Pizzaseminar zu erzeugenden Funktionen
20. Februar 2014
in Entstehung befindlich
0.1 Multivariate erzeugende Funktionen
Allgemeines Verfahren:
1. Schritt: Geeignete Rekursion finden 2. Schritt: Erzeugende Funktion erstellen 3. Schritt: Rekursion f¨ur Funktion 4. Schritt: Formel aufl¨osen
Geeignete Funktionen f¨ur den 2. Schritt (f¨ur den Fall zweier Variablen):
ψ(x, y) = X
n,k≥0
an,kxnyk
φ(x, y) = X
n,k≥0
an,kxn n!
yk k!
θ(x, y) = X
n,k≥0
an,kxn n!yk Beispiel 0.1. Der Binomialkoeffizient
f(n, k) := n k
!
:= n!
(n−k)!k!
entspricht der Anzahl derk-elementigen Teilmengen der n-elementigen Menge{1, . . . , n}.
eine (k−1)-elementige Teilmenge von{1, . . . , n−1}vereinigt mit{n}. Somit erh¨alt man die Rekursion:
f(n, k) :=f(n−1, k) +f(n−1, k−1), n, k≥1
f(0, k) := 0, k≥1
f(n,0) := 1 n≥0
2. Schritt
ψ(x, y) := X
n,k≥0
f(n, k)xnyk
3. Schritt
ψ(x, y) = X
n,k≥0
f(n, k)xnyk=
=X
k≥1
f(0, k)x0yk+X
n≥1
f(n,0)xny0+ X
n,k≥1
f(n, k)xnyk=
= 0 + 1
1−x + X
n,k≥1
f(n−1, k)xnyk+ X
n,k≥1
f(n−1, k−1)xnyk=
= 1
1−x +x X
n,k≥0
f(n, k)xnyk−X
n≥0
f(n,0)xny0+xy X
n,k≥0
f(n, k)xnyk=
= 1
1−x +xψ(x, y)− x
1−x+xyψ(x, y) =xψ(x, y) +xyψ(x, y) 4. Schritt Umformen von
ψ(x, y) =xψ(x, y) +xyψ(x, y) ergibt
ψ(x, y)(1−x−xy) = 1 und damit die erzeugende Funktion
ψ(x, y) = 1 1−x−xy Was passiert nun, wenn eine Variable fest ist?
1. Fall: n fest
Bn(y) =X
k≥0
f(n, k)y
xkf(n, k) =xkf(n−1, k) +xkf(n−1, k−1) Bn(x) =X
k≥0
xkf(n, k) =X
k≥0
xkf(n−1, k) +X
k≥0
f(n−1, k−1)xk=
=Bn−1(x) +xBn−1(x)
⇒Bn(x) = (1 +x)Bn−1(x)
⇒Bn(x) = (1 +x)n
⇒f(n, k) = [xk](1 +x)n= n(n−1). . .(n−k+ 1)(1 +x)n−k k!
x=0
=
= n(n−1). . .(n−k+ 1)
k! = n!
k!(n−k)!
2. Fall: k fest Fk(x) =X
n≥0
x k
!
xn= [yk]ψ(x, y) = [yk] 1
1−x−xy = 1
1−x[yk] 1−x
1−x−xy =· · ·= xk (1−x)k+1 θ(x, y) = X
n,k≥0
f(n, k)xn
n!yk= X
n,k≥0
x k
!xn
n!yk=???
Beispiel 0.2(Delannoy-Zahlen). Die Delannoy-Zahlωn,kgibt die Anzahl der M¨oglichkeiten an in einem kartesischen Koordinatensystem vom Punkt (0,0) zum Punkt (n, k) zu ge- langen. Dabei sind nur Schritte nach rechts, rechtsoben und oben erlaubt:
(n,k) (n,k) (n,k)
...
Abbildung 1:Verschiedene Wege vom Ursprung zum Punkt (n, k)
1. Schritt Um eine Rekursionsformel f¨urωn,k zu erhalten, betrachte alle Wege, die vom Ursprung nach (n−1, k), (n−1, k−1) oder (n, k−1) f¨uhren. Von diesen drei Punkten aus wird (n, k) in genau einem Schritt erreicht. Also entspricht die Summe
2./3. Schritt ψ(x, y) = X
n,k≥0
ωn,kxnyk
=ω0,0+X
n≥1
ωn,0xn+X
k≥1
ω0,kyk
+ X
n,k≥1
ωn−1,kxnyk+ X
n,k≥1
ωn−1,k−1xnyk+ X
n,k≥1
ωn,k−1xnyk
= 1 + x
1−x + y 1−y +x X
n,k≥0
ωn,kxnyk−xX
n≥0
ωn,0xn+xy X
n,k≥0
ωn,kxnyk+y X
n,k≥0
ωn,kxnyk−yX
k≥0
ω0,kyk
= 1 + x
1−x + y
1−y +xψ(x, y)− x
1−x +xyψ(x, y) +yψ(x, y)− y 1−y
= 1 +xψ(x, y)−xyψ(x, y) +yψ(x, y) 4. Schritt
⇒ψ(x, y) = 1 1−x−y−xy
Beispiel 0.3 (Stirlingzahlen 2. Art). Die Stirlingzahlen 2. Art sind wie folgt definiert:
S(n, k) :=
(n k )
:= Anzahl der Partitionen einern-elementigen Menge ink Teile (nicht-leere Mengen) Beispielsweise ist
{1,2}, {13}, {3,5,8,12}, {4,6}, {7,9,10,11}
eine m¨ogliche Partition von {1, . . . ,13} in 5 Teile.
1. Schritt Eine k-Partition von {1, . . . , n} erh¨alt man entweder aus einer k-Partition von {1, . . . , n−1} durch Hinzuf¨ugen von nin eine derkPartitionen oder aus einer (k−1)-Partition von {1, . . . , n−1} durch Hinzuf¨ugen von{13}als eigener Menge:
(n k )
:=k
(n−1 k
) +
(n−1 k−1
)
, n, k≥1
(0 k )
:= 0, (n
0 )
:= 0, n, k≥1
(0 0 )
:= 1
2./3. Schritt
S2(x, y) = X
k,n≥0
(n k
)xn
n!yk= 1 + X
k,n≥1
(n k
)xn n!yk=
= 1 + X
k,n≥1
k
(n−1 k
)xn
n!yk+ X
k,n≥1
(n−1 k−1
)xn n!yk=
= 1 + X
n,k≥0
(n k
) xn+1
(n+ 1)!yk+y X
n,k≥0
(n k
) xn+1 (n+ 1)!yk=
=y d dy
Z x 0
S2(x, y)dx+y Z x
0
S2(x, y)dx 4. Schritt Wende auf beide Seiten dxd an
d
dxS2(x, y) =y d
dyS2(x, y) + S2(x, y)
substituiere S2(x, y) =ef(x,y) und teile durchef(x,y): d
dxf(x, y) =y d
dyf(x, y) + 1
Substituieref(x, y) =g(x, y)−y:
d
dxg(x, y) =y d
dyg(x, y) Substituiereg(x, y) =u(x)v(y):
u0(x)v(y) =yu(x)v0(y)
⇒ u0(x)
u(x) =yv0(y) v(y)
⇒u(x) =cex, v(y) =y
Daraus ergibt sichg(x, y) =cyex, also f(x, y) =cyex−y und somit:
S2(x, y) =ef(x,y)+K =ecyex−y −y+K Aus den Anfangsbedingung folgt K= 0 und c= 0, also:
S2(x, y) =ey(ex−1)
