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Eckige Spiralen

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Academic year: 2022

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Hans Walser

Eckige Spiralen

www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20210414

(2)

Zahlenspirale

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

0

(3)

Zahlenspirale

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

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Gerade Quadratzahlen

(4)

Zahlenspirale

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

0

Ungerade Quadratzahlen Gerade Quadratzahlen

(5)

Zahlenspirale

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

0

Ungerade Quadratzahlen

Gerade Quadratzahlen ?

(6)

Zahlenspirale

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

0

Ungerade Quadratzahlen Gerade Quadratzahlen Geometrisches Mittel

(7)

Zahlenspirale

Primzahlen oft auf Diagonalen (ungelöstes Problem)

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

0

Ulam-Spirale, 1963

Stanisław Marcin Ulam (1909-1984)

(8)

Im Dreieck

(9)

Im Dreieck

(10)

Im Dreieck

Wie lang ist die Spirale?

(11)

Im Dreieck

Wie lang ist die Spirale?

(12)

Im Dreieck

Wie lang ist die Spirale?

(13)

Im Dreieck

Wie lang ist die Spirale?

(14)

Im Dreieck

Wie lang ist die Spirale?

(15)

Im Dreieck

21 1

4 1

8

(16)

Im Dreieck

21 + 41 + 81 + 161 +! = 1

21 1

4 1

8

(17)

Im Dreieck

(18)

Im Dreieck

41 + 161 + 641 + 2561 +! = 31

(19)

Im Dreieck

41 + 161 + 641 + 2561 +! = 31

(20)

Im Dreieck

41 + 161 + 641 + 2561 +! = 31

(21)

Im Dreieck

41 + 161 + 641 + 2561 +! = 31

(22)

Im Dreieck

41 + 161 + 641 + 2561 +! = ?31

(23)

Im Dreieck

41 + 161 + 641 + 2561 +! = ?31

(24)

Im Dreieck

41 + 161 + 641 + 2561 +! = ?31

(25)

Im Dreieck

41 + 161 + 641 + 2561 +! = 31

(26)

Im Quadrat

(27)

1

8 + 1

16 + 1

32 + 1

64 +!= 1

4

Im Quadrat

(28)

1

8 + 1

16 + 1

32 + 1

64 +!= 1

4

Im Quadrat

(29)

1

8 + 1

16 + 1

32 + 1

64 +!= 1

4

Im Quadrat

(30)

1

8 + 1

16 + 1

32 + 1

64 +!= 1

4

Im Quadrat

(31)

1

8 + 1

16 + 1

32 + 1

64 +!= 1

4

Im Quadrat

(32)

Im Quadrat

1

8 + 1

16 + 1

32 + 1

64 +!= 1

4

(33)

Im Quadrat

1

8 + 1

16 + 1

32 + 1

64 +!= 1

4 21 + 41 + 81 + 161 +! = 1

(34)

Viereckspirale

(35)

Viereckspirale

gleiche Form, verkleinert, verdreht

(36)

Viereckspirale

(37)

Viereckspirale

(38)

Viereckspirale

(39)

Viereckspirale

(40)

Viereckspirale

(41)

Viereckspirale

(42)

Viereckspiralen

(43)

Viereckspiralen

(44)

Ausschnitt

(45)

Viereckspiralen

(46)

Wie finden wir das Startviereck?

(47)

Punktgitter

(48)

Punktgitter

Justierungspunkte

(49)

Punktgitter

u = ex cos

( )

y v = ex sin

( )

y

Komplexe Exponentialfunktion, reell geschrieben

(50)

Punktgitter Spiralenschar

Komplexe Exponentialfunktion, reell geschrieben

u v

u = ex cos

( )

y v = ex sin

( )

y

(51)

Punktgitter Spiralenschar

(52)

Punktgitter Spiralenschar

(53)

Punktgitter Startviereck

(54)

Punktgitter Startviereck

(55)

Spiralen im Goldenen Rechteck

(56)

Goldenes Rechteck

(57)

Goldenes Rechteck

(58)

Quadratisches Origami-Papier

(59)

Goldenes Rechteck

(60)

Goldenes Rechteck

1 1

21

21 5

2

5 2

Φ = 25 + 21 ≈1.618

(61)

Goldenes Rechteck

Loch ähnlich zum Ganzen

(62)

Goldenes Rechteck

Loch ähnlich zum Ganzen

(63)

Goldenes Rechteck

Loch ähnlich zum Ganzen

(64)

Goldenes Rechteck

Loch ähnlich zum Ganzen

(65)

Goldenes Rechteck

Loch ähnlich zum Ganzen

(66)

Goldenes Rechteck

Loch ähnlich zum Ganzen

(67)

Goldenes Rechteck

(68)

Goldenes Rechteck

Blaue Spiralen ungleich rote Spiralen, aber gleiche Flächen

(69)

DIN-Format

A6 A7

A4

A5

A2 A3

A1

(70)

DIN-Format

(71)

DIN-Format

A1

A3 A2

A4

A5A6

A7

(72)

DIN-Format

(73)

DIN-Format

(74)

DIN-Format

(75)

DIN-Format

Wo ist das Zentrum?

(76)

DIN-Format

Zentrum auf Drittels-Raster

(77)

DIN-Format

(78)

DIN-Format Kreisbogen

(79)

DIN-Format Halbkreis

(80)

DIN-Format Halbkreis

(81)

DIN-Format Halbkreis

(82)

DIN-Format Halbkreis

(83)

DIN-Format Halbkreis

(84)

DIN-Format Halbkreis

(85)

Halbes Quadrat

(86)

Halbes Quadrat

(87)

Halbes Quadrat

(88)

Halbes Quadrat

(89)

Halbes Quadrat

(90)

Halbes Quadrat

(91)

Halbes Quadrat

(92)

Halbes Quadrat

(93)

Halbes Quadrat

(94)

Halbes Quadrat

(95)

Halbes Quadrat

(96)

Halbes Quadrat

(97)

Halbes Quadrat Eckige Spirale

(98)

Halbes Quadrat Eckige Spirale

(99)

Halbes Quadrat

(100)

Halbes Quadrat Thaleskreis

(101)

Halbes Quadrat Thaleskreise

(102)

Halbes Quadrat Thaleskreise

(103)

Halbes Quadrat Thaleskreise

(104)

Halbes Quadrat Thaleskreise

(105)

Halbes Quadrat Thaleskreise Fünftel-Raster

(106)

Pythagoras

blau = gelb + rot

(107)

Pythagoras. Noch einen drauf

(108)

Pythagoras

blau = gelb + rot + rot

(109)

Pythagoras

blau = gelb + rot + rot + rot

(110)

Pythagoras

blau = + rot + rot + rot + ...

(111)

Pythagoras und kein Ende

(112)

Penrose-Tribar, „unmögliche Figur“

Oscar Reutersvärd 1934

Roger Penrose 1958 (Nobelpreis Physik 2020)

(113)

Penrose-Tribar, „unmögliche Figur“

Oscar Reutersvärd 1934

Roger Penrose 1958 (Nobelpreis Physik 2020)

(114)

Penrose-Tribar, „unmögliche Figur“

Oscar Reutersvärd 1934

Roger Penrose 1958 (Nobelpreis Physik 2020)

(115)

Penrose-Tribar, „unmögliche Figur“

Oscar Reutersvärd 1934

Roger Penrose 1958 (Nobelpreis Physik 2020)

(116)

Penrose-Tribar, „unmögliche Figur“

Oscar Reutersvärd 1934

Roger Penrose 1958 (Nobelpreis Physik 2020)

(117)

Penrose-Tribar, „unmögliche Figur“

Oscar Reutersvärd 1934

Roger Penrose 1958 (Nobelpreis Physik 2020)

(118)

Penrose-Tribar, „unmögliche Figur“

Oscar Reutersvärd 1934

Roger Penrose 1958 (Nobelpreis Physik 2020)

(119)

Spirale

(120)

Spirale

(121)

Spirale

(122)

Spirale

(123)

Spirale

(124)

Spirale

(125)

Spirale


möglich oder unmöglich?

(126)

Spirale

(127)

Halbregelmäßige Fünfecke

(128)

Regelmäßiges Fünfeck

(129)

Regelmäßige Fünfecke

(130)

Regelmäßige Fünfecke

(131)

Regelmäßige Fünfecke

36°-Lücke

Parkettierung mit regelmäßigen Fünfecke nicht möglich

(132)

Regelmäßiges Fünfeck

(133)

Ecke herunterklappen

(134)

Ecke herunterklappen

(135)

Halbregelmäßiges Fünfeck

(136)

Parkettierungen mit halbregelmäßigen Fünfecken

(137)

Parkettierungen mit halbregelmäßigen Fünfecken

(138)

Parkettierungen mit halbregelmäßigen Fünfecken

(139)

Parkettierungen mit halbregelmäßigen Fünfecken

(140)

Parkettierungen mit halbregelmäßigen Fünfecken

Eindimensionale Lösung

(141)

Parkettierungen mit halbregelmäßigen Fünfecken

Eindimensionale Lösung

(142)

Parkettierungen mit halbregelmäßigen Fünfecken

Optische Täuschung?

(143)

Parkettierungen mit halbregelmäßigen Fünfecken

Parallele Linien?

(144)

Parkettierungen mit halbregelmäßigen Fünfecken

Parallele Linien?

(145)

Parkettierungen mit halbregelmäßigen Fünfecken

(146)
(147)

Eckige Spirale

(148)

Doppelspirale

(149)

Zehn Spiralen

(150)

Regelmäßiges Siebeneck

(151)

Regelmäßiges Siebeneck

(152)

Regelmäßiges Siebeneck

Überlappung

(153)

Regelmäßiges Siebeneck

(154)

Herunterklappen

(155)

Halbregelmäßiges Siebeneck

(156)

Halbregelmäßiges Siebeneck

(157)

Vom Zweieck zum Achteck

(158)

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