Analysis II für M, LaG/M, Ph 2. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik WS 2010/11
Prof. Dr. Christian Herrmann 29.10.2010
Vassilis Gregoriades Horst Heck
Gruppenübung
Aufgabe G2.1
(a) Es seien f : R → R stetig und g :[0, 1] → R stetig und in(0, 1)differenzierbar. Berechnen Sie das Integral R1
0 f(g(x))g0(x)dx.
(b) Berechnen Sie das IntegralRπ4
0 tanxdx.
Aufgabe G2.2 (Integrationsregeln) Berechnen Sie die folgenden Integrale.
(a) Z
xsin(x)dx, (b) Z 12
0
cosh2(x)dx, (c) Z1
−1
p
1−x2dx, (d) Z 1
1+sinxdx. Aufgabe G2.3 (Partialbruchzerlegung)
Gegeben sei die Funktion f :R\ {1, 2} →Rdurchf(x) =(x−1)(x−2)x 2.
Bestimmen Sie KoeffizientenA,B,C∈Rso, dassf(x) = (x−1)A +(x−2)B +(x−2)C 2 (∗)gilt.
Benutzen Sie nun die Darstellung(∗), um das IntegralR0
−1f(x)dxzu berechnen.
Hausübung
Aufgabe H2.1 (6 Punkte)
Berechnen Sie die folgenden Integrale.
Z x+1
x(x−1)2dx(x6=1),
Z e2x−2
2e−x+1dx und Ze
1
logx x dx Aufgabe H2.2 (6 Punkte)
Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren und berechnen Sie gegebenenfalls ihren Wert.
(a) Zπ/2
0
cos(x)/p
sin(x)dx, (b) Z∞
0
x/(x2+1)3dx.
Aufgabe H2.3 (6 Punkte)
Wir definieren die periodische FunktionH:R→RdurchH(x):=x−[x]−12, falls x∈R\ZundH(x) =0sonst. Hier bezeichnet[x]fürx∈Rdie größte ganze Zahl, die kleiner alsxist.
Es sein∈N. Zeigen Sie: Ist f :[1,n]→Rstetig differenzierbar, so gilt
n
X
k=1
f(k) =1
2 f(1) +f(n)+ Zn
1
f(x) +H(x)f0(x)dx.
Hinweis: Berechnen Sie zunächst Rk+1
k 1· f(x)dx mit Hilfe partieller Integration. Wählen Sie hierbei die “richtige”
Stammfunktion für1.
1
