Aufgabe 41

Rheinisch-Westf¨alische Technische Hochschule Aachen Institut f¨ur Mathematik

Prof. Dr. Heiko von der Mosel Till Knoke

Ubungen zur Vorlesung ¨ Variationsrechnung I Serie 11 vom 5.1.2012 Abgabedatum: 16.1.2012

Aufgabe 41

(i) ∇f(.):R^N→R^N surjektiv.

(ii) Falls f zus¨atzlich konvex ist, dann gilt|∇f(p)| →∞f¨ur|p| →∞.

Hinweis: Betrachten Sie f¨ur Teil (i) zu beliebig vorgegebenem v∈R^N die Funktion g_v: R^N→R^Nmit g_v(x):=f(x)−x·v.Nutzen Sie f¨ur Teil (ii) die wegen der Konvexit¨at g¨ultige Beziehung

f(0)≥f(p) + (0−p)∇f(p) f¨ur alle p∈R^N.

Aufgabe 42

[Gegenbeispiel zur Regularit¨at]

(i) Zeigen Sie, dass die Funktionu(x):=₁₂⁷|x|^12/7das Funktional F(v):=

Z 1

−1

[1

8|v⁰(x)|⁸−x⁵v⁰(x)]dx

in der KlasseC :={v∈W^1,8((−1,1)):v(−1) =v(1) = ₁₂⁷}eindeutigminimiert.

Wie glatt ist diese L¨osung und welche Voraussetzung des Regularit¨atssatzes der Vor- lesung, Satz 4.1, ist hier nicht erf¨ullt?

(ii)* Betrachten Sie dieselbe Fragestellung f¨ur den Integranden F(x,z,p):=1

8|p|⁸+5x⁴z.

Hinweis: Man mache sich klar, dass die gegebene Funktion u die Euler-Lagrange- Gleichungen l¨ost, obwohl sie nicht in C² ist. Dann ist u auch eine schwache Extremale, und als Testraum kann man statt C₀^∞auch W₀^1,8nehmen. Das zusammen mit der Konvexit¨at des Integranden impliziert, dass u das Funktional auch minimiert, vgl. Aufgabe 13. Der Be- weis der Eindeutigkeit eines Minimierers f¨ur Teil (i) ist bereits mehrfach in der Vorlesung gef¨uhrt worden, f¨ur Teil (ii) ist das Argument etwas subtiler.

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Aufgabe 43

[Stetigkeit linearer Abbildungen]

Seil:X→Y eine lineare Abbildung zwischen den linearen normierten R¨aumenX undY. Beweisen Sie die ¨Aquivalenz folgender Aussagen.

(i) list stetig.

(ii) list stetig in einem Punktx₀∈X.

(iii) Es existiert eine KonstanteL≥0, so dasskl(x)k_Y ≤Lkxk_Xf¨ur allex∈X.

(iv) Die Operatornormklk_L(X,Y):=sup_kxk

X≤1kl(x)k_Y ist endlich.

Aufgabe 44

[Erweiterung des Testraumes f ¨ur Variationsungleichungen]

SeiI= (a,b)⊂Rein endliches Intervall, undu∈W^1,p(I),p∈(1,∞],erf¨ulle die Unglei- chung

Z

I

u⁰(x)φ⁰(x)dx≥0 f¨ur alle φ∈C₀^∞(I,R+),

wobeiR+:={t∈R:t≥0}bezeichnet. Zeigen Sie, dass dieselbe Ungleichung dann auch f¨ur alleφ∈W₀^1,q(I,R+)mit ¹_p+¹_q=1 gilt.

Hinweis: Eine M¨oglichkeit ist, den Tr¨ager von φ durch Vorschalten geeigneter linearer Transformationen zun¨achst zu verkleinern, um dann mit einem nichtnegativen Faltungskern zu falten.

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