„Das Runde muss in das Eckige“
Jens-Peter M. Zemke
zemke@tu-harburg.de
Institut für Numerische Simulation Technische Universität Hamburg-Harburg
19.10.2009 — Studiendekanat ET/IT 20.10.2009 — Studiengänge AIW/LUM
Ursprung
Approximationen Merkverse
Klassifizierung von Zahlen
Natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen Irrationale und konstruierbare Zahlen
Algebraische und transzendente Zahlen Berechenbare und normale Zahlen Die Eulersche Zahle
Die Irrationalität vone Die Transzendenz vone Die Ludolphsche Zahlπ
Die Irrationalität vonπ Die Transzendenz vonπ
Bereits die Geometer der Ägypter, Babylonier, Inder und Griechen bemerkten, dass das Verhältnis des Umfanges eines Kreises (heutzutage geschrieben als 2πr) zu seinem Durchmesser (also2r)unabhängigvon seinem Durchmesser ist undetwas größer ist als3.
Die Problemstellung der„Quadratur des Kreises“
wurde von dem griechischen PhilosophenAnaxagoras (aus)formuliert, als sich dieser, angeklagt wegen
Asebie (Gottlosigkeit), um das Jahr 430 v. Chr.
im „Gefängnis“ befand. Er hatte die Sonne für einen glühenden Stein, größer als die Peloponnes, der unter anderem mit seinem Licht dafür sorge, dass der Mond scheine, und nicht für einen Gott gehalten.
(Quelle: Wikipedia)
Es gibt vieleApproximationenfür die Zahlπ. Lange Zeit war das alles, was gebraucht wurde. Erst die Griechen begannen sich zu fragen, was für eineArt von Zahlπdenn sei.
In derBibelist folgende Approximation zu finden: Im ersten Buch Könige 7:23–26, siehe auch zweite Chronik 4:2–5, steht implizit, dassπdrei ist.
ImPapyrus Rhindsteht die Approximation(16/9)2 ≈3.16049.
Archimedesleitete sehr frühSchrankenfürπher:
3.1408≈ 223 71 =310
71 < π <31 7 = 22
7 =3.142857
Maplespuckt (unter Verwendung vonDigits:=50;) die Approximation π≈3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 aus.
Wer soll sich das denn merken?
ImRussischengibt es z. B. diesen Merkvers:
<Xto(3) (1) zna(4) o(1) krugah(6)>
ImDeutschenz. B. diesen Merkvers:
„Wie(3), o(1) dies(4)π(1) macht(5) ernstlich(9) so(2) vielen(6) viele(5) Müh(3), Lernt(5) immerhin(8), Jünglinge(9), leichte(7) Verselein(9), wie(3) so(2) zum(3) Beispiel(8) dies(4) dürfte(6) zu(2) merken(6) sein(4)!“
Wer lieberGeschichtsdatenparat hat:
„Drei Komma (Hus verbrannt) und (Brennabor) bringen die Zahl Pi hervor.“
Wie gross istπdenn nun? Anders gefragt:Was für eine Art Zahl istπ?
Sie kennen:Natürliche Zahlen,N={1,2,3,4, . . .}, definiert durch die Peano-Axiome. Die Zahlπist keine natürliche Zahl.
Ganze Zahlen,Z={0,±1,±2,±3, . . .}. Die Zahlπist auch keine ganze Zahl.
Man sieht sofort: Es gibt gleichviele Zahlen inZundN, eine eindeutige Nummerierung ist möglich.
Dierationalen ZahlenQ={p/q : p∈Z,q∈N}werden mittelsNundZ definiert. Istπeventuell rational?Nein, aber: Wer hier kann dasbeweisen?
Es gibt auch gleichviele Zahlen inQundN, eine eindeutige Nummerierung ist wieder möglich, dieses ist Cantors erstes Diagonalargument.
Als nächstes lernt man diereellen Zahlenkennen. Diese werden definiert als Grenzwerte einer Intervallschachtelung, mittels Dedekindscher Schnitte oder als Grenzwerte von Cauchy-Folgen.
Die MengenNundRsind nicht gleichmächtig, es gibt keine eindeutige Nummerierung der reellen Zahlen. Dieses ist die sogenannte
Überabzählbarkeit der reellen Zahlen; der Beweis erfolgt über Cantors zweites Diagonalargument.
Die Zahlπist reell, Archimedes hat als erster eine Folge von ineinander enthaltenen Intervallen konstruiert, welche alleπenthalten und deren Intervallenden gegeneinander konvergieren und damit eine reelle Zahl definieren.
Es gibt weitere Erweiterungen: Komplexe ZahlenC, (Hamiltonsche) QuaternionenH, die Cayley-Zahlen oder OktonionenO. Andere
Was ist mit den Zahlen inR, welche nicht inQsind? (Und derer gibt es viele, nämlich viel viel mehr als es Zahlen inQgibt.) Diese sind die sogenannten irrationalen Zahlen.
Dass eine Zahl eine irrationale Zahl ist, beweist man meist mittels eines Widerspruchsbeweises.
Wir zeigen exemplarisch: Alle Zahlen der Form±√
pmit einer Primzahlpsind nicht rational, also irrational.
Denn anderenfalls sei der gekürzte Bruch
±√ p= z
n ⇒ p= z2
n2 ∈N ⇒ n2p=z2 mitn∈N,z∈Z\ {0}gegeben.
Wegen
n2p=z2
muss aberpin dereindeutigen Primfaktorzerlegungvonz2enthalten sein.
Da aber die Primfaktorzerlegung vonz2aus der vonznach z=
m
Y
k=1
pkjk ⇒ z2=
m
Y
k=1
pk2jk
folgt, mussz2sogar durchp2teilbar sein.
Also ist
n2 p = z2
p2 ∈N, also hatn2den Primfaktorp.
Demnach hatn2 den Primfaktorp, und demzufolge nach dem vorherigen Argument sogar den Primfaktorp2.
Also kann man sowohlzals auchndurchp2teilen, was einenWiderspruch zur Annahme, dass der Bruch gekürzt war, darstellt.
Sind denn diese (einfachen) Wurzeln alles, was neu hinzukommt, um ausQ die MengeRzu erhalten?
Eine interessante Erweiterung der rationalen Zahlen sind die sogenannten konstruierbaren Zahlen, welche die eben genannten irrationalen Zahlen±√
p umfassen.
Dabei handelt es sich um eine Idee der griechischen Geometer. Nur Zahlen sind interessant, welche unter Verwendung einesLineals und eines Zirkelsals Strecken konstruiert werden können, ausgehend von einer Strecke mit Einheitslänge.
Die Griechen glaubten lange, dass alle Strecken„kommensurabel“seien, also mit einem gleichen Maß meßbar seien. Die obige Konstruktion und etwas Nachdenken ergibt aber sofort, dass bereits ein rechtwinkliges,
gleichschenkliges Dreieck mit Kathetenlängen Eins dieser Annahme widerspricht, da dann die Hypotenuse die nicht rationale Länge√
2hat.
Anaxagoras formulierte das Problem derQuadratur des Kreisesdenn auch in diesem Rahmen: Die Quadratur des Kreises ist demnach die Aufgabe, nur mittelsZirkel und Linealzu einem gegebenen Kreis ein Quadrat mit der gleichen Flächezu konstruieren. Wieder gingen die Griechen von der prinzipiellen Durchführbarkeit dieser Aufgabe aus.
Was für Zahlen sind denn nun diesekonstruierbaren Zahlen?
Ein„Lineal“erfüllt Geradengleichungen der Form ax+by=c,
meist im Fallb6=0in der Schule noch geschrieben mittels der „Steigung“ und dem „y-Achsen-Abschnitt“,
y= −a bx+c
b.
Ein„Zirkel“, ergo, ein Kreis, hier um den Punkt(x0,y0)mit Radiusr, ist gegeben durch die quadratische Gleichung
(x−x0)2+ (y−y0)2=r2.
Demnach sindSchnitte von Geraden und Kreisen, definiert durch die Koordinaten oder Punktexundy, gegeben bei gleichzeitiger Erfülltheit von Gleichungen von der Form
ax+by=c, (x−x0)2+ (y−y0)2=r2. Auflösen nachxundyergibt Bestimmungsgleichungen der Form
(x−x0)2+ −a
bx+c b −y0
2
=r2,
(y−y0)2+ −b
ay+c a −x0
2
=r2,
wobei hier jeweilsa6=0undb6=0vorrausgesetzt ist.
Es ist für jeden Wert vonxundyeine Nullstelle einesquadratischen Polynomeszu berechnen, also eine Wurzel zu ziehen. Die Koeffizienten dieser quadratischen Polynome sind dabei rationale Funktionen der vorher berechneten Zahlen.
Ausgehend von dem ZahlenkörperQwerden also sukzessiveOberkörper erzeugt durchalgebraische Körpererweiterungmit Nullstellen von Polynomen vom Grad2, als Beispiel erhält man so etwa
Q1:=Q(√
2) :={p+√
2q : p,q∈Q} Danach kann man z. B.√
3als Nullstelle vonx2−3hinzufügen und erhält so Q2: =Q1(
√
3) :={p+
√
3q : p,q∈Q1}
={p1+√
2p2+√
3p3+√
6p4 : p1,p2,p3,p4∈Q}=:Q(√ 2,√
3).
Man kann natürlich aber auch andere Nullstellen von quadratischen Polynomen erzeugen, so z. B. den goldenen Schnitt
Φ :=
√ 5+1
2 , welcher auch eine irrationale Zahl ist.
Die Frage nach der„Quadratur des Kreises“ist also die nach der (Un)Möglichkeit der Konstruktion einer geeigneten „Körpererweiterung“
mittels Nullstellen quadratischer Polynome, welche die Zahlπenthält.
Anders ausgedrückt: Läßt sichπeventuell mitendlich vielen (Quadrat-)Wurzeln schreiben als
π= v u u t
q√ a+√
b−√ c
√ √ ?
Die Frage der Konstruierbarkeit vonπ, äquivalent dazu, der Konstruierbarkeit eines Quadrates mit der Seitenlängeπbei gegebenem Kreis mit Radius Eins, konnte über 2000 Jahre, genauer, bis in dasJahr 1882, nicht beantwortet werden.
Die Erweiterung der Idee der konstruierbaren Zahlen als Nullstellen quadratischer Polynome auf die Nullstellen vonbeliebigen(ganzzahligen) Polynomen führte auf diealgebraischen Zahlen.
Eine Zahlx∈Rist dabeialgebraisch, wenn sie Nullstelle einesganzzahligen Polynomesp6=0ist,
0=p(x) =
n
X
j=0
ajxj, aj∈Z.
Bemerkung: Zu jedem Polynom mitrationalenKoeffizienten existiert ein Polynom mitganzenKoeffizienten und denselben Nullstellen. Das folgt aus der Multiplikation des rationalen Polynomes mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner der Koeffizienten.
Der Grad des Polynomes mit kleinstem Grad, welchesp(x) =0erfüllt, ist der Grad der algebraischen Zahlx. So hat√
2den Grad zwei, und jede rationale Zahl den Grad Eins, dar=z/nNullstelle vonnx−zist.
Hat das minimale ganzzahlige Polynompmitp(x) =0den
Höchstkoeffizienten Eins, so istxeineganze algebraische Zahl. So ist√ 2 eine ganze algebraische Zahl, die algebraische Zahl
r1 2 = 1
√ 2 =
√2 2
Einige der irrationalen Zahlen sind also algebraische Zahlen, alle rationalen Zahlen sind auch algebraische Zahlen. Sind eventuell alle Zahlen
algebraische Zahlen?
Nach Cantor kann man zeigen, dass die Vereinigung von abzählbar unendlich vielen abzählbar unendlichen Mengen abzählbar unendlich ist.
Es gibt nur abzählbar unendlich viele Polynomgrade, pro Polynom hat man nur endlich viele Koeffizienten mit abzählbar unendlich vielen Möglichkeiten, einen Koeffizienten zu wählen, alsosind die algebraischen Zahlen abzählbar.
Es gibt also nur abzählbar viele algebraische ZahlenAinR. Was ist mitden anderen ZahlenR\A, den sogenanntentranszendenten Zahlen?
Die ersten beweisbar transzendenten Zahlen fand Liouville 1844/1851, (Liouville, 1844a; Liouville, 1844b; Liouville, 1851), siehe auch (Lützen, 1990, Seite 520–526), diese heissen deshalbLiouville-Zahlen.
Liouville gab 1844 an und bewies 1851, dass für alle algebraischen Zahlenα vom Gradn>2für eine vonp∈Zundq∈Nunabhängige Konstantec∈R, c>0
α−p q
> c qn gilt.
Algebraische Zahlen sind also diejenigen Zahlen, welche sich nur äusserst schlecht durch (andere) rationale Zahlenannähernlassen.
Später wurde in Arbeiten von Thue, Siegel und Schneider sogar gezeigt, dass sich algebraische Zahlen auch schlecht von anderen algebraischen Zahlen mit niedrigerem Grad approximieren lassen, vergleiche mit dem sogenannten Siegel-Schneider-Theorem.
Der Beweis von Liovilles Resultat (Liouville, 1844a; Liouville, 1844b)
α−p q
> c qn
ist miteinfachen Mittelnnachvollziehbar: Seiαdie algebraische Zahl,f das ganzzahlige Polynom und
M:= max
x∈[α−1,α+1]|f0(x)|.
Es seien die vonαverschiedenen Nullstellen durchα1bisαmgegeben. Es sei dann eincmit
0<c<min{1, 1
M,|α−α1|, . . . ,|α−αm|}
gewählt.
Angenommen, es gäbe jetzt ganzep∈Zundq∈Nmit
α−p q 6 c
qn 6c<1.
Dann ist aufgrund der Wahl vonc, 0<c<min{1, 1
M,|α−α1|, . . . ,|α−αm|},
sowohlp/qim Intervall[α−1, α+1], als auch von denanderen Nullstellen verschieden.
Nach dem Mittelwertsatz gibt es jetzt einξzwischenp/qundα, also ξ∈[α−1, α+1],
so dass
f(α)−f p
q
= f
p q
=
α−p q
|f0(ξ)|
gilt.
Demnach gilt also
α−p q
= f
p
q
(|f0(ξ)|)−1.
Da
f(x) =
n
X
i=1
cixi
ein Polynom mitganzen Zahlenals Koeffizienten undp/qkeine Nullstelleist, gilt
f
p q
=
n
X
i=1
cipiqn−i qn
=
n
X
i=1
cipiqn−i
1 qn > 1
qn, und|f0(ξ)|6M.
Zusammen folgt also derWiderspruch
α−p q
= f
p q
(|f0(ξ)|)−1> 1 Mqn > c
qn >
α−p q .
Demnach sind Zahlen, welche die Eigenschaft haben, dassfür allen∈N Zahlenp∈Zundq∈Nmitq6=1existieren, so dass
0<
x−p q
< 1 qn gilt,transzendent.
Solche Zahlen heissenLiouvillesche Zahlen. Liouville bewies auch gleich 1851, dass unter anderem die heute sogenannteLiouvillesche Konstante
∞
X
j=1
10−j!≈0.11000100000000000000000100000000000000000
transzendent ist. Es gibt überabzählbar unendlich viele Liouvillesche Zahlen.
Die meisten reellen Zahlen gehören abernichtdazu.
Eine echte Obermenge zu den algebraischen Zahlen bilden die berechenbaren Zahlen. Eine Zahl heisst berechenbar, wenn es eine
Berechnungsvorschrift (ergo:Turing-Maschine) gibt, nach der jede (Dezimal- oder Binär-)Stelle berechnet werden kann.
Jede algebraische Zahl ist berechenbar. Die Zahlπist nach Archimedes Ansatz berechnenbar. Die Zahleist berechenbar. Ist jede Zahl berechenbar?
Berechenbare Zahlen gehen auf Alan Turing (Turing, 1937; Turing, 1938) zurück, wieder zeigt sich, dass es nur abzählbar unendlich viele
berechenbare Zahlen gibt. Es gibt also immer noch unendlich vielenicht berechenbare Zahlen.
Zwei Beispiele nicht berechenbarer Zahlen sind die Haltezahl (definiert über das Halteproblem der Informatik) und dieChaitin-Konstanten, als Beispiel
Ω : = X
phält
2−|p|
=0.0000001000000100000110001000011010001111110010111. . .2
=0.0078749969978123844. . .10,
die mittels der Wahrscheinlichkeit definiert werden, dass ein zufälliges Turing-Programmpmit einer Länge von|p|Bits bei Ausführung auf einerfest gewählten Präfix-freien universellen Turing-Maschinehält.
Die angegebenen Ziffern stammen aus einer Arbeit von 2002 von Calude, Dinneen und Shu. Um diese Ziffern zu erhalten, wurden nur die
Wahrscheinlichkeiten für Programme bis zu 84 Bit berechnet, aufgrund von algorithmischen Besonderheiten sind die ersten 64 Bitkorrekt.
Wo bleiben denn nun die anderen reellen Zahlen?
Borel führte 1909 den Begriff dernormalen Zahlein. Eine Zahlxheisst normal (zur Basisb), wenn alle Ziffernblöcke in der Entwicklung zur Basisb mit derselben Häufigkeit wie auch beim Würfeln auftreten,
n→∞lim
# Ziffernblock innerhalb der erstennStellen
n = 1
bAnzahl der Ziffern
Absolut normale Zahlensind Zahlen, die bezüglichjederBasis normal sind.
Borel bewies, dass die meisten reellen Zahlen normal sind. Rationale Zahlen sind nicht normal. Chaitins Konstante ist normal.
Es ist nicht klar, obπnormal ist (z. B. zur Basis 11, vergl. mit dem Roman
“Contact” von Carl Sagan, wurde verfilmt mit Jodie Foster).
Euler bewies 1737 (veröffentlicht erst 1744, (Euler, 1744)), dass die nach ihm benannte Zahle, definiert als der Wert derExponentialfunktion
ex:=
∞
X
k=0
xk
k! =1+x 1+x2
2 +x3 6 +· · · an der Stelle 1, also
e=e1=
∞
X
k=0
1
k! =1+1+1 2 +1
6+· · · ≈2.718281828459045235
irrationalist. Sein Beweis basierte auf einemKettenbruchfüre, welcher zuerst 1714 angegeben wurde von Roger Cotes (Cotes, 1714, Seite 11).
Nachfolgend ein schönereinfacher Widerspruchsbeweis, in Nicolas
Dominique Marie Janot de Stainvilles Buch (de Stainville, 1815) Jean Baptiste Joseph Fourier zugeschrieben, siehe dort die Anmerkung auf Seite 341.
Wir nehmen mit Fourier an, dass 2<e=p
q ∈Q mit p,q∈N. Insbesondere ist jae6∈N, also sicherlichq>1.
Multiplikation vonemitq!ergibt
N3(q−1)!p=q!e=q!
∞
X
k=0
1 k!.
Wir zeigen jetzt, dass die Reihe auf der rechten Seitekeinenatürliche Zahl ergeben kann.
Wir trennen die Reihe in einen ganzzahligen und einen kleinen Teil, q!
∞
X
k=0
1 k! =
q
X
k=0
q!
k! +
∞
X
k=q+1
q!
k!.
In dieser Trennung ist garantiert die vorne stehende Summeganzzahlig,
q
X
k=0
q!
k! =q! +q!
1 +q!
2!+q!
3!+· · ·+q!
q! ∈N.
Nun zeigen wir, dass der hintere Teil
∞
X
k=q+1
q!
k!
keine ganze Zahl sein kann, da erzu kleinist.
Die hintere Reihe
∞
X
k=q+1
q!
k!
ist klein (aber nicht Null), denn dankq>1undk>qgilt 0< q!
k! = 1
(q+1)(q+2)· · ·(q+ (k−q)) 6 1 3k−q,
wobei das Gleichheitszeichen in dem „6“nur fürk=q+1gelten kann, für alle weiteren Terme gilt dort „<“.
Damit folgt
0<
∞
X
k=q+1
q!
k! <
∞
X
k=q+1
1 3k−q =
∞
X
j=1
1 3j.
Die Reihe auf der rechten Seite ist einegeometrische Reihe, es gilt
∞
X
j=1
1 3j = 1
3
∞
X
j=0
1 3j =1
3 1 1−1
3
= 1 2.
Allgemein gilt nämlich für|x|<1
∞
X
j=0
xj= lim
k→∞
k
X
j=0
xj= lim
k→∞
1−xk+1 1−x = 1
1−x,
da offensichtlich
(1−x)
k
X
j=0
xj=
k
X
j=0
xj−
k+1
X
j=1
xj=1−xk+1.
Insgesamt haben wir gezeigt, dass aus der Annahme, dasse∈Q, der Widerspruch
N3q!e=
q
X
k=0
q!
k!
| {z }
∈N
+
∞
X
k=q+1
q!
k!
| {z }
>0,<1
6∈N
folgt, mithinealso irrationalist.
DieTranszendenz vonewurde zuerst 1873 von Charles Hermite gezeigt, (Hermite, 1873), siehe auch (Gel0fond, 1960, Seite 41–44).
Hier geben wir deneinfachereren Beweisvon David Hilbert aus dem Jahre 1893 (Hilbert, 1893a) wieder, siehe auch (Hurwitz, 1893; Gordan, 1893). Der Beweis basiert wieder auf der Konstruktion eines Widerspruchs.
Seiealgebraisch. Dann gibt es ein Polynom, so dass
a+a1e+a2e2+· · ·+anen =0, (1) dessen Koeffizientenganze Zahlensind, wobeia6=0angenommen werden kann, sonst könnte man durcheteilen und ein Polynom einen Grad kleiner betrachten.
Jetzt werden beide Seiten der Gleichung (1), also
a+a1e+a2e2+· · ·+anen =0, (1) mit demIntegral
I0∞:=
Z ∞
0
xm((x−1)(x−2)· · ·(x−n))m+1e−xdx (2) für einspäter noch genauer bestimmtesm∈Nmultipliziert.
Mit der Abkürzung Ij∞:=
Z ∞
j
xm((x−1)(x−2)· · ·(x−n))m+1e−xdx, 16j6n (3) seien die„unten abgeschnittenen“ Teilintegrale, mit
I0j:=
Z j
0
xm((x−1)(x−2)· · ·(x−n))m+1e−xdx, 16j6n (4) die nunfehlenden unteren Teilintegralebezeichnet.
Es giltI0∞=I0j+Ij∞für alle16j6n.
Der durch die Multiplikation entstehende Ausdruck wird wie folgt inzwei Teile zerlegt,
0 = aI0∞+a1eI∞0 +a2e2I0∞+· · ·+anenI0∞ (5)
=
( aI0∞+a1eI1∞+a2e2I∞2 +· · ·+anenIn∞ +a1eI01 +a2e2I20 +· · ·+anenI0n
)
=
( P1
+P2 (6) Wir werden jetzt zeigen, dass der erste Teil
P1=aI0∞+a1eI1∞+a2e2I∞2 +· · ·+anenIn∞ ganzzahligist.
Wegen
Z ∞
0
xje−xdx=j! =1·2·3· · ·j ∀j∈N ist auch
I0∞= Z ∞
0
xm((x−1)(x−2)· · ·(x−n))m+1e−xdx
= Z ∞
0
xm+n(m+1)e−x+· · ·+ (−1)n(m+1)(n!)m+1xme−xdx
= (m+n(m+1))! +· · ·+ (−1)n(m+1)(n!)m+1(m!) eineganze Zahl, überdies durchm!teilbar.
Teilung durch(m+1)!ergibt denRest±(n!)m+1, welcher nicht Null ist, falls m+1einePrimzahlgrößer alsnist.
wiederum ganzzahligund haben sogarmindestens den Teiler(m+1)!, da ejIj∞=ej
Z ∞
j
xm((x−1)(x−2)· · ·(x−n))m+1e−xdx, 16j6n
nach derVariablensubstitution x=z+j, dx
dz =1, e−x=e−z−j=e−ze−j die folgende Gestalt hat:
ejIj∞= Z ∞
0
(z+j)m((z+j−1)(z+j−2)· · ·(z+j−n))m+1e−zdz
= Z ∞
0
zm+n(m+1)+· · ·+
m m+1 m+1 −z
Zusammengefasst ist
P1=aI0∞+a1eI1∞+a2e2I∞2 +· · ·+anenIn∞
aufgrund dieser Überlegungenganzzahlig, da sowohlaundI∞0 als auch alle ajund alleI∞j ganzzahlig sind. Weiterhin ist jeder Summanddurchm!teilbar, daI∞0 durchm!teilbar ist, und die anderenIj∞sogar durch(m+1)!teilbar sind.
Damit, und da
aI0∞
m! = (−1)n(m+1)a(n!)m+1 gilt, folgt
P1
m! = (−1)n(m+1)a(n!)m+1 (modm+1).
Jetzt zeigen wir, dass die Division des zweiten Teiles P2=a1eI01+a2e2I02+· · ·+anenIn0
durchm!für grosse Primzahlenm+1beliebig kleinwerden kann.
Dazu schätzen wir dieHilfsfunktionenauf dem Intervall[0,n]wie folgt ab:
|x(x−1)(x−2)· · ·(x−n)|6K:= max
x∈[0,n]|x(x−1)(x−2)· · ·(x−n)|<nn+1
|(x−1)(x−2)· · ·(x−n)e−x|6k:= max
x∈[0,n]|(x−1)(x−2)· · ·(x−n)e−x|<nn
Damit gilt dann für alle`∈N I0`
=
Z `
xm
(x−1)(x−2)· · ·(x−n)m+1
e−xdx
< `kKm.
Aus derDarstellung
P2=a1eI01+a2e2I02+· · ·+anenIn0 und derAbschätzung
I0`
< `kKm folgt leicht dieAbschätzung
|P2|6|a1e||I10|+|a2e2||I02|+· · ·+|anen||In0|
<(|a1e|+2|a2e2|+· · ·+n|anen|)k
| {z }
=:c
Km.
Damit folgt
P2
m!
<cKm m! .
Wir haben jetzt gezeigt, dass sowohl 0= P1
m!+P2 m!, als auch, dass für Primzahlenm+1>n,m+1>a
P1
m! ∈Z\ {0}
und dass für genügend grossem
P2
m!
< cKm m! <1.
Daraus folgt derWiderspruch.
Dererste Beweis der Irrationalität vonπstammt von Johann Heinrich Lambert aus dem Jahre 1766. Er schrieb zuerst darüber ein Kapitel
„Vorläufige Kenntnisse für die, so die Quadratur und Rectification des Circuls suchen“
im zweiten 1770 veröffentlichten Band seiner
„Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung“, (Lambert, 1770).
Wenige Monate später legte er die 1768 veröffentlichte Arbeit
„Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques“, (Lambert, 1768)
bei der „Histoire de l’Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin“ mit demendgültigen Resultatvor.
Lamberts Beweis basiert auf der Entwicklung gewisser trigonometrischer Funktionen alsKettenbrücheund deren Eigenschaften. Dieser Beweis ist für (werdende) Erstsemester nicht so leicht zugänglich.
Wir geben hier denkurzen Beweis nach Ivan Nivenvon 1947 (Niven, 1947) wieder.
Q N
Es seienPolynomef undFfür einspäter bestimmtesn∈Ngegeben durch f(x) :=xn(a−bx)n
n! ,
F(x) :=f(x)−f(2)(x) +f(4)(x)− · · ·+ (−1)nf(2n)(x).
Erste Beobachtung: Unter der Annahmeπ=a/bgilt f(x) =f(a/b−x) =f(π−x).
Zweite Beobachtung: Das Polynomf (und damit auch das PolynomF) hat an der Stelle Null (und damit auch beiπ) nur ganzzahlige Ableitungen,
f(k)(0)∈Z, F(0)∈Z.
Dritte Beobachtung:
d
dx(F0(x)sin(x)−F(x)cos(x)) =F00(x)sin(x) +F(x)sin(x) =f(x)sin(x).
Vierte Beobachtung:
Z π
0
f(x)sin(x)dx= [F0(x)sin(x)−F(x)cos(x)]π0 =F(π) +F(0)∈Z.
Andererseits: Für0<x< πgilt logischerweise dieAbschätzung 0<f(x)sin(x)< πnan
n! .
Jetzt kann man aber zeigen, dass der Ausdruck auf der rechten Seite für grossen∈ beliebig kleingemacht werden kann, also insbesondere kleiner
Von1882 stammt Lindemanns Beweis, dass die Kreiszahlπeine
transzendente Zahlist (Lindemann, 1882b; Lindemann, 1882a), siehe auch (Weierstrass, 1885).
Mit diesem Beweis lieferte Lindemann dienegative Antwortauf die alte griechische Aufgabenstellung der Quadratur des Kreises.
Der nachfolgende Beweis ist dervereinfachte Beweisvon David Hilbert von 1893 (Hilbert, 1893a).
ImBrückenkurshaben Sie gelernt, dass mit der komplexen Einheiti= −1 die Gleichung
eiπ+1=0 gilt.
Jetzt konstruiert man, ausgehend von der Annahme, dassα1=iπ algebraisch vom Gradnist, mit den anderen Nullstellenα2, . . . , αndes entsprechnenden Polynomes vom Gradenden Ausdruck
(1+eα1)(1+eα2)· · ·(1+eαn) =1+eβ1+eβ2+· · ·+eβN, wobeiN=2n−1.
Wie man schnell nachrechnet, sind dieβiSummen derαj, es gilt
β1 =α1, . . . βn=αn, βn+1=α1+α2, . . . βN=α1+· · ·+αn.
Also sind dieβidieNullstellen der Polynome p1(z) = (z−α1)(z−α2)· · ·(z−αn),
p2(z) = (z−α1−α2)(z−α1−α3)· · ·(z−αn−1−αn),
p3(z) = (z−α1−α2−α3)(z−α1−α2−α4)· · ·(z−αn−2−αn−1−αn), ...
pn(z) =z−
n
X
j=1
αj.
Nun ist aber geradep1(z)bis auf die fehlende Skalierung mit dem Faktor bei der höchsten Potenznnach unserer Vorraussetzung ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten.
Wir betrachten das erste Polynom etwas genauer. Sei unser ganzzahliges Polynom gegeben als
f(z) =
n
X
k=0
akzk=an n
Y
i=1
(z−αi) =anp1(z).
Dann sind dieersten beiden Koeffizientengegeben als a0=an(−1)nY
i=1
αi, a1=an(−1)n−1 X
16i1<i2<···<in−16n
αi1αi2· · ·αin−1,
alle weiterendurch
aj=an(−1)n−j X
16i1<i2<···<in−j6n
αi1αi2· · ·αin−j.
Die hierbei auftretenden Terme
σj:= X
16i1<i2<···<in−j6n
αi1αi2· · ·αin−j = (−1)n−jaj
an
sind somit allerational.
Man sieht sofort, dass alleσjsich nicht ändern, wenn man die Reihenfolge derαiändert. Daher nennt man diese auch(elementar-)symmetrische Funktionender „Wurzeln“αi.
Der sogenannte „Hauptsatz über symmetrische Funktionen“ sagt jetzt aus, dassjederAusdruck, welcher symmetrisch in den Wurzelnαiist, einen rationalen Wertliefert. Ist überdiesangleich Eins, so ist solch ein Ausdruck sogarganzzahlig.
Da das Polynom
p(z) :=
n
Y
i=1
pi(z)
alleβials Nullstellen hat und alle Polynome des Produktes sich unter Vertauschungen der Nullstellenαinicht ändern, ist dieses Polynom ein Polynom mitrationalen Koeffizienten.
Wir nehmen mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachenvder Nenner mal und erhalten so ein Polynom
Z(z) :=v·p(z)
mitganzzahligen Koeffizientenmit GradN=2n−1, welches dieβials Nullstellen hat.
Einige derβiwerden eventuellgleich Nullsein, diese ergeben in (1+eα1)(1+eα2)· · ·(1+eαn) =1+eβ1+eβ2+· · ·+eβN 1=e0. Alle diese Einsen werden auf den Term1aufgeschlagen, es ergibt sich (nach einer Umnummerierung)
1+eβ1+eβ2+· · ·+eβN =a+eβ1+eβ2+· · ·+eβM mita∈N.
Dieser Umformung entspricht einTeilendes ganzzahligen PolynomesZ(z) durch den FaktorzN−M, die verbleibendenβisind dann die Nullstellen des ganzzahligen Polynomes
Z(z)
zN−M =bzM+b1zM−1+· · ·+bM=0, bM6=0.
Hilbert definiert als nächstes eineneue Hilfsfunktion, indem er das Polynom mit den nichttrivialen Nullstellen (ganzzahlig) skaliert,
g(z) :=bMZ(z)
zN−M =bM(bzM+b1zM−1+· · ·+bM).
Anschliessend betrachtet erwieder Integrale, dieses Mal multipliziert er a+eβ1+eβ2+· · ·+eβM
mit dem Integral
J∞0 :=
Z ∞
0
zm(g(z))m+1e−zdz.
Analog werden dieabgeschnittenen IntegraleJβ∞i und dieIntegraleJ0βi definiert, wobei dieses Mal die Integralekomplexe Kurvenintegralesind, da
Der durch die Multiplikation entstehende Ausdruck wird wieder wie folgt in zwei Teilezerlegt,
0 = aJ∞0 +eβ1J∞0 +eβ2J0∞+· · ·+eβMJ0∞ (7)
=
( aJ∞0 +eβ1J∞β
1 +eβ2J∞β
2 +· · ·+eβMJβ∞
M
+eβ1J0β1+eβ2J0β2+· · ·+eβMJβ0M )
=
( Q1
+Q2
(8) Es zeigt sich, dass wiederQ1ganzzahlig ungleich NullundQ2„zu“ kleinist.
Dazu wird wieder eineVariablensubstitutiondurchgeführt: Unter Verwendung von
z= ˆz+βi
folgt
eβiJ∞βi = Z ∞
0
(ˆz+βi)m(g(ˆz+βi))m+1e−ˆzdˆz= (m+1)!G(βi).
Die durch
eβiJ∞βi = Z ∞
0
(ˆz+βi)m(g(ˆz+βi))m+1e−ˆzdˆz= (m+1)!G(βi)
definierteFunktionGist offensichtlich eine ganzzahlige Funktion vonβi. Weiterhin ist wegen
0=g(βi) =bM(bβiM+b1βiM−1+· · ·+bM) und
g(ˆz+βi) =bM(b(ˆz+βi)M+b1(ˆz+βi)M−1+· · ·+bM)
=bM(bβiM+b1βiM−1+· · ·+bM) +R(ˆz, βi) Gals Polynom inβivomHöchstgradm+ (M−1)(m+1) =mM+M.
Dag(ˆz+βi)als Polynom inβiden HöchstfaktorbMenthält, enthält das inβi ganzzahlige PolynomGvom GradmM+Mwegen
eβiJ∞βi = Z ∞
0
(ˆz+βi)m(g(ˆz+βi))m+1e−ˆzdˆz= (m+1)!G(βi)
denHöchstfaktorbmM+Mund läßt sich, dabmM+Mein Teiler aller Koeffizienten vonGist, mit einem anderenganzzahligen PolynomG˜ mit
Höchstkoeffizienten Einsschreiben alsG(βi) = ˜G(bβi).
Damit ist die Summe
eβ1Jβ∞1 +eβ2Jβ∞2 +· · ·+eβMJβ∞M
= (m+1)! ˜G(bβ1) + ˜G(bβ2) +· · ·+ ˜G(bβM) notwendig nach dem Hauptsatz über symmetrische Funktionen eine durch (m+1)!teilbareganze Zahl.
Der fehlende erste Term in der SummeQ1,
Q1 =aJ0∞+eβ1Jβ∞1 +eβ2Jβ∞2 +· · ·+eβMJ∞βM,
ist natürlich auch wiederganzzahlig, eine genauere Analyse zeigt, dass er die Form
aJ0∞=a Z ∞
0
zm(g(z))m+1e−zdz
=a Z ∞
0
b(M+1)(m+1)zm+M(m+1)e−z+· · ·+ (g(0))m+1zmdz
=a
b(M+1)(m+1)(m+M(m+1))! +· · ·+ (bMbM)m+1m!
hat, also nachTeilen mit Restdie Form aJ∞0
=abmM+Mbm+1M (modm+1).
Insgesamt gilt daher also Q1
m! =aJ0∞+eβ1Jβ∞1 +eβ2Jβ∞2 +· · ·+eβMJ∞βM m!
=a b(M+1)(m+1)(m+M(m+1))! +· · ·+ (bMbM)m+1m!
m!
+(m+1)!
m!
G(bβ˜ 1) + ˜G(bβ2) +· · ·+ ˜G(bβM)
=abmM+Mbm+1M (modm+1).
Wenn jetztm+1einePrimzahl größer alsa,bundbMist, so ist Z3 Q1
m! 6=0.
Wir wenden uns jetzt dem zweiten TermQ2zu,
Q2=eβ1Jβ01+eβ2J0β2+· · ·+eβMJβ0M.
Die Integrale werden wieder durch Maxima auf den geraden Strecken zwischen Null undβj(inC)abgeschätzt,
|zg(z)|6E:= max
z∈∪Mj=1[0,βj]
|zg(z)|,
|g(z)e−z|6e:= max
z∈∪Mj=1[0,βj]
|g(z)e−z|,
es gilt
|Jβ0j|=
Z βj
0
zm(g(z))m+1e−zdz
<|βi|eEm.
Damit ist aberQ2beschränktdurch
Q2
m!
=
eβ1Jβ01+eβ2J0β2+· · ·+eβMJβ0M m!
6
C
z }| {
|β1eβ1|+· · ·+|βMeβM| e Em
m! .
Wieder können wirmso gross wählen, dass dieser Ausdruckkleiner als Eins wird und damit die Gleichung
0=Q1
m! +Q2
m!
unmöglichzu erfüllen ist.
Demnach ist die Zahlπtranszendent. Das beweist die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises mittels Zirkel und Lineal.
Jeder, derπnur auf dem Rechnerals ANSI/IEEE 754double-Zahl (also mit 64 Bit, nichtsingle, also 32 Bit) benötigt, also auf ca.16 Dezimalstellen, dem sei die folgende Approximation nach Hermite (Hermite, 1859),
Ramanujan (Ramanujan, 1914), Gardner (Gardner, 1975a; Gardner, 1975b), siehe auch Weber, (Weber, 1908, Seite 462), und Heegner, (Heegner, 1952, Seite 232), ans Herz gelegt:
π− 3
√
163ln(640320)<0.222·10−15.
Auch interessant, aber hier nicht bewiesen: Die Zahleπ= (−1)−i= (−1)−√−1 ist ebenfallstranszendent.
Leider ist nicht mehr genug Zeit um diesesinteressante Gebiethinreichend zu vertiefen . . .
Danke für die Aufmerksamkeit!War nett, mal wieder die Erstsemester
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