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Pizzaseminar zu erzeugenden Funktionen

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Pizzaseminar zu erzeugenden Funktionen

20. Februar 2014

in Entstehung befindlich

0.1 Multivariate erzeugende Funktionen

Allgemeines Verfahren:

1. Schritt: Geeignete Rekursion finden 2. Schritt: Erzeugende Funktion erstellen 3. Schritt: Rekursion f¨ur Funktion 4. Schritt: Formel aufl¨osen

Geeignete Funktionen f¨ur den 2. Schritt (f¨ur den Fall zweier Variablen):

ψ(x, y) = X

n,k≥0

an,kxnyk

φ(x, y) = X

n,k≥0

an,kxn n!

yk k!

θ(x, y) = X

n,k≥0

an,kxn n!yk Beispiel 0.1. Der Binomialkoeffizient

f(n, k) := n k

!

:= n!

(n−k)!k!

entspricht der Anzahl derk-elementigen Teilmengen der n-elementigen Menge{1, . . . , n}.

(2)

eine (k−1)-elementige Teilmenge von{1, . . . , n−1}vereinigt mit{n}. Somit erh¨alt man die Rekursion:

f(n, k) :=f(n−1, k) +f(n−1, k−1), n, k≥1

f(0, k) := 0, k≥1

f(n,0) := 1 n≥0

2. Schritt

ψ(x, y) := X

n,k≥0

f(n, k)xnyk

3. Schritt

ψ(x, y) = X

n,k≥0

f(n, k)xnyk=

=X

k≥1

f(0, k)x0yk+X

n≥1

f(n,0)xny0+ X

n,k≥1

f(n, k)xnyk=

= 0 + 1

1−x + X

n,k≥1

f(n−1, k)xnyk+ X

n,k≥1

f(n−1, k−1)xnyk=

= 1

1−x +x X

n,k≥0

f(n, k)xnykX

n≥0

f(n,0)xny0+xy X

n,k≥0

f(n, k)xnyk=

= 1

1−x +xψ(x, y)x

1−x+xyψ(x, y) =xψ(x, y) +xyψ(x, y) 4. Schritt Umformen von

ψ(x, y) =xψ(x, y) +xyψ(x, y) ergibt

ψ(x, y)(1xxy) = 1 und damit die erzeugende Funktion

ψ(x, y) = 1 1−xxy Was passiert nun, wenn eine Variable fest ist?

(3)

1. Fall: n fest

Bn(y) =X

k≥0

f(n, k)y

xkf(n, k) =xkf(n−1, k) +xkf(n−1, k−1) Bn(x) =X

k≥0

xkf(n, k) =X

k≥0

xkf(n−1, k) +X

k≥0

f(n−1, k−1)xk=

=Bn−1(x) +xBn−1(x)

Bn(x) = (1 +x)Bn−1(x)

Bn(x) = (1 +x)n

f(n, k) = [xk](1 +x)n= n(n−1). . .(n−k+ 1)(1 +x)n−k k!

x=0

=

= n(n−1). . .(n−k+ 1)

k! = n!

k!(nk)!

2. Fall: k fest Fk(x) =X

n≥0

x k

!

xn= [yk]ψ(x, y) = [yk] 1

1−xxy = 1

1−x[yk] 1−x

1−xxy =· · ·= xk (1−x)k+1 θ(x, y) = X

n,k≥0

f(n, k)xn

n!yk= X

n,k≥0

x k

!xn

n!yk=???

Beispiel 0.2(Delannoy-Zahlen). Die Delannoy-Zahlωn,kgibt die Anzahl der M¨oglichkeiten an in einem kartesischen Koordinatensystem vom Punkt (0,0) zum Punkt (n, k) zu ge- langen. Dabei sind nur Schritte nach rechts, rechtsoben und oben erlaubt:

(n,k) (n,k) (n,k)

...

Abbildung 1:Verschiedene Wege vom Ursprung zum Punkt (n, k)

1. Schritt Um eine Rekursionsformel f¨urωn,k zu erhalten, betrachte alle Wege, die vom Ursprung nach (n−1, k), (n−1, k−1) oder (n, k−1) f¨uhren. Von diesen drei Punkten aus wird (n, k) in genau einem Schritt erreicht. Also entspricht die Summe

(4)

2./3. Schritt ψ(x, y) = X

n,k≥0

ωn,kxnyk

=ω0,0+X

n≥1

ωn,0xn+X

k≥1

ω0,kyk

+ X

n,k≥1

ωn−1,kxnyk+ X

n,k≥1

ωn−1,k−1xnyk+ X

n,k≥1

ωn,k−1xnyk

= 1 + x

1−x + y 1−y +x X

n,k≥0

ωn,kxnykxX

n≥0

ωn,0xn+xy X

n,k≥0

ωn,kxnyk+y X

n,k≥0

ωn,kxnykyX

k≥0

ω0,kyk

= 1 + x

1−x + y

1−y +xψ(x, y)x

1−x +xyψ(x, y) +yψ(x, y)y 1−y

= 1 +xψ(x, y)xyψ(x, y) +yψ(x, y) 4. Schritt

ψ(x, y) = 1 1−xyxy

Beispiel 0.3 (Stirlingzahlen 2. Art). Die Stirlingzahlen 2. Art sind wie folgt definiert:

S(n, k) :=

(n k )

:= Anzahl der Partitionen einern-elementigen Menge ink Teile (nicht-leere Mengen) Beispielsweise ist

{1,2}, {13}, {3,5,8,12}, {4,6}, {7,9,10,11}

eine m¨ogliche Partition von {1, . . . ,13} in 5 Teile.

1. Schritt Eine k-Partition von {1, . . . , n} erh¨alt man entweder aus einer k-Partition von {1, . . . , n−1} durch Hinzuf¨ugen von nin eine derkPartitionen oder aus einer (k−1)-Partition von {1, . . . , n−1} durch Hinzuf¨ugen von{13}als eigener Menge:

(n k )

:=k

(n−1 k

) +

(n−1 k−1

)

, n, k≥1

(0 k )

:= 0, (n

0 )

:= 0, n, k≥1

(0 0 )

:= 1

(5)

2./3. Schritt

S2(x, y) = X

k,n≥0

(n k

)xn

n!yk= 1 + X

k,n≥1

(n k

)xn n!yk=

= 1 + X

k,n≥1

k

(n−1 k

)xn

n!yk+ X

k,n≥1

(n−1 k−1

)xn n!yk=

= 1 + X

n,k≥0

(n k

) xn+1

(n+ 1)!yk+y X

n,k≥0

(n k

) xn+1 (n+ 1)!yk=

=y d dy

Z x 0

S2(x, y)dx+y Z x

0

S2(x, y)dx 4. Schritt Wende auf beide Seiten dxd an

d

dxS2(x, y) =y d

dyS2(x, y) + S2(x, y)

substituiere S2(x, y) =ef(x,y) und teile durchef(x,y): d

dxf(x, y) =y d

dyf(x, y) + 1

Substituieref(x, y) =g(x, y)y:

d

dxg(x, y) =y d

dyg(x, y) Substituiereg(x, y) =u(x)v(y):

u0(x)v(y) =yu(x)v0(y)

u0(x)

u(x) =yv0(y) v(y)

u(x) =cex, v(y) =y

Daraus ergibt sichg(x, y) =cyex, also f(x, y) =cyexy und somit:

S2(x, y) =ef(x,y)+K =ecyex−yy+K Aus den Anfangsbedingung folgt K= 0 und c= 0, also:

S2(x, y) =ey(ex−1)

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