x 0,x 1 alsauhdieGewihteA,B der Quadratur-

Prof. D. Cohen/ Dr. T. Mitkova, M. Utzinger Universität Basel

Serie 6

zur 16. KW(13.04. - 19.04.2009)

Aufgabe 1:

BestimmenSie dieOrdnung der summiertenQuadraturformel

Q h [f] := ⁴ ₃ T h/ 2 [f] − ¹ ₃ T h [f ] ,

wobei

T h [f]

^diesummierte Trapezregel ist.

Aufgabe 2:*

BestimmenSiesowohldieKnoten

x 0

^,

x 1

^{alsauhdieGewihte}

A

^,

B

^{der Quadratur-}

formel

Z 1

− 1

f(x) dx ≈ Af(x 0 ) + Bf (x 1 )

so,dass dieFormel eine möglihst hohe Ordnung hat. Welhes istdie Ordnung?

Aufgabe 3:

ShreibenSieeineMATLAB-Routinefuntion Int = Quad_SumGauss4(f, a, b, h)

um die numerishe Approximationen des Integrals

Z _b

a

f(x) dx

^{mit der summierten}

Gauss-Quadraturformel

Q h [f ]

^{vierter Ordnung und konstante} Shrittweite

h

^{zu be-}

rehnen.

ShreibenSieeineMATLAB-RoutineTest_SumGauss4zurnumerishenBerehnungder

Integrale

I 1 = Z 2

1

e

x dx

^und

I 2 =

Z 3 0

√ 1 x dx

mit der summierten Gauss-Quadraturformel vierter Ordnung für

h i = 2 ⁻ⁱ

^,

i = 1, 2, 3, . . . , 16

^{. Zeihnen Sieden absoluten Fehler der} Approximation von

I 1

^{und be-}

stimmen Sie die Konvergenzordnung. Shätzen Sie den Fehler der Approximation

von

I 2

^mit

| Q 2 h [f ] − Q h [f] |

^{, zeihnen Sie den Fehler und verizieren Sie, dass die}

Konvergenzordnung

1

3

^{ist. Warum wird hier niht die optimale} Konvergenzordnung erreiht?

Hinweis: Die summierte Gauss-Quadratur vierter Ordnung lautet

Q _h [f ] = h

N− 1

X

j =0

{ ω 1 f (a + hξ 1 + jh) + ω 2 f (a + hξ 2 + jh) } , N = ^{b − a}

h .

wobei

ω 1 = ω 2 = ¹

2

,

ξ 1 = ¹

2 +

√ 3 6

,

ξ 2 = ¹

2 −

√ 3 6

.

Die Skelette der Codes kann man von der Webseite herunterladen.

Zeigen Sie, dass eine symmetrishe Quadraturformel, gegeben durh

(ω i , ξ i )

^,

i = 1, . . . , n

^{, immerOrdnung}

p

^mit

p

^geradehat.

Hinweis: Nehmen Sie an, dass die Quadraturformel Polynome

q ∈ P _{2 k}

,

k ≥ 0

^{, exakt}

integriert. Zeigen Sie, dass die Quadraturformel auh Polynome vom Grad

2k + 1

exakt integriert, indemSie ein Polynom

q ∈ P _{2 k +1}

als

q(x) = c(x − 1/2) ^{2 k +1} + r(x)

^,

r(x) ∈ P _{2 k}

shreiben. Zeigen Sie, dass

1

Z

0

q(x) dx = . . . =

1

Z

0

r(x) dx

^{. Zeigen Sie mit}

Hilfe der Symmetrie, dass

Q[q] = Q[r]

^{und shliessenSie auf die} Behauptung.

Aufgabe 5:(A+B)

FürdieGauss-Quadratur

Q _n [f ]

^mitKnoten

ξ _i

^undGewihten

ω _i

^,

i = 1, . . . , n

^,zeigen

Sie, dass

ω i > 0

^,

i = 1, . . . , n

^.

Hinweis: Für die Polynome

L i

^{, gegeben durh}

L i (x) =

n

Y

j=1 j6=i

x − ξ j

ξ _i − ξ _j

^gilt

L i ∈ P _{n− 1}

,

also

L ² _i ∈ P _{2 n− 2}

. Überlegen Sie, dass die niht negativen Funktionen

L ² _i 6≡ 0

^exakt

integriert werden. Zeigen Sie, dass

0 < . . . = Q _n [L ² _i ] = . . . = ω _i

^,

i = 1, . . . , n

^.

Aufgabe 6:(A+B)

Betrahten Sie dieTshebyshe-Polynome

T n (x) = cos(nϕ) x = cos(ϕ) , x ∈ [ − 1, 1] , n ∈ N ₀ .

ZeigenSie,dassdiePolynome

T n (x)

^{aufdemIntervall}

[ − 1, 1]

^{bezüglihderGewihts-}

funktion

ω(x) = √ ¹ 1 − x ²

einSystem vonorthogonalen Polynomen bilden.

Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass

Z 1

− 1

T k (x)T j (x)ω(x) dx = Z _π

0

cos(kϕ) cos(jϕ) dϕ

^.

Berehnen Sie dann, dass

Z π 0

cos(kϕ) cos(jϕ) dϕ =







0

^falls

k 6 = j ,

π 2

falls

k = j > 0 , π

^falls

k = j = 0 .

Abgabe: Dienstag, 14.April2009, bis 17Uhr imFah

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