P6.1 - Großkanonische und kanonische Zustandssumme nichtwechselwirkender Systeme

P21 Statistische Physik WS 17/18 Prof. Jan Plefka Ubungsserie 5 ¨

Abgabe der Haus¨ ubungen am Mittwoch 29.11

Pr¨ asenz¨ ubungen

P6.1 - Großkanonische und kanonische Zustandssumme nichtwechselwirkender Systeme

Wir betrachten ein klassisches, nichtwechselwirkednes N -Teilchensystem mit Hamiltonfunktion H = P N

i=1 h(~ q _i ,~ p _i ) zusammengesetzt aus den identischen Einteilchenhamiltonfunktion h(~ q,~ p).

a) Dr¨ ucken Sie die kanonische Zustandssumme Z _N (T,V,N ) ¨ uber die Einteilchenzustandssumme Z ₁ (T,V ) aus!.

b) Bestimmen Sie die großkanonische Zustandssumme Z _GK (T,V,µ) als Funktion von Z ₁ (T,V ) im Fall (i) ununterscheidbarer (ii) unterscheidbarer Teilchen. Welche Aussagen lassen sich ¨ uber die Konvergenz von Z _GK (T,V,µ) machen?

P6.2 - Ideales Gas Gesetz aus dem Virialsatz Der klassische Virialsatz besagt, dass hπ _{i ∂π} ^∂H

j

i = δ _ij kT wobei π = (q _i ,p _i ) die Phasenraumvariablen und H die Hamiltonfunktion ist. Unser ideales Gas sei in einen kugelf¨ ormigen Beh¨ alter vom Radius R eingeschlossen, das Volumen ist V = 4πR ³ /3. Die Hamiltonfunktion inklusive dem Wandpotential lautet

H =

N

X

i=1

~ p i

2m + V ₀ Θ(R − r _i )

.

Wir benutzen als Koordinaten des i’ten Teilchens geschickterweise Kugelkoordinaten q _i = (r _i ,φ _i ,θ _i ).

a) Ausgehend von der Relation pV = −h ^∂H _∂V i V schreiben Sie den Ausdruck h ^∂H _∂V i V geeigneter- weise so um, dass Sie ihn in Beziehung zum Virialsatz bringen k¨ onnen.

b) Leiten Sie daraus die bekannte Zustandsgleichung pV = N kT her.

c) Zeigen Sie weiterhin, dass unter Vernachl¨ assigung des Wandpotentialanteils auch die kalorische Zustandsgleichung hHi = E = ³ ₂ N KT folgt.

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Haus¨ ubungen

H6.1 - Das ideale Gas großkanonisch [2P]

Bestimmen Sie die großkanonische Zustandssumme eines idealen Gases aus Teilchen der gleichen Masse m. Leiten Sie hieraus das großkanonische Potential Φ(T,V,µ) ab und bestimmen Sie die thermodynamischen Gr¨ oßen

a) Teilchenzahl hN i = N (T,V,µ)

b) Teilchenzahlfluktuation (∆N ) ² = h(N − hN i) ² i.

c) Druck P = P (T,V,hN i)

d) Chemisches Potential µ = µ(T,V,hN i) e) Entropie S = S(T,V,hN i)

f) Innere Energie hEi = E(T,V,hN i)

jeweils als Funktionen der angegebenen Gr¨ oßen. Vergleichen Sie Ihr Resultat f¨ ur die Entropie und die innere Energie mit den Ergebnissen im mikrokanonischen Ensemble aus Kapitel II.8 der Vorlesung, wenn man dort f¨ ur N und E den Erwartungswert im großkanonischen Ensemble nimmt.

H6.2 - Zweikomponentiges ideales Gas [2P]

Ein Gas setze sich aus zwei Teilchensorten zusammen, die sich nur durch ihre Masse unterscheiden (z.B. zwei Isotope einer Atomsorte). N ₁ Teilchen haben die Masse m ₁ und N ₂ Teilchen haben die Masse m ₂ . Alle Atome sind als klassisch und wechselwirkungsfrei zu betrachten, d.h.

H =

N

X

i=1

~ p _i ² 2m ₁ +

N

+N

X

i=N

+1

~ p _i ² 2m ₂ . Das Gas befindet sich bei einer Temperatur T im Volumen V .

a) Zeigen Sie, dass sich die freie Energie F (T,V,N ₁ ,N ₂ ) additiv aus den Beitr¨ agen beider Teil- chensorten zusammensetzt. Verifizieren Sie die Homogenit¨ atsrelation F (T,α V, α N 1 , α N 2 ) = α F (T,V, N ₁ ,N ₂ ).

b) Bestimmen Sie aus der freien Energie die freie Enthalpie G(T,p,N 1 ,N 2 ) durch Legendre- Transformation. Wie lautet die Homogenit¨ atsrelation f¨ ur G?

c) Leiten Sie aus der Homogenit¨ atsrelation f¨ ur G die Gibbs-Duhem-Relation G(T,p,N 1 ,N 2 ) = µ ₁ (T,p, ^N _N

2

) N ₁ + µ ₂ (T,p, ^N _N

2

) N ₂ her.

H6.3 - Zustandsgleichung eines realen Gases [1P]

2

Wir wollen nun zu dem idealen Gas Modell aus Aufgabe P6.2 eine Zweiteilchenwechselwirkung anschalten

V = 1 2

X

i6=j

v(~ x _i − ~ x _j )

a) Zeigen Sie unter Zuhilfenahme der Ergebnisse aus P6.2, dass nun die Zustandsgleichung

pV = N kT − 1 6

X

i6=j

X

n=x,y,z

D x ij,n

∂v(x _ij,n )

∂x _ij,n E

folgt, wobei wir x _ij,n = ~ e _n · (~ x _i − ~ x _j ) schreiben.

b) Sei nun v(x _ij,n ) eine homogene Funktion vom Grad α, d.h. v(sx _i,n ) = s ^α v(x _i,n ). Zeigen Sie, dass unter Vernachl¨ assigung des Wandpotentials nun die kalorische Zustandsgleichung

E = 3 2

1 + α α

N kT folgt.

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