9.2 Komplexe Integration
9.2.1 Kurvenintegrale
Integral einer komplexen Funktion
Zb
a
f(t)dt= Zb
a
u(t)dt+ i Zb
a
v(t)dt, f(t) = u(t) + iv(t) R . . . linear und additiv und durch
Z f
≤
Z
|f| absch¨atzbar
Komplexes Kurvenintegral
Z
C
f dz = Zb
a
f(z(t))z0(t)dt, C : t7→z(t)
bei gleichbleibender Orientierung unabh¨angig von der Parametrisierung bei Umkehrung der Durchlaufrichtung ¨Anderung des Vorzeichens
Eigenschaften des komplexen Kurvenintegrals linear bez¨uglich des Integranden
Z
C
rf +sg dz=r Z
C
f dz+s Z
C
g dz
additiv bez¨uglich des Integrationsweges Z
C
f dz= Z
C1
f dz+ Z
C2
f dz, C =C1+C2
insbesondere: R
C
f dz =− R
−C
f dz mit −C dem in entgegengesetzter Richtung durchlaufenen Weg C Stammfunktion
Z
C
f0dz =f(z1)−f(z0)
f¨ur einen von z0 nach z1 verlaufenden Weg C
Wegunabh¨angigkeit und Verschwinden des Kurvenintegrals f¨ur geschlossene Wege
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