2 Komplexe Vektorr¨ aume

2 Komplexe Vektorr¨ aume

Ubungen, die nach Richtigkeit korrigiert werden:¨ Aufgabe 2.1: Komplexer Vektorraum

In einem zwei-dimensionalen komplexen Vektorraum sei der Vektor e=c

i 1

definiert.

(a) W¨ahlen Sie die Konstante creell, positiv, und so, dass ||e||= 1.

(b) Finden Sie einen Vektor e^′, so dass e und e^′ zusammen eine orthonormale Basis f¨ur den Vektorraum bilden.

(c) Berechnen Sie ˆPea, wobei ˆPe die Projektion auf e ist und a= 3

0

.

Ubungen, die nach Aufwand korrigiert werden:¨ Aufgabe 2.2: Kompletter Satz

In einem drei-dimensionalen komplexen Vektorraum seien ˆA und ˆB linare Operatoren. In der Standardbasis {e₁,e₂,e₃} werden diese zwei Operatoren durch die Matrizen

A=





−1 0 0

0 −1 0

0 0 1



, B =





0 1 0 1 0 0 0 0 1





dargestellt.

(a) Sind die Operatoren ˆA und ˆB hermitesch?

(b) Sind die Operatoren ˆA und ˆB vertauschbar?

(c) Der Operator ˆA bildet alleine keinen “kompletten Satz”. Erkl¨aren Sie dies.

(d) Der Operator ˆB bildet alleine keinen “kompletten Satz”. Erkl¨aren Sie dies.

1

(e) Zusammen bilden die Operatoren ˆA und ˆB einen “kompletten Satz”. Bestimmen Sie eine orthonormale Basis f¨ur den Vektorraum aus gemeinsamen Eigenvektoren f¨ur ˆA und ˆB.

Aufgabe 2.3: Dirac Notation

Sei V ein dreidimensionaler komplexer Vektorraum mit basis {|1i,|2i,|3i}.

(a) Ein linearer Operator ˆA kann durch die Dirac Notation und auch durch als Matrix dargestellt werden. Welche Matrixdarstellung geh¨ort zum Operator

Aˆ=|2ih1| − |3ih2|?

(b) Berechnen Sie ˆA|2i.

(c) Der lineare Operator ˆB wird durch die Matrixdarstellung Bˆ =





1 0 0 0 0 0 0 0 0





gegeben. Wie lautet dieser Operator in der Dirac Notation?

(d) Zeigen Sie, dass ˆB = ˆP_|1i die Projektion auf den Basisvektor |1iist.

Aufgabe 2.4: Quadratintegrable Funktionen

Eine Funktion F(x) wird “quadratintegrabel” genannt, wenn das Integral

||F||² = Z ∞

−∞

dx|F(x)|²

besteht. In diesem Fall, wird||F||der “Norm” der FunktionF genannt. Welche der folgenden Funktionen in einer Dimension sind quadratintegrabel?

(a) F(x) =e^ax, mit a >0,

(b) F(x) =e^−ax2+ibx, mit a >0 und b reell,

(c) F(x) = Θ(x)Θ(1−x), wobei Θ(x) die “Theta Funktion” ist, Θ(x) = 1 f¨urx > 0 und Θ(x) = 0 f¨urx <0.

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