Formel von Euler-Moivre
Die Exponentialfunktion mit imagin¨ arem Argument l¨ asst sich mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen ausdr¨ ucken:
exp(iϕ) = cos ϕ + i sin ϕ
f¨ ur ϕ ∈ R . Der Kosinus und der Sinus entsprechen also dem Real- und Imagin¨ arteil komplexer Zahlen mit Betrag 1 (| exp(iϕ)| = 1).
Invertiert man die obige Formel, so folgt cos ϕ = Re e iϕ = 1
2 e iϕ + e −iϕ sin ϕ = Im e iϕ = 1
2i e iϕ − e −iϕ .
Die Identit¨ aten zwischen exp, cos und sin gehen auf Euler und Moivre zur¨ uck. Sie bilden die Grundlage f¨ ur die geometrische Interpretation komplexer Zahlen und spielen in der Fourier-Analysis eine wichtige Rolle.
1 / 3
Beispiel
Berechnung trigonometrischer Funktionen f¨ ur ϕ k = π/2 k , k = 1, 2, . . .
definiere
x k = Re exp(iϕ k )
| {z }
z
k= cos ϕ k
Andere trigonometrische Funktionen k¨ onnen algebraisch durch die Kosinus-Funktion ausgedr¨ uckt werden:
sin ϕ k = q
1 − x k 2 , tan ϕ k = sin ϕ k cos ϕ k =
q 1 − x k 2
x k . k = 1, 2:
x 1 = cos(π/2) = 0, x 2 = cos(π/4) = √ 2/2
2 / 3
z 3 auf der Diagonale des Par- allelogramms mit Eckpunkten 0, 1, z 2 +1, z 2 , |z 3 | = 1 = ⇒
z 3 = z 2 + 1
|z 2 + 1|
Re (z 2 + 1) = x 2 + 1, Im (z 2 + 1) = Im z 2 = q
1 − x 2 2 = ⇒ x 3 = Re z 3 = x 2 + 1
q
(x 2 + 1) 2 + 1 − x 2 2
= x 2 + 1
√ 2x 2 + 2 =
√ 2x 2 + 2 2 Einsetzen von x 2 = Re z 2 = √
2/2 x 3 = p√
2 + 2/2 allgemeine Rekursion x k+1 = √
2x k + 2/2 cos(π/16) = x 4 =
r q √
2 + 2 + 2/2, usw.
3 / 3
