Tangente & Normale

Tangente & Normale

Definition

Ist der Graph einer Funktion f gegeben und ein PunktP auf dem Graph, dann versteht man unter der Tangente im Punkt Pdiejenigen Gerade, die durch P geht und im im PunktP die gleiche Steigung besitzt wie der Graph im Punkt P.

Unter derNormalen im Punkt P versteht man die Gerade, die im PunktP senkrecht auf der Tangente steht.

Varianten der Tagenten-Aufgaben

Im Wesentlichen gibt es folgende Aufgabestellungen:

• Bestimme die Gleichnug der Tangente in einem Kurvenpunkt.

• Gegeben ist ein Punkt außerhalb einer Kurve. Bestimme die Gleichung der

Tangente in einem Kurvenpunkt

Die Gleichung der Tangente in einem KurvenpunktP (u|f(u) ) lautet:

y=f⁰(u)·(x−u) +f(u).

Beispiel

Seif(x) = ¹₂x²−x− ³₂, P (4|⁵₂).

Dann ist f⁰(x) = x−1, f⁰(4) = 3, y = 3·(x−4) + ⁵₂ = 3x− ¹⁹₂

Tangente von einem Punkt außerhalb des Graphen

Gegeben ist der Graph einer Funktionf und ein Punkt Q, der nicht auf dem Graph liegt.

Bestimmt werden soll(en) die Tangenten, vonQ an den Graphen.

Der L¨osungsweg wird anhand des folgenden Beispiels dargestellt.

Beispiel

Gegeben seinen die Funktionf mit f(x) = x²−2x+ 3 und der PunktQ(1| −2).

Den x-Wert des noch unbekannten Ber¨uhrpunktsP benennen wir mit “u“; der y-Wert ist dann f(u). Die Steigung der Tangente ist gleich der Steigung der Kurve im Punkt P; also im vorliegenden Fallf⁰(u) = 2u−2.

Daher muss die Tangentgleichung folgende Form haben:

y_T = (2u−2)·x+c.

WeilQ auf der Tangente liegt, k¨onnen wir die Koordinaten von Q in die Tangentengleichung einsetzen und erhalten

−2 = (2u−2)·1 +c → c=−2u → y_T = (2u−2)·x−2u.

DaP ebenfalls auf der Tangente liegt, ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten von P: u²−2u+ 3 = (2u−2)·u−2u → u²−2u−3 = 0 → u_1,2 = 1±2 = 3,−1.

Damit erh¨alt die beiden Tangentengleichnungen y =4x+−6 und y =−4x+−2

Tangente parallel zu einer vorgegebenen Geraden

Gegeben sei der Graph einer Funktion f und eine Gerade g. Zu bestimmen sind die Tangenten an den Graph von f, die parallel zu g verlaufen.

Beispiel

Seif die Funktion mit f(x) =x³ und g die Gerade mitg(x) = 3x−6.

Normale

Aufgaben zur “Normalen“ lassen sich ¨uber Tangenten l¨osen aufgrund des folgenden Satzes:

Zwei Geradeng(x) = m₁·x+b₁ und h(x) =m₂·x+b₂ stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn gilt m₁·m₂ =−1.