Blatt 12

MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITAT MUNCHEN

Prof. Dr. Otto Forster

WS 2000/2001

Ellipti sche Funktionen und Ellipti sche Kurven,



Ubungen

Blatt 12

Es sei ^k stets ein algebraisch abgeschlossener Korper mit char(^k) ⁶= 2^;3 und ^p eine Primzahl^>3.

Aufgabe 45

Es seien zwei elliptische Kurven ^E1 : ^Y2 = ^X3 +^aX +^b, ^E2 : ^Y2 = ^X3+^cX +^d in

P

2(^k), die uber dem Unterkorper^{k0 k} deniert sind, gegeben.

EinIsomorphismusvon ^E1 nach ^E2 uber ^k0 wird durch eine Zuordnung

X

Y

7!

X

Y

mit³ =² fur ^{; 2k0} deniert, welche die Kurve ^E1 in die Kurve^E2 uberfuhrt. Zeigen Sie:

Ist ^{a 6}= 0 ein Quadrat im Korper ^k0, so ist ^E1 :^Y2 =^X3+^aX+^b isomorph zu einer elliptischen Kurve

Y

2 =^X3+^X+^b0 mit geeignetem^b02k0

Aufgabe 46

Man zeige fur die zwei elliptischen Kurven uber ^{k0 k}, ^b;b02k0:

Y

2 =^X3 +^X+^bist genau dann isomorph zu ^Y2 =^X3+^X +^b0, wenn ^b=^b0.

Aufgabe 47

Man betrachte die elliptische Kurven^Eb :^Y2 =^X3+^bmit^b6= 0 uber dem Korper^Fp. Man zeige: Genau dann ist jede Kurve^Eb, ^b2Fp, uber ^Fp isomorph zu^Y2 =^X3 + 1, wenn 3 nicht (^p 1) teilt.

Aufgabe 48

Sei^E :^Y2 =^X3+^aX+^beine elliptische Kurve mit^a;b2Fp, und Card(^E(^Fp)) = (^p+ 1) +^t:

(Nach dem Satz von Hasse ist ^jtj 2^pp.) Man konstruiere, ausgehend von der Glei- chung ^Y2 =^X3 +^aX +^b, eine Kurve^E0 mit

Card(^E0(^Fp)) = (^p+ 1) ^t:

Abgabetermin: Montag, 29.01.2001, 9:10 Uhr

Bitte werfen Sie auch einen ausgefullten

Ubungsschein