Aufgabe 10: Gesamtladung und Dipolmoment (10 Punkte) Berechnen Sie die Gesamtladung Q und das Dipolmoment p ~ = R

Ubung Grundlagen Elektrodynamik ¨ (SoSe 2014) Vorlesung: Prof. Dr. J. Tjus

Ubungsgruppen: ¨

I: Bj¨ orn Eichmann & Marcio Keßler (Donnerstags, 12-14 Uhr, NB6/99) II: Isaac Saba & Lukas Merten (Donnerstags, 14-16 Uhr, NB6/173)

Ubungsblatt IV ¨ Ausgabe: [21.05.2014]; Abgabe: [04.06.2014]

Aufgabe 10: Gesamtladung und Dipolmoment (10 Punkte) Berechnen Sie die Gesamtladung Q und das Dipolmoment p ~ = R

~

r ρ(~ r) d

r f¨ ur folgende La- dungsverteilungen:

(a) Der Raum zwischen zwei konzentrischen Kugeln mit dem Radius R

und R

(R

< R

) sei geladen mit der Dichte

ρ(~ r) = (

r²

, f¨ ur R

< r < R

0 sonst.

(b) Eine abgeschirmte Punktladung habe die Ladungsverteilung ρ(~ r) = q

δ(~ r) − α

4π

exp(−α r) r

, mit α > 0.

(c) Eine Kugeloberfl¨ ache mit Radius R trage die Ladungsdichte ρ(~ r) = σ

cos θ δ(r − R) .

Aufgabe 11: Punktladung bei geerdeter Metallkugel (10 Punkte)

Eine Punktladung q befinde sich an der Position ~ r

. Eine geerdete Metallkugel mit Radius R befinde sich mit ihrem Zentrum im Ursprung (siehe Zeichnung). Da die Metallkugel geerdet ist, gilt bei |~ r| = r = R, dass das Potential Φ(r = R) = 0 ist.

R

r

r’

α

Φ(r)

q Geerdete, geladene Kugel

mit Radius R

(a) Stellen Sie den Ausdruck f¨ ur das Poten- tial außerhalb der geerdeten Metallkugel mit Hilfe der Spiegelladungsmethode auf, indem Sie eine virtuelle Spiegelladung q

an der Position ~ r

anbringen.

(b) Zeigen Sie, dass durch die Randbedingung des Problems folgt:

q

R = − q

|~ r

| und |~ r

|

R = R

|~ r

| . (1) (c) Interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch: Was passiert mit der Spiegelladung, wenn

man den Abstand der Punktladung q von der Kugel selbst ¨ andert?

(d) Bestimmen Sie hieraus das Potential Φ(~ r).

Aufgabe 12: Spiegelladungen (10 Punkte)

x y

q

Die Abbildung zeigt eine Konfiguration aus zwei senkrecht zu- einander liegenden, geerdeten Metallplatten (φ = 0) und einer Punktladung q. Die Metallplatten seien in der positiven x–z– bzw.

y–z–Halbebene (also y = 0 und x > 0 bzw. x = 0 und y > 0) unendlich ausgedehnt. Die z–Achse weise aus der Papierebene heraus. Die Punktladung sei am Ort (x

, y

, 0) positioniert.

(a) Wie viele und welche solcher Spiegelladungen sind notwendig, um am Ort der beiden Me- tallplatten ein verschwindendes Potential zu erhalten? Wo m¨ ussen diese platziert werden?

Fertigen Sie eine Skizze dieser Konfiguration an.

(b) Begr¨ unden Sie anschaulich, warum das elektrische Feld im Ursprung verschwinden muss.

(c) Bestimmen Sie das elektrische Potential φ und das elektrische Feld E ~ in dem Viertelraum

(x, y > 0), sowie die Fl¨ achenladungsdichten σ

und σ

der beiden Metallplatten.