12_DarstellungsformenvonEbenen_Loesung_slag
Darstellungsformen von Ebenen - Lösung
Aufgabe 1.
Parameterform ein Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren (die in der Ebene liegen) Normalenform ein Aufpunkt und ein Normalenvektor (dieser steht senkrecht auf die Ebene) Aufgabe 2.
Bestimmen Sie eine Ebene in Parameterform, Normalenform (Vektor- und Koordinatendarstel- lung), die durch folgende drei Punkte geht:
a) A(1/2/−3), B(−3/4/3), C(1/1/12).
E : #”
X = 1
−32
+λ
−3−1 4−2 3−(−3)
+µ
1−1
1−2
1 2−(−3)
= 1
−32
+λ
−4
26
+µ
0
−1 312
Die Richtungsvektoren können mit einem Faktor (6= 0) multipliziert werden, so ergibt sich vereinfacht:
E : #”
X = 1
−32
+λ−2
1 3
+µ 0
−2 7
−2
13
× 0
−2 7
=13
14 4
, also E :13
14 4
◦#”
X− 1
−32
= 0
bzw. E : 13x1 + 14x2+ 4x3−29 = 0 b) A(7/1/1), B(5/−2/2), C(4/3/0,5).
E : #”
X = 7
11
+λ
−2
−3 1
+µ
−3
2
−1
2
Die Richtungsvektoren können mit einem Faktor (6= 0) multipliziert werden, so ergibt sich vereinfacht:
E : #”
X =7
11
+λ−2
−3 1
+µ−6
−14
−2
−3 1
×−6
−14
= −1
−8
−26
, also E : −1
−8
−26
◦#”
X−7
1 1
= 0
bzw. E :−x1−8x2−26x3+ 51 = 0
c) Falls die drei Punkte auf einer Geraden liegen, lässt sich keine eindeutige Ebene angeben.
Aufgabe 3.
Finden Sie einen Punkt, der auf der Ebene E3 :x1+ 7x2+x3+ 2 = 0 liegt!
z.B.x1 =x2 = 0 ⇒x3 + 2 = 0⇒x3 =−2, also P(0/0/−2).
Aufgabe 4.
a) E :x2 =a; a ∈Rbeliebig (für a= 0 ist E die x1x3-Ebene.) b) F :x3 = 0.
c) Der Normalenvektor muss in derx1x2-Ebene liegen:G:a1x1+a2x2+a3 = 0mita1, a2 ∈R, und a3 6= 0 (füra3 = 0 liegt die x3-Achse in der G).
d) H :a1x1+a2x2 = 0 mit a1, a2 ∈R.
2
e) 1
00
×−1
−12
=0
12
, also E :0
12
◦#”
X−−7
33
= 0 Aufgabe 5.
a) Das ist die x2x3-Ebene.
b) Die x3-Achse liegt in F.F ist die Winkelhalbierende des 1. Oktanten.
c) G ist parallel zur x1x2-Ebene (ist um 3 in x3-Richtung verschoben).
d) H =F. Aufgabe 6.
Genau wenna4 = 0ist, stimmt die Gleichung, wenn man die Koordinaten des Ursprungs einsetzt:
a1·0 +a2 ·0 +a3·0 + a4
|{z}
0
= 0 + 0 + 0 + 0 = 0
