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9.2 Komplexe Integration

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Academic year: 2021

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9.2 Komplexe Integration

9.2.1 Kurvenintegrale

Integral einer komplexen Funktion

Zb

a

f(t)dt= Zb

a

u(t)dt+ i Zb

a

v(t)dt, f(t) = u(t) + iv(t) R . . . linear und additiv und durch

Z f

≤

Z

|f| absch¨atzbar

Komplexes Kurvenintegral

Z

C

f dz = Zb

a

f(z(t))z0(t)dt, C : t7→z(t)

bei gleichbleibender Orientierung unabh¨angig von der Parametrisierung bei Umkehrung der Durchlaufrichtung ¨Anderung des Vorzeichens

Eigenschaften des komplexen Kurvenintegrals linear bez¨uglich des Integranden

Z

C

rf +sg dz=r Z

C

f dz+s Z

C

g dz

additiv bez¨uglich des Integrationsweges Z

C

f dz= Z

C1

f dz+ Z

C2

f dz, C =C1+C2

insbesondere: R

C

f dz =− R

−C

f dz mit −C dem in entgegengesetzter Richtung durchlaufenen Weg C Stammfunktion

Z

C

f0dz =f(z1)−f(z0)

f¨ur einen von z0 nach z1 verlaufenden Weg C

Wegunabh¨angigkeit und Verschwinden des Kurvenintegrals f¨ur geschlossene Wege

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