(b) [3 Punkte] Skizzieren Sie die freie Energie, die Entropie und die spezifische Warme als Funktion

KARLSRUHER INSTITUT FUR TECHNOLOGIE INSTITUT FUR THEORIE

DER KONDENSIERTEN MATERIE

Moderne Theoretische Physik IlIb - Klausur 1, SS 2020

Prof. Dr. Jérg Schmalian Klausur 1

Dr. Andreas Poenicke, Dr. Davide Valentinis

24.6.2020

1. Fingertibungen (10 Punkte)

(a) [1 Punkt] Wodurch ist ein ein Phaseniibergang n’ter Ordnung charakterisiert?

A: Die n’te Ableitung der freien Energie ist nicht stetig.

(b) [3 Punkte] Skizzieren Sie die freie Energie, die Entropie und die spezifische Warme als Funktion

der Temperatur fiir einen System das einen Phasentibergang erster Ordnung durchlauft .

A: + Skizzen

(c) {2 Punkte] Warum besitzt das 1d-Ising-Modell fiir T # 0 keinen Phaseniibergang?

A: Fiir T 0 ist der entropische Gewinn durch Doménenbildung immer héher als die Energie- kosten fiir die Domanenwande.

(d) [2 Punkte] Was wird bei der Molekularfeld-Naherung vernachlassigt.

A: Es werden Fluktuationen vernachlassigt.

(e) [2 Punkte] Wie verhalt sich die Korrelationslange € an einem Phasentibergang 2. Ordnung?

A: Die Korrelationslainge divergiert am Phasentibergang.

- Spin-1-Modell

Ein magnetisches System mit Magnetfeld B = Be, sei durch den Hamiltonian

H= -1>° Sea — gUipB ye Si

(i9) a pins, Sei sind Spin-1-Operatoren

beschrieben. Dabei ist J eine homogene Kopplung benachbarter S z

je Summe iiber

(dh. S? = S(S +1) mit S = 1) lokalisierter Spins am Ort i und (7j) bezeichnet d

nachste Nachbarn. Jeder Spin hat z nachste Nachbarn.

(a) [6 Punkte] Zeigen Sie, dass in Molekularfeld-Naherung der Hamiltonian (1) durch den Hamilto-

nian

Hmj = —gpBer >, Oe ce 0 (2)

4

genahert werden kann und bestimmen Sie Beg((Sz)) und Eo.

(b) [8 Punkte] Bestimmen Sie die Zustandssumme fiir Fmt und die Selbstkonsistenzgleichung der

(Siz) = (Sz) gentigen muss.

(c) [6 Punkte] Fiir kleine Magnetfelder und kleine Magnetisierung kann die Selbstkonsistenzglei-

chung genahert werden durch

(Sz) © =(BgupB + BzJ (Sz)). (3)

colD

Bestimmen Sie die kritische Temperatur Tz, bei der dieses System auch ohne externes Feld eine

Magnetisierung aufweist. 5

Bestimmen Sie damit fiir T > T, die magnetische Suszeptibilitét 7 in der Nahe der Ubergangs-

temperatur T,, und den kritischen Exponenten y. (Hinweis: x « (T — Te)~)

Lésung:

(a) [6 Punkte] In der Molekularfeldnaherung werden Fluktuationen vernachlassigt. Wir nutzen:

Si,293,z = Siz (S3,z) - (Siz) Siz a (Siz) (Sj,2) = (Siz ak (Si,z)) (55,2 ae (5,2) (4)

Siz (Sj,z) + (Si,z) S,2 — (Siz) (Sie) (5)

und setzen dies in (1) ein. Da wir ein homogene Kopplung betrachten kénnen wir (5;,z) = (Sz) setzen und erhalten.

Amy = —J > (Siz (Siz) + (Sse) 93.2 — (Siz) (Si2)) — 9BB SY Sx

(ij) i

1 L 1

= 572 Bia (Sz) — gL (Si) Sit eh ($,)? — 9B Siz

uv

zd ie 9

=—ona (B+ 2 (81)) OS + Gd2N (Se! =~ Ber Sie + Bo

Und damit :

Beg((Sz)) = B+——(S:) und Ey = 5JzN (Se (6)

(b) [8 Punkte]

Die Zustandssumme

Zea so e 7 bHms — a exp (B95 Bes » Siz — BE»)

{Sia} {Siz}

-c9

SS Tleolaians.)

©

N

N

= e PEO SS exp (9x a Ber5:) = PH eo ate Para Pat] (9)

Sz€{—1,0,1}

= e ®”0[1 + 2 cosh(8gup Ber)|*

(Weitere Méglichkeit, Erwartungswert direkt tiber die Zustandssumme berechnen)

.

Die Magnetisierung ist

2sinh(Bgus Bes)

1 +2cosh(Bgup Ber)

M= 2 kT InZ) = KINZ + 2cosh(GgupBer)| = Nus

und da gilt M = Nop (Sz)

2 sinh(Sgup Ber)

(So a9 cosh(Bgi1p Bert)

(c) [6 Punkte] Es gilt

(S.) © 3(89uB + B2J (S:))

Wir betrachten die Magnetisierung fiir B = 0.

Fiir eine spontane Magnetisierung gilt am Ubergang ((5z) < 1)

> Rie azd. (1+1 Punkte)

B=0

1 Punkt

(15)

es gilt also y = 1.

3. Ginzburg-Land:

(20 P

au-Theorie

Ein System sei durch die freie Bnergiedichte

(9) = ig? + oo! + a8? — M6

mit a(T) = a0(T — To) und d> 0 beschrieben.

e zuniachst den Fall c > 0,h = 0:

fir Temperaturen oberhalb, unterhalb (a) [5 Punkte] Betrachten Si

Skizzieren Sie den Verlauf der freien Energiedichte f(¢) und am Phasentibergang-

Bestimmen Sie den Ordnungsparameter Pc

Phaseniibergang erster oder gweiter Ordnung?

(b) [5 Punkte] Betrachten Sie nun den Fall ¢ < 0,h = 0:

fir Temperaturen oberhalb,

Skizzieren Sie wieder den Verlauf der freien Energiedichte f(o)

unterhalb und am Phasentibergang.

Erwarten Sie einen Phasentibergang erster oder zweiter Ordnung?

was erwarten Sie fir T wenig unterhalb von Tet:

Die Temperatur sinkt und erreicht T = Tc,

(c) [5 Punkte] Betrachten Sie weiterhin c < 0,h =0:

len? Losen Sie das Gleichungssystem Welche Bedingungen muss f(<) am Phaseniibergang erfiil

mmen Sie a(7) am um den Ordungsparameter $c

Phaseniibergang.

Kennzeichnen Sie Phasentibergangs-

Besonders interessant ist das Verhalten in der Nahe des Punktes a = 0, c= 0.

#0am Phaseniibergang zu bestimmen. Besti

(d) [5 Punkte] Nehmen Sie an c = 0:

Bestimmen Sie die kritischen Exponenten 8 und § unterhalb der Ubergangstemperatur Tio;

(Zur Erinnerung: $(t,h = 0) x |t? und o(¢ = 0,h) nié mit t = (T — Te)/Te-)

ee

Lésung:

(a) [5 Punkte]

Skizze: [3 Punkte].

Wir berechnen den Ordnungsparameter

noe =ad+4ed? + 6de® =0

hat nur reele Lésungen $* # 0:

4c + y (4c)? = 4a(6d) (19)

(¢*) = 75

fiir (¢*)? > 0.

Daraus folgt 4a(6d) < 0, am Ubergang gilt also ¢. = 0 und al) 0.

Der Ordnungsparameter geht kontinuierlich in ein Minimum bei ¢ # 0 tiber, Ubergang zweiter Ordnung. 1 Punkt

(b) [5 Punkte] Skizze: 3 Punkte

1 Punkt

wir erwarten einen

ae Tote

— Tak

—- T<Te

1

Der Ordnungsparameter springt am Phasentibergang von ¢ = 0 auf einen endlichen Wert. Wir

erwarten einen Phaseniibergang erster Ordnung. 1 Punkt

Wenig unterhalb von T, wird der ungeordnete Zustand ¢ = 0 metastabil. 1 Punkt (c) [5 Punkte] Am Phaseniibergang gilt, das f (dc) ein Minimum ist f(¢-) = 0, also

f' (bc) = a(T)c + 4ed2 + 6dd2 = 0 (20)

(60) = "P92 + off +488 =0.

(21)

Wir dividieren (21) durch ¢,/2 und subtrahieren von (20) und finden

acdi —Adg® = 0 +> be =0 oder do =+ BS (22)

Eingesetzt in (21) finden wir

aT) = 99

(23)

(d) [5 Punkte] Fir c = 0 reduziert sich das Funktional der freien Energiedichte auf

#(6) = fo— hd + Dg? 4 ag’

(24)

Die Bestimmungsgleichung fiir ¢.(h = 0) reduziert sich damit auf

af(d) _ 36 =a(T)¢+6d¢?=0 3 $= a), = o- (2) A ~a(T Rey ; (25)

und 8 = 1/4.

6 bestimmen wi Den kritischen Exponenten

Betrachten Sie die Bo zm: ng s

trieben durch einen klein

2

sich nahe einer lokalen Boltzm

©) an

f(p,x, mat, .) e(-f), =P. (27)

y

Oy an pO.

Die Temperatur T sei riumlich und zeitlich konstant.

(a) [5 Punkte] Formulieren Sie die Boltzmann-Transport-Gleichung fiir dieses Problem.

Berechnen Sie die (Teilchen-)Stromdichte j a

Hinweis: [ drat e-*™ = 3 fma-*/?

(b) [5 Punkte] Zeigen Sie, dass sich aus der Boltzmann-Transport-Gleichung eine Kontinuitats- gleichung fiir die Teilchendichte ergibt. Leiten Sie mit Hilfe dieser Kontinuitatsgleichung eine Diffusionsgleichung her. Was ergibt sich fiir die Diffusionskonstante.

Lésung:

(a) Da wir keine auferen Felder haben reduziert sich die Boltzmann-Gleichung auf

Shp.n) +vvef =—

Wir betrachten den stationaren Fall 0; f = 0 und vernachlassigen V,éf, damit

(Oye eee of

Wt erage (30)

und wir erhalten ae

6f(p,r,t) = —Tv (saa) eB Ven(r, t) « (31)

Die Teilchenstromdichte ist damit gegeben durch

Hos es ae ( (ae

a [vs ne ) Orv’ (sap) 2 (-gaep) Verna) (82)

= aren Vrn(r, t) .

(33)

(b) Wir integrieren die Boltzmann-Gleichung (29) tiber p und finden mit ie filpsr ee 1c. 2),

Jp vip.) = j(r,t) und f) 6f = 0 die Kontinuitatsgleichung

Sn, $) 4 Veg(n, 8) = 0: (34)

Den Ausdruck fiir den Strom (33) hier eingesetzt ergibt die Diffusionsgleichung

ORE,

onle,t) — TeV Ayn(r,t) = 0 — Darivree.