbildung f¨ur jedes i∈I,so gibt es genau eineR-lineare Abbildungf :X → Q

i∈I

M_i,so dass das Diagramm

X ^{fj //}

f

Mj

Y

i∈I

M_i

pr_j

OO f¨ur jedes j ∈I

kommutiert (n¨amlich die Abbildung f, die durch f(x) = (f_i(x)) f¨ur jedes x ∈ X definiert ist). Diese Abbildungf nennt man Q

i∈I

f_i. Der R-Linksmodul Q

i∈I

M_i heißt direktes Produkt der R-LinksmodulnM_i.

3) Sei I eine Menge, und (M_i)_i∈I eine Familie vonR-Linksmoduln. Dann definiert man den R-Linksmodul `

i∈I

M_i als denR-Untermodul (

(m_i)∈Y

i∈I

M_i | es gibt eine endliche Menge J ⊆I so, dass f¨ur alle i∈I\J gilt: m_i = 0 )

des R-Linksmoduls Q

i∈I

M_i.

F¨ur jedes j ∈ I l¨aßt sich eine Abbildung in_j : M_j → `

i∈I

M_i definieren durch in_j(m) =

m, wenni=j;

0, wenn i6=j

i∈I

f¨ur allem ∈M_j. Diese Abbildung in_j ist R-linear.

Der R-Linksmodul `

i∈I

M_i hat zusammen mit den Abbildungen in_j folgende universelle Eigenschaft:

Ist X ein R-Linksmodul, und ist f_i : M_i → X eine R-lineare Abbildung f¨ur jedes i∈I,so gibt es genau eineR-lineare Abbildungf : `

i∈I

Mi →X, so dass das Diagramm

X^{oo fj} M_j

inj

a

i∈I

M_i

f

__ f¨ur jedes j ∈I

kommutiert (n¨amlich die Abbildungf, die durchf((m_i)) =P

i∈I

f_i(m_i) f¨ur jedes (m_i)∈

`

i∈I

M_i definiert ist). Diese Abbildung f nennt man `

i∈I

f_i. Der R-Linksmodul `

i∈I

M_i heißt Coprodukt der R-Linksmoduln M_i. F¨ur jedes (m_i)∈ `

i∈I

M_i gilt (m_i) = P

i∈I

in_i(m_i).

4)Sei I eine Menge, sei M einR-Linksmodul, und seiMi ⊆M ein Untermodul f¨ur jedesi∈I.

a) Wir schreiben kurz P

i∈I

M_i f¨ur den Untermodul (

X

i∈I

m_i | m_i ∈M_i f¨ur alle i∈I, und es gibt eine endliche Menge J ⊆I so, dass f¨ur allei∈I \J gilt: mi = 0

)

= (

X

i∈I

m_i | (m_i)∈a

i∈I

M_i )

= a

i∈I

inc_i

! a

i∈I

M_i

!

von M, wobei inc_i :M_i →M die kanonische Inklusion vonM_i inM bedeutet.

b) In dem Fall, daß der Homomorphismus `

i∈I

inc_i : `

i∈I

M_i → M injektiv ist (mit anderen Worten: falls f¨ur jedes (m_i)_i∈I ∈ `

i∈I

M_i aus P

i∈I

m_i = 0 sofort m_i = 0 f¨ur alle i ∈ I folgt; mit noch anderen Worten: falls jedes Element von P

i∈I

M_i eine eindeutige Darstellung alsP

i∈I

m_if¨ur ein (m_i)∈ `

i∈I

M_i besitzt), schreibt man auchL

i∈I

M_if¨urP

i∈I

M_i, und bezeichnet den UntermodulL

i∈I

Mi vonM alsdirekte Summe der UntermodulnMi. 5) Im Fall 4) b) (also in dem Fall, daß `

i∈I

inc_i injektiv ist) giltL

i∈I

M_i ∼= `

i∈I

M_i. Im Fall3)gilt wiederum `

i∈I

M_i =L

i∈I

M_i⁰,wobeiM_i⁰ = in_iM_i ∼=M_i f¨ur allei∈I ist.

Somit sind Coprodukt (`

i∈I

M_i) und direkte Summe (L

i∈I

M_i) von Moduln ”mehr oder weniger der gleiche Begriff”, nur mit dem Unterschied, daß man bei der direkten Summe bereits im Voraus einen ModulM kennen muß, der alle M_i umschließt. Coprodukt und direkte Summe werden in der linearen Algebra auch ¨außere direkte Summe bzw. innere direkte Summe genannt (was diesen Zusammenhang noch deutlicher macht).

Definition: Sei R ein Ring, undM ein R-Linksmodul.

1) Sei I eine Indexmenge, und f¨ur jedes i∈I sei m_i ∈M beliebig.

Die Familie (m_i) heißt R-linear unabh¨angig, wenn f¨ur jede endliche Menge J ⊆ I und jede Familie (rj)_j∈J mit rj ∈ R f¨ur alle j ∈ J gilt: Wenn P

j∈J

rjmj = 0, dann ist r_j = 0 f¨ur alle j ∈J.

Die Familie (m_i) heißt ein R-Erzeugendensystem von M, wenn f¨ur jedes p ∈ M eine endliche MengeJ ⊆I und eine Familie (rj)_j∈J mit rj ∈R f¨ur allej ∈J existiert, die p= P

j∈J

r_jm_j erf¨ullt.

Die Familie (m_i) heißt R-Basis von M, wenn sie R-linear unabh¨anig und ein R- Erzeugendensystem von M ist.

2) Der Modul M heißt ein freier Modul, wenn er eine R-Basis hat.

1.1. Bemerkung: 1) Jeder Ring R wird selber zu einem R-Linksmodul, wenn man die Wirkung von R auf R durch Multiplikation definiert.

2) Sei G eine Menge. Dann existiert ein R-Linksmodul mit Basis G, n¨amlich der R-Linksmodul `

g∈G

R. In der Tat kann man jedes Element g ∈ G kanonisch mit dem Element (δ_g,h)_h∈G von `

g∈G

R identifizieren; diese Elemente (δ_g,h)_h∈G f¨ur alle g ∈ G bilden eine Basis von `

g∈G

R.

Dieser Modul `

g∈G

Rwird mitR^(G)bezeichnet undfreier R-Linksmodul mit Basis G genannt. Im Spezialfall R =Z nennt manR^(G) =Z^(G) auch die freie abelsche Gruppe mit Basis G.

Der R-Linksmodul `

g∈G

R ist Untermodul des R-Linksmoduls Q

g∈G

R. Jener Modul Q

g∈G

R wird auch mit R^G bezeichnet.

Ist G eine endliche Menge, dann ist R^(G)= `

g∈G

R= Q

g∈G

R=R^G. F¨ur jedes g ∈ G schreiben wir Eg f¨ur das Element ing1 von `

g∈G

R. Dann ist (E_g)_g∈G eine Basis desR-Linksmoduls `

g∈G

R. Wir werden allerdings oft E_g einfach mit g gleichsetzen (auch wenn dies strenggenommen ein Mißbrauch von Notation ist); dann folgt hieraus, daß (g)_g∈Geine Basis des R-Linksmoduls `

g∈G

Rist, also daßGselber eine Basis desR-Linksmoduls `

g∈G

R ist. Dies verleiht dem Begriff ”freierR-Linksmodul mit Basis G” nachtr¨aglich Recht.

3) Ist I eine Menge, und M ein freier R-Linksmodul mit Basis {m_i}_i∈I, dann ist M = L

i∈I

Rm_i und Rm_i ∼= R f¨ur alle i ∈ I (wobei das Zeichen ∼= f¨ur Isomorphie als R-Moduln steht).

Tensorielle Abbildungen und Tensorprodukte

Im Folgenden werden abelsche Gruppen immer additiv geschrieben. Somit k¨onnen wir die Begriffe ”abelsche Gruppe” und ”Z-Modul” als Synonyme verwenden (denn jede abelsche Gruppe ist kanonischerweise ein Z-Modul, und jeder Z-Modul eine abelsche Gruppe). Homomorphismen zwischen abelschen Gruppen sind das Gleiche wie Z- lineare Abbildungen zwischen Z-Moduln.

Wir werden nun eine Theorie der Tensorprodukte von Moduln ¨uber Ringen entwick- eln. Dabei arbeiten wir ¨uber allgemeinen, nicht notwendigerweise kommutativen Rin-

gen. Dies f¨uhrt zu einigen ¨Uberraschungen, die man nicht erwarten w¨urde, wenn man nur die Theorie der Tensorprodukte von Moduln ¨uberkommutativen Ringen kennt. So kann man ¨uber einem allgemeinen Ring kein Tensorprodukt f¨ur zwei R-Linksmoduln definieren, sondern nur ein Tensorprodukt von einem R-Rechtsmodul und einem R- Linksmodul, und dieses Tensorprodukt selber ist weder ein R-Linksmodul noch ein R-Rechtsmodul - sondern nur eine abelsche Gruppe (also ein Z-Modul). Eine st¨arkere Struktur auf dem Tensorprodukt erh¨alt man nur, wenn man auf den zwei Tensoranden mehr Struktur festlegt. Doch beginnen wir mit dem grundlegendsten Fall:

Definition: SeiRein Ring, seiXeinR-Rechtsmodul, und seiY einR-Linksmodul.

1) Sei M eine abelsche Gruppe, also ein Z-Modul. Sei ϕ : X ×Y → M eine Abbildung (eine Abbildung von Mengen; sie muß nichtR-linear sein!). Die Abbildung ϕheißt R-tensoriell oder auch R-bilinear, wenn gilt:

ϕ(x+x⁰, y) =ϕ(x, y) +ϕ(x⁰, y) f¨ur allex, x⁰ ∈X und y∈Y; ϕ(x, y+y⁰) =ϕ(x, y) +ϕ(x, y⁰) f¨ur allex∈X und y, y⁰ ∈Y;

ϕ(xr, y) =ϕ(x, ry) f¨ur alle x∈X, y ∈Y und r ∈R.

2)SeiT eine abelsche Gruppe, und seiτ :X×Y →T eineR-tensorielle Abbildung.

Dann heißtτ eine universelle R-tensorielle Abbildung, wenn f¨ur jede abelsche Gruppe M und f¨ur jede R-tensorielle Abbildung ϕ : X ×Y → M gilt: Es gibt genau eine Z-lineare Abbildung⁸ f :T →M so, daß das Diagramm

X×Y ^{ϕ //}

τ

M

T

f

;;

kommutativ ist. (Das heißt, es gibt genau einen Gruppenhomomorphismusf :T →M so, daß ϕ=f τ ist.)

1.2. Bemerkung: Es gibt, bis auf Isomorphie, nur eine universelle R-tensorielle Abbildung. Hinter diesem kryptischen Satz verbirgt sich folgende Aussage:

Seien T eine abelsche Gruppe und τ : X ×Y → T eine universelle R-tensorielle Abbildung. Seien T⁰ eine abelsche Gruppe und τ⁰ : X ×Y → T⁰ eine universelle R- tensorielle Abbildung. Dann gibt es einen Isomorphismus f : T → T⁰ von abelschen Gruppen (d. h. von Z-Moduln) so, daß das Diagramm

X×Y

τ⁰

τ //T

f

∼=

||T⁰

kommutativ ist.⁹

8d. h. Homomorphismus zwischen abelschen Gruppen

9Eine ¨ahnliche Eindeutigkeitsaussage (aber im Allgemeinen keine Existenz!) gilt f¨ur alle sogenan- nten ”universellen Objekte” im Sinne der Kategorientheorie. Wir werden allerdings vermutlich nicht die Zeit haben, auf diese Begriffe einzugehen.

Beweis: Da τ⁰ :X×Y →T⁰ eine R-tensorielle Abbildung ist, und τ :X×Y →T eine universelle R-tensorielle Abbildung ist, gibt es genau eine Z-lineare Abbildung f :T →T⁰ so, daß das Diagramm

X×Y ^{τ0 //}

τ

T⁰

T

f

;;

kommutativ ist. Daτ :X×Y →T eineR-tensorielle Abbildung ist, undτ⁰ :X×Y → T⁰ eine universelle R-tensorielle Abbildung ist, gibt es genau eineZ-lineare Abbildung g :T⁰ →T so, daß das Diagramm

X×Y ^{τ //}

τ⁰

T

T⁰

g

;;

kommutativ ist.

Damit ergibt sich folgendes kommutatives Diagramm:

X×Y ^{τ //}

τ

τ⁰

""

T

T ^{f //}

id

UU

T⁰

g

OO .

Doch da τ : X ×Y → T eine universelle R-tensorielle Abbildung ist, gibt es genau eine Z-lineare Abbildung u:T →T so, daß das Diagramm

X×Y ^{τ //}

τ

T

T

u

;;

kommutativ ist. Laut obigem kommutativen Diagramm ist dies aber sowohl f¨uru= id, als auch f¨ur u = gf erf¨ullt. Also ist gf = id; genauer gesagt, gf = id_T . Analog ist f g = id_T⁰. Damit istf ein Isomorphismus, qed.

1.3. Satz: Sei R ein Ring, sei X ein R-Rechtsmodul, sei Y ein R-Linksmodul.

Dann gibt es eine abelsche GruppeT so, daß es eine universelleR-tensorielle Abbildung τ :X×Y →T gibt.

Beweis: Sei F =Z^(X×Y) die freie abelsche Gruppe¹⁰ mit Basis X×Y. Sei N ⊆F die Untergruppe, die erzeugt wird von allen Elementen der Form

(x+x⁰, y)−(x, y)−(x⁰, y) mit x, x⁰ ∈X und y∈Y; (x, y+y⁰)−(x, y)−(x, y⁰) mit x∈X und y, y⁰ ∈Y;

(xr, y)−(x, ry) mit x∈X, y∈Y und r ∈R.







(1.0)

10d. h. der freieZ-Modul

Sei nun T = FN. Wir definieren eine Abbildung τ : X×Y → T = FN durch τ(x, y) = (x, y) f¨ur allex∈X und y ∈Y.

Wir m¨ussen jetzt zeigen, daß die Abbildungτ :X×Y →T universell R-tensoriell ist.

Dazu beweisen wir zuerst, daß τ eine R-tensorielle Abbildung ist:

F¨ur allex, x⁰ ∈X und y∈Y gilt

τ(x+x⁰, y) = (x+x⁰, y) = (x, y) + (x⁰, y) (nach der Definition vonT alsFN)

= (x, y) + (x⁰, y) = τ(x, y) +τ(x⁰, y).

Analog zeigen wir τ(x, y+y⁰) =τ(x, y) +τ(x, y⁰) f¨ur alle x∈ X und y, y⁰ ∈Y, sowie τ(xr, y) = τ(x, ry) f¨ur alle x ∈ X, y ∈ Y und r ∈ R. Also ist τ eine R-tensorielle Abbildung.

Um zu zeigen, daß τ universell R-tensoriell ist, m¨ussen wir also nur noch folgende Aussage nachweisen:

(*) Sei M eine abelsche Gruppe, und sei ϕ : X × Y → M eine R-tensorielle Abbildung. Dann gibt es genau eine Z-lineare Abbildung f :T →M mit ϕ=f τ.

Beweis von (*): Existenz von f: Wir definieren eineZ-lineare Abbildungf₁ :F → M durch f₁((x, y)) = ϕ(x, y) f¨ur alle x ∈X und y ∈ Y (diese Definition ist m¨oglich nach der universellen Eigenschaft des Coproduktes, denn F =Z^(X×Y)= `

(x,y)∈X×Y Z).

Dann gilt f1(n) = 0 f¨ur jedes Element n ∈ N (denn N wird von allen Elementen der Form (1.0) erzeugt, und f¨ur alle Elemente n ∈ N der Form (1.0) gilt f₁(n) = 0, wie man leicht sieht:

f₁((x+x⁰, y)−(x, y)−(x⁰, y)) = ϕ(x+x⁰, y)−ϕ(x, y)−ϕ(x⁰, y) = 0

(daϕeineR-tensorielle Abbildung ist) und analogf₁((x, y +y⁰)−(x, y)−(x, y⁰)) = 0 undf₁((xr, y)−(x, ry)) = 0). Das heißt,f₁(N) = 0.Nach der universellen Eigenschaft des Faktormoduls gibt es dann eine Z-lineare Abbildung f : T = FN → M mit f(a) =f₁(a) f¨ur alle a∈ F.Betrachte dieses f. Nach Konstruktion der Abbildungen ist dannϕ=f τ, denn f¨ur allex∈X und y∈Y ist

f(τ(x, y)) =f

(x, y)

=f₁((x, y)) =ϕ(x, y).

Damit haben wir eine gew¨unschte Abbildung f f¨ur die Aussage(*) konstruiert.

Eindeutigkeit von f: Jetzt werden wir zeigen, daß es nur eineZ-lineare Abbildung f :T →M mit ϕ=f τ gibt.

In der Tat seien f : T → M und f⁰ : T → M zwei Z-lineare Abbildungen, die ϕ=f τ und ϕ=f⁰τ erf¨ullen. Wir m¨ussen dann zeigen, daßf =f⁰ ist.

In der Tat ist f

(x, y)

= f(τ(x, y)) = ϕ(x, y) f¨ur alle x ∈ X und y ∈ Y, und analog f⁰

(x, y)

= ϕ(x, y). Also ist f

(x, y)

= f⁰

(x, y)

f¨ur alle x ∈ X und y ∈ Y. Doch n

(x, y)|x∈X und y∈Yo

ist ein Erzeugendensystem des Z-Moduls T (denn T = FN = Z^(X×Y)N). Also sind die Abbildungen f und f⁰ auf einem Erzeugendensystem von T identisch. Da beide Abbildungen f und f⁰ außerdem Z- linear sind, folgt hieraus, daß f = f⁰ ¨uberall ist. Damit ist die Eindeutigkeit von f gezeigt.

Wir haben also nachgewiesen, daß eine die Aussage (*) erf¨ullende Abbildung f existiert und eindeutig ist. Damit ist Satz 1.3. bewiesen.

Definition: SeiRein Ring, seiXeinR-Rechtsmodul, und seiY einR-Linksmodul.

Die in Satz 1.3. definierte abelsche GruppeT wirdX⊗_RY genannt und als dasTensor- produkt der Moduln X und Y bezeichnet. Die Moduln X und Y heißen Tensoranden dieses Tensorproduktes; Elemente von X⊗_RY heißen Tensoren. F¨ur alle x ∈ X und y ∈ Y setzt man x⊗ y = τ(x, y), wobei τ : X × Y → X ⊗_R Y die in Satz 1.3.

eingef¨uhrte universelle R-tensorielle Abbildung ist.

Auf diese Weise ist zwar die abelsche GruppeT =X⊗_RY nicht eindeutig definiert!

Doch nach Bemerkung 1.2. sind alle m¨oglichen abelschen GruppenT,die alsX⊗_RY in Frage kommen, zueinander isomorph, und die entsprechenden tensoriellen Abbildungen τ :X×Y →T vertragen sich mit den Isomorphismen. Deshalb k¨onnen wir behaupten, wir haben das Tensorprodukt X⊗_RY ”bis auf Isomorphie” eindeutig definiert. Falls wir aber doch eine eindeutige Definition der abelschen Gruppe T = X⊗RY und der Abbildung τ :X ×Y →X⊗_RY (und nicht nur ihrer Isomorphieklasse) n¨otig haben, definieren wir T und τ so, wie wir sie im Beweis von Satz 1.3 definiert haben - also durch T = FN, wobei F = Z^(X×Y) ist und N ⊆ F von allen Elementen der Form (1.0) erzeugt ist, und durch τ(x, y) = (x, y) f¨ur alle x∈X und y ∈Y.

Das Bilden eines Tensorproduktes heißt auch Tensorieren.

Bemerkung: Der Operator ⊗ soll schw¨acher binden als Multiplikation; das heißt, wenn wir xr ⊗y schreiben, meinen wir (xr)⊗y und nicht x(r⊗y). Auch soll der Operator ⊗ schw¨acher binden als Anwendung von Abbildungen; das heißt, wenn wir f(x)⊗g(y) schreiben, meinen wir (f(x))⊗(g(y)) und nicht etwa f(x⊗g(y)).

1.4. Bemerkung: Sei R ein Ring, sei X ein R-Rechtsmodul und Y ein R- Linksmodul.

1) In X⊗RY gilt

(x+x⁰)⊗y=x⊗y+x⁰⊗y f¨ur allex, x⁰ ∈X und y∈Y; x⊗(y+y⁰) = x⊗y+x⊗y⁰ f¨ur allex∈X und y, y⁰ ∈Y;

xr⊗y=x⊗ry f¨ur alle x∈X, y ∈Y und r∈R.

Beweis: Dies folgt daraus, daß die Abbildung

X×Y →X⊗_RY, (x, y)7→x⊗y

eine R-tensorielle Abbildung ist. In der Tat ist diese Abbildung einfach τ (denn τ(x, y) = x⊗y), also eine universelle R-tensorielle Abbildung.

2) a)Aus dem Beweis von Satz 1.3. folgt: Die Menge{x⊗y | x∈X und y∈Y} ist ein Z-Erzeugendensystem vonX ⊗_RY. Das heißt, jedes Element von X ⊗_RY hat eine Darstellung in der Form

n

P

i=1

z_i(x_i⊗y_i),wobeiz_i ∈Z, x_i ∈X und y_i ∈Y f¨ur jedes i∈ {1,2, ..., n} ist. (So eine Darstellung ist nat¨urlich nicht eindeutig.)

Man bezeichnet Elemente von X⊗_RY der Form x⊗y f¨ur x ∈ X und y ∈ Y als reine Tensoren. Jeder Tensor inX⊗_RY ist also eine Z-Linearkombination von reinen Tensoren (also auch eine Summe von reinen Tensoren). Hieraus folgt:

b) Ist M ein Z-Modul, und sind m :X⊗_RY →M und n:X⊗_RY →M zweiZ- Modulhomomorphismen, die m(x⊗y) =n(x⊗y) f¨ur alle x∈X und y∈Y erf¨ullen, dann istm =n.

Bemerkung: Diese Aussage wird meistens folgendermaßen in Worte gefasst: ”Wenn zwei lineare Abbildungen aus einem Tensorprodukt in einen Modul auf allen reinen Tensoren ¨ubereinstimmen, dann sind sie identisch.”

3)Tensorprodukte von Vektorr¨aumen sind recht intuitiv. Tensorprodukte von Mod- uln ¨uber Ringen k¨onnen sich dagegen sehr unerwartet verhalten, auch wenn die Ringe kommutativ sind. So kann das Tensorprodukt zweier von 0 verschiedener Moduln 0 sein. Hier ist ein Beispiel:

Sei n eine positive ganze Zahl. Dann ist Z(n)⊗_ZQ= 0.

Beweis: F¨ur jedes x ∈ Z und jedes q ∈ Q ist x⊗q = x⊗n · q

n = xn

|{z}=0

⊗q n = 0 (wobei x die Restklasse von x modulo n bezeichnet). Also sind alle reinen Tensoren in Z(n)⊗_ZQ gleich 0. Da Z(n)⊗_Z Q von reinen Tensoren erzeugt wird, ist also Z(n)⊗_ZQ= 0, was zu beweisen war.

4)Laut ihrer Definition haben das TensorproduktX⊗_RY zweier ModulnX undY und die in Satz 1.3. eingef¨uhrte universelleR-tensorielle Abbildungτ :X×Y →X⊗_RY die folgende Eigenschaft:

F¨ur jede abelsche GruppeM und f¨ur jedeR-tensorielle Abbildungϕ:X×Y →M gilt: Es gibt genau eineZ-lineare Abbildung¹¹f :X⊗_RY →M so, daß das Diagramm

X×Y ^{ϕ //}

τ

M

X⊗_RY

f

::

kommutativ ist. (Das heißt, es gibt genau einen Gruppenhomomorphismus f :X ⊗_R Y →M so, daßϕ=f τ ist.)

Diese Eigenschaft heißt die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes.

Bemerkung: Der Nutzen des Tensorproduktes besteht oft darin, daß man dadurch R-tensorielle Abbildungen in einen Zusammenhang mit Z-linearen Abbildungen brin- gen kann. Und zwar: Ist R ein Ring, ist X ein R-Rechtsmodul und ist Y ein R- Linksmodul, dann ist die abelsche Gruppe aller R-tensoriellen Abbildungen X×Y → M isomorph zur abelschen Gruppe allerZ-linearen AbbildungenX⊗_RY →M. Der Iso- morphismus ist dadurch gegeben, daß man jedeZ-lineare Abbildung f :X⊗_RY →M auf die R-tensorielle Abbildung f τ : X ×Y → M sendet. Diese Zuordnung f 7→ f τ ist injektiv und surjektiv wegen der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes.

Zusatzstruktur auf Tensorprodukten

Wir haben bislang das Tensorprodukt X⊗_RY von einem R-Rechtsmodul X und einem R-Linksmodul Y betrachtet; dieses Tensorprodukt hat nur die Struktur einer abelschen Gruppe. Wenn allerdings X und Y zus¨atzliche Links- bzw. Rechtsmodul- strukturen tragen, so k¨onnen wir auch auf X⊗_RY solche Strukturen definieren:

1.5. Satz: 1) a) Seien R und S Ringe. Sei X ein (S, R)-Bimodul, und sei Y ein R-Linksmodul. Auf dem Tensorprodukt X ⊗_RY ist dann kanonisch eine S- Linksmodulstruktur definiert durch

s(x⊗y) =sx⊗y f¨ur alle s∈S, x∈X und y∈Y.

11d. h. Homomorphismus zwischen abelschen Gruppen

b) SeienRund T Ringe. SeiX ein R-Rechtsmodul, und sei Y ein (R, T)-Bimodul.

Auf dem Tensorprodukt X ⊗R Y ist dann kanonisch eine T-Rechtsmodulstruktur definiert durch

(x⊗y)t=x⊗yt f¨ur allet ∈T, x∈X und y∈Y.

c) Seien R, S und T Ringe. Sei X ein (S, R)-Bimodul, und sei Y ein (R, T)- Bimodul. Laut Satz 1.5 1) a) und b) sind auf dem Tensorprodukt X⊗_RY eine S- Linksmodulstruktur und eine T-Rechtsmodulstruktur gegeben. Diese zwei Strukturen ergeben zusammen eine (S, T)-Bimodulstruktur.

(Diese Aussage kann man sich folgendermaßen veranschaulichen: Da X ein (S, R)- Bimodul ist, k¨onnen wirXals_SX_Rschreiben. Analog istY = _RY_T .Nun definiert Satz 1.51) c)aufX⊗_RY die Struktur eines (S, T)-Bimoduls; wir k¨onnen also_S(X⊗_RY)_T schreiben. Satz 1.5 1) c) besagt also, anschaulich gesprochen,

(_SX_R)⊗_R(_RY_T) = _S(X⊗_RY)_T .

Wir k¨onnen uns also vorstellen, beim Tensorieren von _SX_R und _RY_T gehen die zwei innerenR’s verloren, aber das S ganz links und das T ganz rechts bleiben erhalten.)

2) SeienR undT Ringe. SeiX einR-Rechtsmodul, seiY ein (R, T)-Bimodul, und seiZ einT-Linksmodul. Auf dem Tensorprodukt X⊗_RY ist laut Satz 1.51) b) dann eine T-Rechtsmodulstruktur definiert, und auf dem Tensorprodukt Y ⊗_T Z laut Satz 1.5 1) a) eine R-Linksmodulstruktur.

Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus von abelschen Gruppen kan : (X⊗_RY)⊗_T Z →X⊗_R(Y ⊗_T Z),

der durch

kan ((x⊗y)⊗z) = x⊗(y⊗z) f¨ur alle x∈X, y∈Y und z ∈Z festgelegt ist.

3) a) Sei R ein Ring, und X ein R-Rechtsmodul. Es gibt einen kanonischen Iso- morphismus von R-Rechtsmoduln kan :X ⊗_RR →X, der durch kan (x⊗r) =xr f¨ur alle x∈X und r∈R festgelegt ist. (Dabei wirdR als (R, R)-Bimodul angesehen.)

b) Sei R ein Ring, und X ein R-Linksmodul. Es gibt einen kanonischen Isomor- phismus von R-Linksmoduln kan :R⊗_RX → X, der durch kan (r⊗x) = rx f¨ur alle x∈X und r∈R festgelegt ist. (Dabei wirdR als (R, R)-Bimodul angesehen.)

4)SeiR ein kommutativer Ring. Unter einemR-Modul verstehen wir eine abelsche Gruppe X, die sowohl die Struktur eines R-Linksmoduls, als auch die Struktur eines R-Rechtsmoduls tr¨agt, und dierx=xrf¨ur allex∈X undr∈R erf¨ullt. Dann k¨onnen wir jedenR-LinksmodulX kanonisch auch alsR-Modul betrachten, indem wirrx=xr f¨ur alle x∈X und r ∈Rsetzen. Analog k¨onnen wir jedenR-Rechtsmodul X auch als R-Modul betrachten.

Seien nun M und N zweiR-Moduln. Dann wird durch Satz 1.51) c) aufM ⊗_RN die Struktur eines R-Moduls definiert. Analog ergibt sich auf N ⊗_RM die Struktur einesR-Moduls. Es gibt einen Isomorphismus vonR-Moduln kan :M⊗_RN →N⊗_RM, der durch kan (m⊗n) =n⊗m f¨ur alle m∈M und n ∈N festgelegt ist.

Wir lassen den Beweis von Satz 1.5. aus (er ist nicht schwer; Homomorphismen zwischen Tensorprodukten lassen sich aus tensoriellen Abbildungen konstruieren).

Eine wichtige Schreibweise: In der Situation von Satz 1.5. 2) sind die Tensorpro- dukte (X⊗_RY)⊗_T Z und X⊗_R(Y ⊗_T Z) zueinander kanonisch isomorph (nach Satz 1.5. 2)). Der Isomorphismus kan ist ”dermaßen kanonisch”, daß wir im Folgenden diese beiden Tensorprodukte (X⊗_RY)⊗_TZ undX⊗_R(Y ⊗_T Z) einfach identifizieren werden, d. h. wir bezeichnen sie beide mit X ⊗_RY ⊗_T Z (ohne Klammern). Statt (x⊗y)⊗z oder x⊗(y⊗z) schreiben wir dann einfachx⊗y⊗z.

Wir haben im Obigen gelernt, zwei Moduln zu tensorieren. Auch Homomorphismen zwischen Moduln k¨onnen tensoriert werden:

Definition: Sei R ein Ring, seien X und X⁰ zwei R-Rechtsmoduln, und seien Y und Y⁰ zwei R-Linksmoduln. Sei f : X → X⁰ eine R-lineare Abbildung, und sei g : Y → Y⁰ eine R-lineare Abbildung. Dann gibt es genau eine Z-lineare Abbildung f ⊗g :X⊗RY →X⁰⊗RY⁰, die

(f ⊗g) (x⊗y) =f(x)⊗g(y) f¨ur alle x∈X und y ∈Y erf¨ullt.

1.6. Bemerkung: 1) Dies war eigentlich ein Satz, d. h. die Existenz und Ein- deutigkeit derZ-linearen Abbildungf⊗g m¨ussen wir eigentlich noch beweisen. Allerd- ings folgt sie schnell aus der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes, da

X×Y →X⁰⊗Y⁰, (x, y)7→f(x)⊗g(y) eine R-tensorielle Abbildung ist.

2) Die Abbildung f ⊗g ist zwar laut obiger Definition nur Z-linear (d. h. ein Homomorphismus abelscher Gruppen), doch wenn die Moduln zus¨atzliche Struktur tragen, erh¨alt auch f⊗g diese Struktur. Dies bedeutet:

IstS ein Ring, sindX und X⁰ zwei (S, R)-Bimoduln, und istf gleichzeitig R-linear und S-linear, dann ist f⊗g ein S-Linksmodulhomomorphismus.

Ist T ein Ring, sindY undY⁰ zwei (R, T)-Bimoduln, und ist g gleichzeitig R-linear und T-linear, dann ist f⊗g ein T-Rechtsmodulhomomorphismus.

Hier noch einige weitere n¨utzliche Eigenschaften des Tensorproduktes:

1.7. Satz: Sei I eine Menge, und sei (X_i)_i∈I eine Familie von R-Rechtsmoduln.

Sei Y ein R-Linksmodul. Dann gibt es einen kanonischen Z-linearen Isomorphismus φ: `

i∈I

(X_i⊗_RY)→

`

i∈I

X_i

⊗_RY,der f¨ur jedes j ∈I ein kommutatives Diagramm

Xj⊗RY ^{inj //}

inj⊗id

55

a

i∈I

(Xi⊗RY) ^{φ //} a

i∈I

Xi

!

⊗RY

induziert. (Hierbei bedeuten die zwei in_j verschiedene - aber auf gleiche Weise kon- struierte - Abbildungen! Es sind beidesmal die kanonischen Injektionen eines Moduls in ein Coprodukt dieses Moduls mit anderen Moduln.)

Beweis: Nach der universellen Eigenschaft des Coproduktes existiert eine kanonis- cheZ-lineare Abbildungφ : `

i∈I

(X_i⊗_RY)→

`

i∈I

X_i

⊗_RY,f¨ur welche f¨ur jedes j ∈I

das obige Diagramm kommutiert. Wir m¨ussen nur noch beweisen, daß diese Abbildung φ ein Isomorphismus ist.

Diese Abbildungφ erf¨ullt φ◦in_j = in_j⊗id f¨ur jedesj ∈I (nach der Definition von φ). Das heißt, φ◦in_i = in_i⊗id f¨ur jedes i∈I.

Definiere eine Z-lineare Abbildung ψ : a

i∈I

X_i

!

⊗_RY →a

i∈I

(X_i⊗_RY) durch ψ (x_i)_i∈I⊗y

= (x_i ⊗y)_i∈I f¨ur alle (x_i)_i∈I ∈a

i∈I

X_i und y∈Y.

So eine Abbildung ψ existiert nach der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes.

Dann ist φψ= id,denn f¨ur alle (x_i)_i∈I ∈ `

i∈I

X_i und y∈Y ist

(φψ) (x_i)_i∈I⊗y

=φ





ψ (x_i)_i∈I⊗y

| {z }

=(xi⊗y)_i∈I





=φ (x_i⊗y)_i∈I

=φ X

i∈I

in_i(x_i⊗y)

!

=X

i∈I

φ(ini(xi⊗y))

| {z }

=(φ◦ini)(xi⊗y)

=X

i∈I

(φ◦ini)

| {z }

=ini⊗id

(xi⊗y) =X

i∈I

(ini⊗id) (xi⊗y)

| {z }

=ini(xi)⊗y

=X

i∈I

in_i(x_i)⊗y = X

i∈I

in_i(x_i)

!

⊗y= (x_i)_i∈I⊗y.

Ferner gilt f¨ur jedes i∈I, f¨ur jedesx_i ∈X_i und f¨ur jedes y ∈Y erstmal (ψφin_i) (x_i⊗y) =ψ



(φin_i)

| {z }

=ini⊗id

(x_i⊗y)



=ψ((in_i⊗id) (x_i⊗y))

=ψ(in_i(x_i)⊗y) =ψ

x_i, wenn j =i;

0, wennj 6=i

j∈I

⊗y

!

=

x_i, wennj =i;

0, wenn j 6=i ⊗y

j∈I

=

x_i⊗y, wennj =i;

0, wennj 6=i

j∈I

= in_i(x_i⊗y).

Dies bedeutet, daßψφin_i = in_i auf allen reinen Tensoren inX_i⊗_RY gilt (f¨ur jedesi∈ I). Folglich giltψφin_i = in_i auf allen Elementen vonX_i⊗_RY (denn jedes Element von X_i⊗_RY ist eine Summe von reinen Tensoren). Das heißt,ψφ|_ini(Xi⊗_RY)= id|_ini(Xi⊗_RY)

f¨ur jedes i ∈ I. Daher ist ψφ = id auf allen Elementen von `

i∈I

(X_i⊗_RY) (denn jedes Element von `

i∈I

(X_i⊗_RY) ist Summe von Bildern von Elementen vonX_i⊗_RY unter den jeweiligen Abbildungen in_i).

Wegen φψ= id und ψφ= id ist φ ein Isomorphismus, was zu beweisen war.

1.8. Folgerung: 1) Sei R ein Ring. Sei X ein freier R-Rechtsmodul mit Basis (x_i)_i∈I, und sei Y ein R-Linksmodul. Dann besitzt jedes Element von X ⊗_RY eine

eindeutige Darstellung in der Form P

i∈I

x_i ⊗y_i, wobei y_i ∈ Y f¨ur jedes i ∈ I gilt, und y_i 6= 0 nur f¨ur endlich viele i∈I erf¨ullt ist.

Analog k¨onnen wir alle Elemente von X⊗_RY als Summen darstellen, wennY eine Basis hat:

2) Sei R ein Ring. Sei X ein R-Rechtsmodul, und sei Y ein freier R-Linksmodul mit Basis (y_i)_i∈I. Dann besitzt jedes Element von X⊗_RY eine eindeutige Darstellung in der Form P

i∈I

x_i ⊗y_i, wobei x_i ∈ X f¨ur jedes i ∈ I gilt, und x_i 6= 0 nur f¨ur endlich vielei∈I erf¨ullt ist.

3) Ist k ein K¨orper, ist V ein k-Vektorraum mit Basis (v_i)_i∈I, und ist W ein k- Vektorraum mit Basis (w_j)_j∈J, dann ist (v_i⊗w_j)_(i,j)∈I×J eine k-Basis von V ⊗_k W. Insbesondere gilt dim (V ⊗kW) = dimV ·dimW, falls dimV < ∞ und dimW < ∞ ist.

Beweis: 1) Zuerst ein Lemma:

Lemma 1: Angenommen, f¨ur jedes i∈I sei ein Element yi von Y so gew¨ahlt, daß y_i 6= 0 nur f¨ur endlich vielei∈I erf¨ullt ist, und daßP

i∈I

x_i⊗y_i = 0 gilt. Dann isty_i = 0 f¨ur alle i∈I.

Beweis des Lemmas 1: F¨ur jedes i ∈ I sei pr_i : X → R die R-lineare Abbildung, die x_j aufδ_i,j f¨ur allej ∈I schickt.¹² Dann ist P

j∈I

x_j⊗y_j =P

i∈I

x_i⊗y_i = 0, also

0 = (pr_i⊗id) X

j∈I

x_j⊗y_j

!

=X

j∈I

pr_i(x_j)

| {z }

=δi,j

⊗y_j = 1⊗y_i.

Doch das Element 1⊗y_i ∈R⊗_RY ist das Bild des Elementesy_i ∈Y beim kanonischen Isomorphismus Y → R⊗RY. Aus 1⊗yi = 0 folgt also yi = 0. Damit ist Lemma 1 bewiesen.

Nun werden wir beweisen, daß jedes Element von X⊗_RY eine eindeutige Darstel- lung in der Form P

i∈I

xi⊗yi hat, wobei yi ∈Y f¨ur jedes i ∈I gilt, und yi 6= 0 nur f¨ur endlich vielei∈I erf¨ullt ist.

Beweis der Existenz der Darstellung: Wir wollen zeigen, daß jedes Element von X⊗_RY eine Darstellung in der Form P

i∈I

x_i⊗y_i besitzt, wobei y_i ∈ Y f¨ur jedes i∈ I gilt, und y_i 6= 0 nur f¨ur endlich viele i∈I erf¨ullt ist.

Sei also v ∈ X ⊗_R Y. Da jeder Tensor in X ⊗_R Y eine Z-Linearkombination von reinen Tensoren ist, gibt es also endlich viele Elemente u1, u2, ..., un von X und genausoviele Elemente v₁, v₂, ..., v_n von Y sowie ganze Zahlen λ₁, λ₂, ..., λ_n so, daß v =

n

P

j=1

λ_ju_j ⊗v_j ist. Da (x_i)_i∈I eine Basis von X ist, gibt es f¨ur jedes j ∈ {1,2, ..., n}

eine Familie (rj,i)_i∈I von Elementen rj,i ∈R so, daß rj,i6= 0 nur f¨ur endlich viele i∈I

12So eine Abbildung pr_i existiert und ist eindeutig, weil (xi)_i∈I eine Basis desR-RechtsmodulsX ist.