11.3 Komplexe Integration
Integral einer komplexen Funktion
Zb
a
f(t)dt= Zb
a
u(t)dt+ i Zb
a
v(t)dt, f(t) = u(t) + iv(t) R . . . linear und additiv und durch
Z
f ≤
Z
|f| absch¨atzbar
Komplexes Kurvenintegral
Z
C
f dz = Zb
a
f(z(t))z0(t)dt, C : t7→z(t)
bei gleichbleibender Orientierung unabh¨angig von der Parametrisierung bei Umkehrung der Durchlaufrichtung ¨Anderung des Vorzeichens
Eigenschaften des komplexen Kurvenintegrals linear bez¨uglich des Integranden
Z
C
rf +sg dz=r Z
C
f dz+s Z
C
g dz
additiv bez¨uglich des Integrationsweges Z
C
f dz= Z
C1
f dz+ Z
C2
f dz, C =C1+C2
insbesondere: R
C
f dz =− R
−C
f dz mit −C dem in entgegengesetzter Richtung durchlaufenen Weg C
Stammfunktion
Z
C
f0dz =f(z1)−f(z0)
f¨ur einen von z0 nach z1 verlaufenden Weg C
Wegunabh¨angigkeit und Verschwinden des Kurvenintegrals f¨ur geschlossene Wege
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Singularit¨aten einer komplexen Funktion
• schwache Singularit¨at:
limz→a(z−a)f(z) = 0 (aufgrund der Cauchyschen Integralformel immer hebbar)
• Pol n-ter Ordnung:
|(z−a)nf(z)|=O(1), z →a, n >0 minimal
• wesentliche Singularit¨at:
(z−a)nf(z)6=O(1) ∀n∈N
Homotopie von Kurven
Abbildung
[0,1]2 3(s, t)7→z(s, t)∈D ,
die die Kurven t 7→z(k, t), k= 0,1, in einem GebietD stetig ineinander ¨uberf¨uhrt
z(1, t) =p: Homotopie zu einem Punkt p
Cauchys Theorem
Z
C
f dz= 0
f: bis auf endlich viele schwache Singularit¨aten im Gebiet Danalytisch C: geschlossen, in D zu einem Punkt homotop
Umlaufzahl
n(C, a) = 1 2πi
Z
C
dz z−a f¨ur einen geschlossenen Weg C
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Cauchysche Integralformel
n(C, z)f(z) = 1 2πi
Z
C
f(w)
w−zdw, z ∈D f: analytisch in D
C: geschlossen, in D zu einem Punkt homotop
n(C, z) = 1 f¨ur einen entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufenen Kreis um z Integralformel f¨ur Ableitungen einer komplexen Funktion
f(n)(z) = n!
2πi Z
C
f(w) (w−z)n+1 dw f: analytisch in D
C: geschlossenen mit n(C, z) = 1, in Dzu einem Punkt homotop
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