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Analysis II für M, LaG/M, Ph 10. Übungsblatt

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Analysis II für M, LaG/M, Ph 10. Übungsblatt

Fachbereich Mathematik WS 2010/11

Prof. Dr. Christian Herrmann 14.1.2010

Vassilis Gregoriades Horst Heck

Gruppenübung

Aufgabe G10.1

Berechnen Sie die Kurvenlänge der folgenden Kurven

(a) f :[0, 2π]→R3, f(t) = (rcost,rsint,c t), wobeir,c>0.

(b) g:[0, 1]→R3,g(t) = (cosht, sinht,t) Lösung: (a): Es gilt

f0(t) = (−rsint,rcost,c)undkf0(t)k2=r2+c2. Also folgt

L(f) = Z

0

p

r2+c2dt=2πp r2+c2.

(b): Es gilt

g0(t) = (sinht, cosht, 1)undkg0(t)k2=sinh2t+cosh2t+1=2 cosh2t. Damit gilt

L(g) = Z1

0

p2 coshtdt=p 2 sinh 1.

Aufgabe G10.2

(a) Wir betrachten die Drehung eines starren Körpers um diee3-Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeitω. Das heißt, der Winkelϕ der Drehung wächst linear mit der Zeitt, d.h.ϕ(t) =ωt. Jeder Punkt x = x(0)durchläuft also die Bahn

x(t) =

cosϕ(t) −sinϕ(t) 0 sinϕ(t) cosϕ(t) 0

0 0 1

x(0)

i. Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor eines Partikels, der in x(0) startet, zum Zeitpunkt t > 0, also v(t) =ddtx(t).

ii. Das Geschwindigkeitsfeld ist gegeben durchv =ω(−x2,x1, 0)T. Berechnen Sie rotv.

(b) Es seienh:R3→Rstetig differenzierbar undF:R3→R3zweimal stetig differenzierbar. Zeigen Sie:

i. rot(h·F) =h·rotFF× ∇h;

ii. rot(rotF) =∇(divF)−∆F.

Lösung:

(a) i. Es gilt

d

dtx(t) =ω

−sinϕ(t) −cosϕ(t) 0 cosϕ(t) −sinϕ(t) 0

0 0 0

=ω

x2(t) x1(t)

0

.

ii. Es ergibt sich rotv =2ωe3die Länge der Rotation des Geschwindigkeitsfelds ist also das dopplelte der Win- kelgeschwindigkeit.

1

(2)

(b) i. Es gilti(hFj) = (∂ih)Fj+h(∂iFj), damit folgt

rot(hF) =

2(hF3)−3(hF2)

3(hF1)−1(hF3)

1(hF2)−2(hF1)

=

(∂2h)F3+h(∂2F3)−(∂3h)F2+h(∂3F2) (∂3h)F1+h(∂3F1)−(∂1h)F3+h(∂1F3) (∂1h)F3+h(∂1F3)−(∂3h)F1+h(∂3F1)

=h

2F33F2

3F11F3

1F22F1

+

(∂2h)F3−(∂3h)F2 (∂3h)F1−(∂1h)F3 (∂1h)F3−(∂3h)F1

=h·rotFF× ∇h ii. Es gilt

rot rotF=rot

2F33F2

3F11F3

1F22F1

=

2(∂1F22F1)−3(∂3F11F3)

3(∂2F33F2)−1(∂1F22F1)

1(∂3F11F3)−2(∂2F33F2)

=∇(divF)−∆F

Aufgabe G10.3 Es seiena,b>0und

Ma,b:=

¨

(x,y,z)∈R3: x2 a2 + y2

b2 =1

« .

Zeigen Sie, dassMeine Untermannigfaltigkeit desR3ist.

Lösung: Wir betrachten die Funktion f :R3→R, gegeben durch f(x,y,z) = xa22+ yb22 und zeigen, dass1ein regulärer Wert von f ist. Es gilt

D f(x,y,z) = (2x a2,2y

b2, 0)

und damit folgt, dassD f =0fallsx= y=0. Da jedoch keiner der Punkte(0, 0,z)fürz∈RaufMa,b= f−1(1)liegt, ist 1ein regulärer Wert vonf. Mit dem Satz vom regulären Wert folgt nun die Behauptung.

Hausübung

Aufgabe H10.1 (6 Punkte) Betrachten Sie die Kurve

X : [−1, 1]→R2,X(t) = (t2,t3).

(a) Skizzieren Sie die Bahn der Kurve.

(b) In welchen PunktenX(t)giltX0(t)6= (0, 0)? (c) Berechnen Sie die Länge der KurveX. Lösung: (b)X0(t) = (2t, 3t2).

In allen Punkten außer dem Nullpunkt giltX0(t)6= (0, 0).

(c)

L =

Z1

−1

kX0(t)kd t= Z1

−1

p(2t)2+ (3t2)2d t= Z1

−1

|t|p

4+ (3t)2d t

= 2 Z1

0

tp

4+ (3t)2d t=6 Z1

0

tp

(2/3)2+t2d t=2p

((2/3)2+t2)3|1t=0

= 2p

((4/9) +1)3−2p

(4/9)3=2p

(13/9)3−2(2/3)3

= (26/27)p

13−16/27.

2

(3)

Aufgabe H10.2 (6 Punkte)

Es sei f :R3→R2gegeben durch f(x,y,z) = (x2+x yyz, 2x2+3x y−2y−3z). Zeigen Sie, dassM= f−1(0)eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit vonR3ist. Bestimmen Sie den TangentialraumT0M.

Lösung: Es gilt

D f(x,y,z) =

2x+y x−1 −1 4x+3y 3x−2 −3

.

Damit folgt, dass RangD f ≥1für alle(x,y,z)∈R3. Da aust(xy) =1undt(3x−2) =3mitt6=0folgt, dassx=1+tt und damitt(3x−2) =3+t=3gilt. Also gibt es keint6=0so dass

t

x−1 3x−2

= 1

3

und daher hat D f aufM stets den Rang 2ist also Surjektiv. Mit dem Satz vom regulären Wert folgt nun, dass M eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit desR3ist.

0ist ein regul¨rer Wert vonf. Daher ist mit Satz 3.8 der Vorlesung der Tangentialraum gegeben durch

T0M=kernD f(0) =kern

0 −1 −1 0 −2 −3

=kern

0 1 1 0 0 −1

=

t

 1 0 0

:t∈R

 .

Aufgabe H10.3 (6 Punkte)

SeiΩ⊆Rnoffen und wegzusammenhängend undF:Ω→Rnein stetig differenzierbares Vektorfeld. Zeigen Sie:

IstR

γF(x)d xwegunabhängig, dann istF ein Gradientenfeld, d.h. es existiert eine Funktionϕ:Ω→RmitF=∇ϕ.

Lösung: Es seiξ,x∈Ωfest gewählt undγein Weg, derξmitxverbindet. Wir definieren die Funktion

V(x) = Z

γ

F(x)dx.

Wegen der Wegunabhängigkeit ist diese Funktion wohldefiniert. Zur Bestimmung der Ableitung hängen wir anγeinen geradlinigen Wegγ1, der den Punktx mitx+hverbindet, alsoγ1(t) =x+th,t∈[0, 1]. Es gilt dann

V(x+h)−V(x) = Z

γ1

F(x)dx= Z1

0

F(x+thhdt.

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung gibt es einτ∈(0, 1), so dass Z1

0

F(x+thhdt=F(x+τhh

gilt. Wegen der Stetigkeit vonF und der Abschätzung|F(x+τhhF(xh| ≤ kF(x+τh)−F(x)k · khkfolgt, dass V(x+h)−V(x) =F(xh+"(h)khk, wobei"(h)→0fürh→0. Damit gilt aber∇V =F.

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