Pizzaseminar zu erzeugenden Funktionen

Pizzaseminar zu erzeugenden Funktionen

20. Februar 2014

in Entstehung befindlich

0.1 Multivariate erzeugende Funktionen

Allgemeines Verfahren:

1. Schritt: Geeignete Rekursion finden 2. Schritt: Erzeugende Funktion erstellen 3. Schritt: Rekursion f¨ur Funktion 4. Schritt: Formel aufl¨osen

Geeignete Funktionen f¨ur den 2. Schritt (f¨ur den Fall zweier Variablen):

ψ(x, y) = ^X

n,k≥0

an,kxⁿy^k

φ(x, y) = ^X

n,k≥0

a_n,kxⁿ n!

y^k k!

θ(x, y) = ^X

n,k≥0

a_n,kxⁿ n!y^k Beispiel 0.1. Der Binomialkoeffizient

f(n, k) := n k

!

:= n!

(n−k)!k!

entspricht der Anzahl derk-elementigen Teilmengen der n-elementigen Menge{1, . . . , n}.

eine (k−1)-elementige Teilmenge von{1, . . . , n−1}vereinigt mit{n}. Somit erh¨alt man die Rekursion:

f(n, k) :=f(n−1, k) +f(n−1, k−1), n, k≥1

f(0, k) := 0, k≥1

f(n,0) := 1 n≥0

2. Schritt

ψ(x, y) := ^X

n,k≥0

f(n, k)xⁿy^k

3. Schritt

ψ(x, y) = ^X

n,k≥0

f(n, k)xⁿy^k=

=^X

k≥1

f(0, k)x⁰y^k+^X

n≥1

f(n,0)xⁿy⁰+ ^X

n,k≥1

f(n, k)xⁿy^k=

= 0 + 1

1−x + ^X

n,k≥1

f(n−1, k)xⁿy^k+ ^X

n,k≥1

f(n−1, k−1)xⁿy^k=

= 1

1−x +x ^X

n,k≥0

f(n, k)xⁿy^k−^X

n≥0

f(n,0)xⁿy⁰+xy ^X

n,k≥0

f(n, k)xⁿy^k=

= 1

1−x +xψ(x, y)− x

1−x+xyψ(x, y) =xψ(x, y) +xyψ(x, y) 4. Schritt Umformen von

ψ(x, y) =xψ(x, y) +xyψ(x, y) ergibt

ψ(x, y)(1−x−xy) = 1 und damit die erzeugende Funktion

ψ(x, y) = 1 1−x−xy Was passiert nun, wenn eine Variable fest ist?

1. Fall: n fest

Bn(y) =^X

k≥0

f(n, k)y

x^kf(n, k) =x^kf(n−1, k) +x^kf(n−1, k−1) Bn(x) =^X

k≥0

x^kf(n, k) =^X

k≥0

x^kf(n−1, k) +^X

k≥0

f(n−1, k−1)x^k=

=Bn−1(x) +xBn−1(x)

⇒B_n(x) = (1 +x)Bn−1(x)

⇒Bn(x) = (1 +x)ⁿ

⇒f(n, k) = [x^k](1 +x)ⁿ= n(n−1). . .(n−k+ 1)(1 +x)^n−k k!

_x=0

=

= n(n−1). . .(n−k+ 1)

k! = n!

k!(n−k)!

2. Fall: k fest F_k(x) =^X

n≥0

x k

!

xⁿ= [y^k]ψ(x, y) = [y^k] 1

1−x−xy = 1

1−x[y^k] 1−x

1−x−xy =· · ·= x^k (1−x)^k+1 θ(x, y) = ^X

n,k≥0

f(n, k)xⁿ

n!y^k= ^X

n,k≥0

x k

!xⁿ

n!y^k=???

Beispiel 0.2(Delannoy-Zahlen). Die Delannoy-Zahlωn,kgibt die Anzahl der M¨oglichkeiten an in einem kartesischen Koordinatensystem vom Punkt (0,0) zum Punkt (n, k) zu ge- langen. Dabei sind nur Schritte nach rechts, rechtsoben und oben erlaubt:

(n,k) (n,k) (n,k)

...

Abbildung 1:Verschiedene Wege vom Ursprung zum Punkt (n, k)

1. Schritt Um eine Rekursionsformel f¨urω_n,k zu erhalten, betrachte alle Wege, die vom Ursprung nach (n−1, k), (n−1, k−1) oder (n, k−1) f¨uhren. Von diesen drei Punkten aus wird (n, k) in genau einem Schritt erreicht. Also entspricht die Summe

2./3. Schritt ψ(x, y) = ^X

n,k≥0

ω_n,kxⁿy^k

=ω0,0+^X

n≥1

ωn,0xⁿ+^X

k≥1

ω0,ky^k

+ ^X

n,k≥1

ωn−1,kxⁿy^k+ ^X

n,k≥1

ωn−1,k−1xⁿy^k+ ^X

n,k≥1

ωn,k−1xⁿy^k

= 1 + x

1−x + y 1−y +x ^X

n,k≥0

ω_n,kxⁿy^k−x^X

n≥0

ωn,0xⁿ+xy ^X

n,k≥0

ω_n,kxⁿy^k+y ^X

n,k≥0

ω_n,kxⁿy^k−y^X

k≥0

ω_0,ky^k

= 1 + x

1−x + y

1−y +xψ(x, y)− x

1−x +xyψ(x, y) +yψ(x, y)− y 1−y

= 1 +xψ(x, y)−xyψ(x, y) +yψ(x, y) 4. Schritt

⇒ψ(x, y) = 1 1−x−y−xy

Beispiel 0.3 (Stirlingzahlen 2. Art). Die Stirlingzahlen 2. Art sind wie folgt definiert:

S(n, k) :=

(n k )

:= Anzahl der Partitionen einern-elementigen Menge ink Teile (nicht-leere Mengen) Beispielsweise ist

{1,2}, {13}, {3,5,8,12}, {4,6}, {7,9,10,11}

eine m¨ogliche Partition von {1, . . . ,13} in 5 Teile.

1. Schritt Eine k-Partition von {1, . . . , n} erh¨alt man entweder aus einer k-Partition von {1, . . . , n−1} durch Hinzuf¨ugen von nin eine derkPartitionen oder aus einer (k−1)-Partition von {1, . . . , n−1} durch Hinzuf¨ugen von{13}als eigener Menge:

(n k )

:=k

(n−1 k

) +

(n−1 k−1

)

, n, k≥1

(0 k )

:= 0, (n

0 )

:= 0, n, k≥1

(0 0 )

:= 1

2./3. Schritt

S2(x, y) = ^X

k,n≥0

(n k

)xⁿ

n!y^k= 1 + ^X

k,n≥1

(n k

)xⁿ n!y^k=

= 1 + ^X

k,n≥1

k

(n−1 k

)xⁿ

n!y^k+ ^X

k,n≥1

(n−1 k−1

)xⁿ n!y^k=

= 1 + ^X

n,k≥0

(n k

) xⁿ⁺¹

(n+ 1)!y^k+y ^X

n,k≥0

(n k

) xⁿ⁺¹ (n+ 1)!y^k=

=y d dy

Z x 0

S2(x, y)dx+y Z x

0

S2(x, y)dx 4. Schritt Wende auf beide Seiten _dx^d an

d

dxS2(x, y) =y d

dyS2(x, y) + S2(x, y)

substituiere S2(x, y) =e^f(x,y) und teile durche^f(x,y): d

dxf(x, y) =y d

dyf(x, y) + 1

Substituieref(x, y) =g(x, y)−y:

d

dxg(x, y) =y d

dyg(x, y) Substituiereg(x, y) =u(x)v(y):

u⁰(x)v(y) =yu(x)v⁰(y)

⇒ u⁰(x)

u(x) =yv⁰(y) v(y)

⇒u(x) =ce^x, v(y) =y

Daraus ergibt sichg(x, y) =cye^x, also f(x, y) =cye^x−y und somit:

S2(x, y) =e^f(x,y)+K =e^cyex−y −y+K Aus den Anfangsbedingung folgt K= 0 und c= 0, also:

S2(x, y) =e^y(ex−1)