Bsp. 4: Die Maxwellverteilung - L¨ osung

Statistische Mechanik, SS21: ¨ Ubung 1 - L¨ osung

Abgabefrist: Mi., 21. April 2021, 8:00 a.m.

Besprechung: Fr., 23. April 2021

Bsp. 1: Großkanonische Zustandssumme - L¨ osung

10 Punkte Die von Neumann Entropie ist gegeben durch

S(P_r) =−kX

r

P_rlnP_r, (1)

wobei P_r die Wahrscheinlichkeit ist, dass das System im Mikrozustandr ist.

(a) Unter den Nebenbedingungen P

rPr= 1,P

rErPr =E,P

rNrPr =N soll die Gr¨oße S(P_r)−

3

X

i=1

λ_if_i(P_r) (2)

extremal werden, also sich in einem Gleichgewichtszustand befinden. Hier sind die λ_i die Lagrange-Multiplikatoren (manchmal auch Lagrangeparameter genannt). Um nach einem Extrema zu suchen, betrachten wir die Ableitung

d dP_r

S(Pr) k −

3

X

i=1

λ_if_i(P_r) _!

= 0 . (3)

Einsetzen der Nebenbedingungen, Verwendung von _dx^d (xln(x)) = ln(x)+1und umstellen liefert

d dP_r

S(P_r)

k −λ₁X

r

P_r−λ₂X

r

E_rP_r−λ₃X

r

N_rP_{r !}

= 0 1 + ln(P_r) +λ₁+λ₂E_r+λ₃N_r = 0 .

(4)

Aufl¨osen nach Pr ergibt

P_r =e^{−1−λ1−λ2Er−λ3Nr} . (5) Es verbleibt nun die einzelnen λ_i zu berechnen. Mit Hilfe des Hinweises l¨asst sich die

X

r

P_r =e^−1−λ1X

r

e^{−λ2Er−λ3Nr} =e^−1−λ1Y = 1

→e^−1−λ1 = 1 Y

→λ₁ = ln(Y)−1 .

(6)

Wir setzen die Normierung aus Gleichung (6) in den Ausdruck der Wahrscheinlichkeiten (5) ein und erhalten

P_r = 1

Y e^{−λ2Er−λ3Nr} . (7) Wir benutzen, dass ln(_Y¹) = −ln(Y) und setzen unsere gefundenen Ergebnisse in den Ausdruck der Entropie ein

S(P_r) =−kX

r

P_r

−ln(Y)−λ₂E_r−λ₃N_r

=k

ln(Y) +λ₂E+λ₃N ,

(8)

wobeiE =E_r und N =N_r (Ist ein System in Kontakt mit einem W¨armebad und einem Teilchenreservoir, sind zwar unterschiedliche Energien E_r und TeilchenzahlenN_r erlaubt, die Mittelwerte sind allerdings durch die Temperatur T und das chemische Potential µ bestimmt.) .

Um die restlichen Lagrange-Multiplikatoren mit physikalischen Messgr¨oßen zu verbinden, benutzen wir dE =TdS−PdV +µdN und erhalten daraus

∂S

∂E

V,N = 1

T =kλ₂ und ∂S

∂N

E,V =−µ

T =kλ₃ . (9) Somit bestimmten wir λ₂ = β und λ₃ = −βµ. Schlussendlich sind die Wahrschein- lichkeiten

P_r(T, V, µ) = 1

Y e^{−β[Er(V,Nr)−µNr]} , (10) wobei die Normierung (durch das großkanonische Ensemble) gegeben ist durch

Y =X

r

e^{−β[Er(V,Nr)−µNr]} (11)

(b) In Aufgabenteil a) hatten wir gefunden, dass die Wahrscheinlichkeiten fur den Mikrozus- tand r im großkanonischen Ensemble gegeben sind durch

Pr(T, V, µ) = 1

Y e^{−β[Er(V,Nr)−µNr]} . (12) Setzen wir dies in Gleichung (1) ein, erhalten wir zun¨achst

S(P_r) = −kX

r

P_rlnP_r =−kX

r

P_rlnh1

Y e^{−β[Er(V,Nr)−µNr]}i

. (13) Wir f¨uhren die Summe aus und erhalten

S(P_r) = kln(Y) + E−µN

T (14)

Das großkanonische Potential ist definiert via J = E −T S−µN. Wir setzen ein und erhalten

J =E−kTln(Y)−E+µN −µN =−kTln(Y) . (15)

Bsp. 2: Kanonische Zustandssumme und Energie-Nullpunkt - L¨ osung

5 Punkte Wir betrachten die kanonische ZustandssummeZ =P

re^−βEr. Die Energien der Mikrozust¨ande, E_r, werden nun alle um einen konstanten Term verschoben: E_r →E_r⁰ =E_r+₀.

In allen Aufgabenteilen ist hier das Schl¨usselwort konstant.

(a) Die kanonische Zustandssumme ¨andert sich wie folgt Z⁰ =X

r

e^−βEr0 =e^−β0X

r

e^−βEr =e^−β0Z . (16)

Um die ¨Anderung der freien Energie zu berechnen, benutzen wir F = −kTln(Z) =

−_β¹ln(Z) und erhalten F⁰ =−1

β ln(Z⁰) = −1 β ln

h e^−β0Z

i

=0 − 1

β ln(Z) =0+F . (17) Sie ¨andert sich demnach um den selben konstanten Faktor wie ein einzelner Mikrozustand.

(b) Wir erinnern uns anF =E−T S, bzw. dF =−SdT−pdV +P

iµ_idN_i (z.B. Vorlesung 13 letztes Semester, Theo Fa) und erhalten

(c) Analog zu Aufgabenteil b) erhalten wir

P⁰ =−∂F⁰

∂V

T ,N

=−∂F

∂V

T,N

=P µ⁰ =−∂F⁰

∂N

T ,V

=−∂F

∂N

T,V

=µ

(19)

Bsp. 3: Barometrische H¨ ohenformel - L¨ osung

5 Punkte Wir betrachten ein klassisches Teilchen im Schwerefeld, mit der Hamiltonfunktion

H = p²

2m +mgz . (20)

In der Vorlesung haben wir die Maxwell–Boltzmann Verteilung kennengelernt am Beispiel eines freien Teilchens. Nun haben wir ein Teilchen in einem Schwerefeld, demnach m¨ussen wir den Boltzmannfaktor aus der Vorlesung um den Term des Potentials modifizieren

e^−βH =e^−β(p

2

2m+mgz) . (21)

Außerdem haben wir im klassischen Limes die Zustandssumme Z kennengelernt, die wir nun um den oben genannten Faktor des Potentials erweitern

Z = 1 (2π¯h)³

Z

d³xe^−βmgz Z

d³p e^−βp

2 2m

= 1

(2π¯h)³ Z ∞

0

dze^−βmgz Z

dx Z

dy Z

d³p e^−βp

2 2m

= 1

(2π¯h)³ 1 βmg

Z dx

Z dy

Z

d³p e^−βp

2 2m

(22)

Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen im Intervall[z, z+dz]mit einem Impulspind³pzu finden lautet

dz

(2π¯h)³Ze^−βmgz Z

dx Z

dy Z

d³p e^−βp

2

2m . (23)

Wir setzen Z ein und erhalten

P rob(z, z+ dz) = dz βmg e^−βmgz . (24) Diese Wahrscheinlichkeit gilt f¨urjedeseinzelne, klassische Teilchen. Demnach ist die Teilchen- dichte n= ^N_V proportional zur Wahrscheinlichkeitsdichte

n(z) = n(0)e^−βmgz (25)

mit der Proportionalit¨atskonstanten n(0), die die Teilchendichte bei z = 0 beschreibt. Wir n¨ahern die Atmosph¨are als ideales Gas an, alsoP V =nRT, bzw. P ∝n. Die barometrische H¨ohenformel ergibt sich somit zu

P(z) =P(0)e^−βmgz . (26)

Bsp. 4: Die Maxwellverteilung - L¨ osung

5 Punkte (a) Wir ber¨ucksichtigen nur die x-Koordinate und definieren die Wahrscheinlichkeitsdichte

mit Boltzmannfaktor

f(v_x) = Ae^−mv

2x

2kT . (27)

Die Wahrscheinlichkeit diex-Komponente der Geschwindigkeit im Intervall [v_x, v_x+ dv_x] zu finden ist f(v_x)dv_x.

Diese Funktion muss korrekt normiert sein Z +∞

−∞

dv_xf(v_x) = 1 . (28)

Wir verwenden R+∞

−∞ e^−ax2dx=p_π

a und bestimmen den Vorfaktor A= m

2πkT ¹₂

. (29)

Einsetzen ergibt

f(v_x) = m 2πkT

¹₂ e^−mv

2x

2kT . (30)

Alternative L¨osung: Das freie Teilchen wurde, wie erw¨ahnt, in Vorlesung 2 behandelt.

Wir benutzen daher die Maxwellverteilung, die gegeben war als

f(v) = 4π m 2πkT

³₂

v²e^−mv

2

2kT . (31)

Da wir nur an der x- Komponente dieser Verteilung interessiert sind, wechseln wir von sph¨arischen zu kartesischen Koordinaten. Damit entf¨allt der 4πv²- Faktor, der aus dem Jacobian kommt. Der ¨ubrige Vorfaktor

m 2πkT

³₂

besteht zu gleichen Anteilen aus x, y- und z- Koordinate, was ebenfalls auf

f(v_x) = m 2πkT

¹₂ e^−mv

2x

2kT (32)

f¨uhrt.

(b)

v_x= 0 , (33)

da die symmetrische Gaußfunktion, multipliziert mit x eine ungerade Parit¨at liefert und das Integral verschwindet. Hingegen ist

v_x² = Z +∞

−∞

dv_x v²_x f(v_x) = m 2πkT

¹₂ Z +∞

−∞

dv_x v_x² e^−mv

2x 2kT

= m 2πkT

¹₂

√π 2

2kT m

³₂

= kT m

(34)

(c)

v = 4π m 2πkT

³₂ Z ∞

0

dv v³ e^−mv

2

2kT =

r8kT

πm (35)

Da im Gleichgewichtszustand alle Richtungen ¨aquivalent behandelt werden k¨onnen, gilt v² =v²_x+v²_y+v_z² = 3v_x², und somit

v² = 4π m 2πkT

³₂ Z ∞

0

dv v⁴ e^−mv

2

2kT = 3kT

m (36)

Das Maximum der Geschwindigkeit erh¨alt man durch einfaches Ableiten der Verteilung via

df(v)

dv = 4π m 2πkT

³₂

2ve^−mv

2 2kT

1− v²m 2kT

= 0

→ v²m 2kT = 1

(37)

was direkt zu v_max = q2kT

m f¨uhrt. Außerdem ist v_max < v. Das liegt daran, dass die Verteilung schief (unsymmetrisch um das Maximum) ist.