Zur Quadratur des Kreises

(1)

— oder —

„Das Runde muss in das Eckige“

Jens-Peter M. Zemke

zemke@tu-harburg.de

Institut für Numerische Simulation Technische Universität Hamburg-Harburg

19.10.2009 — Studiendekanat ET/IT 20.10.2009 — Studiengänge AIW/LUM

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Übersicht

Ursprung

Approximationen Merkverse

Klassifizierung von Zahlen

Natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen Irrationale und konstruierbare Zahlen

Algebraische und transzendente Zahlen Berechenbare und normale Zahlen Die Eulersche Zahle

Die Irrationalität vone Die Transzendenz vone Die Ludolphsche Zahlπ

Die Irrationalität vonπ Die Transzendenz vonπ

TUHH Jens-Peter M. Zemke Zur Quadratur des Kreises Vorlesung im Rahmen der OE WS 2009 2 / 73

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Übersicht

Ursprung

Algebraische und transzendente Zahlen Berechenbare und normale Zahlen

Die Eulersche Zahle Die Irrationalität vone Die Transzendenz vone Die Ludolphsche Zahlπ

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Übersicht

Ursprung

Die Irrationalität vone Die Transzendenz vone

Die Ludolphsche Zahlπ Die Irrationalität vonπ Die Transzendenz vonπ

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Übersicht

Ursprung

Die Irrationalität vonπ

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Ursprung Approximationen

Übersicht

Ursprung

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Ursprung

Bereits die Geometer der Ägypter, Babylonier, Inder und Griechen bemerkten, dass das Verhältnis des Umfanges eines Kreises (heutzutage geschrieben als 2πr) zu seinem Durchmesser (also2r)unabhängigvon seinem Durchmesser ist undetwas größer ist als3.

Die Problemstellung der„Quadratur des Kreises“

wurde von dem griechischen PhilosophenAnaxagoras (aus)formuliert, als sich dieser, angeklagt wegen

Asebie (Gottlosigkeit), um das Jahr 430 v. Chr. im „Gefängnis“ befand. Er hatte die Sonne für einen glühenden Stein, größer als die Peloponnes, der unter anderem mit seinem Licht dafür sorge, dass der Mond scheine, und nicht für einen Gott gehalten.

(Quelle: Wikipedia)

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Ursprung

Asebie (Gottlosigkeit), um das Jahr 430 v. Chr.

im „Gefängnis“ befand.

Er hatte die Sonne für einen glühenden Stein, größer als die Peloponnes, der unter anderem mit seinem Licht dafür sorge, dass der Mond scheine, und nicht für einen Gott gehalten.

(Quelle: Wikipedia)

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Ursprung

im „Gefängnis“ befand.

Er hatte die Sonne für einen glühenden Stein, größer als die Peloponnes, der unter anderem mit seinem Licht dafür sorge, dass der Mond scheine, und nicht für einen Gott gehalten.

(Quelle: Wikipedia)

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Ursprung

im „Gefängnis“ befand. Er hatte die Sonne für einen glühenden Stein, größer als die Peloponnes, der unter anderem mit seinem Licht dafür sorge, dass der Mond scheine, und nicht für einen Gott gehalten.

(Quelle: Wikipedia)

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Approximationen von π

Es gibt vieleApproximationenfür die Zahlπ. Lange Zeit war das alles, was gebraucht wurde. Erst die Griechen begannen sich zu fragen, was für eineArt von Zahlπdenn sei.

In derBibelist folgende Approximation zu finden: Im ersten Buch Könige 7:23–26, siehe auch zweite Chronik 4:2–5, steht implizit, dassπdrei ist. ImPapyrus Rhindsteht die Approximation(16/9)² ≈3.16049.

Archimedesleitete sehr frühSchrankenfürπher: 3.1408≈ 223

71 =310

71 < π <31 7 = 22

7 =3.142857

Maplespuckt (unter Verwendung vonDigits:=50;) die Approximation π≈3.1415926535897932384626433832795028841971693993751 aus.

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Approximationen von π

In derBibelist folgende Approximation zu finden: Im ersten Buch Könige 7:23–26, siehe auch zweite Chronik 4:2–5, steht implizit, dassπdrei ist.

ImPapyrus Rhindsteht die Approximation(16/9)² ≈3.16049. Archimedesleitete sehr frühSchrankenfürπher:

3.1408≈ 223 71 =310

71 < π <31 7 = 22

7 =3.142857

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Approximationen von π

ImPapyrus Rhindsteht die Approximation(16/9)² ≈3.16049.

Archimedesleitete sehr frühSchrankenfürπher: 3.1408≈ 223

71 =310

71 < π <31 7 = 22

7 =3.142857

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Approximationen von π

Archimedesleitete sehr frühSchrankenfürπher:

3.1408≈ 223 71 =310

71 < π <31 7 = 22

7 =3.142857

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Approximationen von π

Archimedesleitete sehr frühSchrankenfürπher:

3.1408≈ 223 71 =310

71 < π <31 7 = 22

7 =3.142857

Maplespuckt (unter Verwendung vonDigits:=50;) die Approximation π≈3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

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Ursprung Merkverse

Übersicht

Ursprung

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Ursprung Merkverse

Approximationen von π

Wer soll sich das denn merken?

ImRussischengibt es z. B. diesen Merkvers:

<Xto(3) (1) zna(4) o(1) krugah(6)>

ImDeutschenz. B. diesen Merkvers:

„Wie(3), o(1) dies(4)π(1) macht(5) ernstlich(9) so(2) vielen(6) viele(5) Müh(3), Lernt(5) immerhin(8), Jünglinge(9), leichte(7) Verselein(9), wie(3) so(2) zum(3) Beispiel(8) dies(4) dürfte(6) zu(2) merken(6) sein(4)!“

Wer lieberGeschichtsdatenparat hat:

„Drei Komma (Hus verbrannt) und (Brennabor) bringen die Zahl Pi hervor.“

Johannes Hus wurde 1415 verbrannt, Brennabor (lateinisch für Brandenburg) wurde 926 zerstört.

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Ursprung Merkverse

Approximationen von π

<Xto(3) (1) zna(4) o(1) krugah(6)>

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Ursprung Merkverse

Approximationen von π

<Xto(3) (1) zna(4) o(1) krugah(6)>

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Ursprung Merkverse

Approximationen von π

<Xto(3) (1) zna(4) o(1) krugah(6)>

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Klassifizierung von Zahlen Natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen

Übersicht

Ursprung

Die Irrationalität vonπ

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Klassifizierung von Zahlen

Wie gross istπdenn nun?

Anders gefragt:Was für eine Art Zahl istπ? Sie kennen:Natürliche Zahlen,N={1,2,3,4, . . .}, definiert durch die Peano-Axiome. Die Zahlπist keine natürliche Zahl.

Ganze Zahlen,Z={0,±1,±2,±3, . . .}. Die Zahlπist auch keine ganze Zahl. Man sieht sofort: Es gibt gleichviele Zahlen inZundN, eine eindeutige Nummerierung ist möglich.

Dierationalen ZahlenQ={p/q : p∈Z,q∈N}werden mittelsNundZ definiert. Istπeventuell rational?Nein, aber: Wer hier kann dasbeweisen? Es gibt auch gleichviele Zahlen inQundN, eine eindeutige Nummerierung ist wieder möglich, dieses ist Cantors erstes Diagonalargument.

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Klassifizierung von Zahlen

Wie gross istπdenn nun? Anders gefragt:Was für eine Art Zahl istπ?

Sie kennen:Natürliche Zahlen,N={1,2,3,4, . . .}, definiert durch die Peano-Axiome. Die Zahlπist keine natürliche Zahl.

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Klassifizierung von Zahlen

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Klassifizierung von Zahlen

Ganze Zahlen,Z={0,±1,±2,±3, . . .}. Die Zahlπist auch keine ganze Zahl.

Man sieht sofort: Es gibt gleichviele Zahlen inZundN, eine eindeutige Nummerierung ist möglich.

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Klassifizierung von Zahlen

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Klassifizierung von Zahlen

Dierationalen ZahlenQ={p/q : p∈Z,q∈N}werden mittelsNundZ definiert. Istπeventuell rational?

Nein, aber: Wer hier kann dasbeweisen? Es gibt auch gleichviele Zahlen inQundN, eine eindeutige Nummerierung ist wieder möglich, dieses ist Cantors erstes Diagonalargument.

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Klassifizierung von Zahlen

Dierationalen ZahlenQ={p/q : p∈Z,q∈N}werden mittelsNundZ definiert. Istπeventuell rational?Nein, aber: Wer hier kann dasbeweisen?

Es gibt auch gleichviele Zahlen inQundN, eine eindeutige Nummerierung ist wieder möglich, dieses ist Cantors erstes Diagonalargument.

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Klassifizierung von Zahlen

Dierationalen ZahlenQ={p/q : p∈Z,q∈N}werden mittelsNundZ definiert. Istπeventuell rational?Nein, aber: Wer hier kann dasbeweisen?

Es gibt auch gleichviele Zahlen inQundN, eine eindeutige Nummerierung ist wieder möglich, dieses ist Cantors erstes Diagonalargument.

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Klassifizierung von Zahlen

Als nächstes lernt man diereellen Zahlenkennen. Diese werden definiert als Grenzwerte einer Intervallschachtelung, mittels Dedekindscher Schnitte oder als Grenzwerte von Cauchy-Folgen.

Die MengenNundRsind nicht gleichmächtig, es gibt keine eindeutige Nummerierung der reellen Zahlen. Dieses ist die sogenannte

Überabzählbarkeit der reellen Zahlen; der Beweis erfolgt über Cantors zweites Diagonalargument.

Die Zahlπist reell, Archimedes hat als erster eine Folge von ineinander enthaltenen Intervallen konstruiert, welche alleπenthalten und deren Intervallenden gegeneinander konvergieren und damit eine reelle Zahl definieren.

Es gibt weitere Erweiterungen: Komplexe ZahlenC, (Hamiltonsche) QuaternionenH, die Cayley-Zahlen oder OktonionenO. Andere

hyperkomplexe Erweiterungen der reellen Zahlen, die Non-Standard-Zahlen von Robinson . . .

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Klassifizierung von Zahlen

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Klassifizierung von Zahlen

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Klassifizierung von Zahlen

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Klassifizierung von Zahlen Irrationale und konstruierbare Zahlen

Übersicht

Ursprung

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Klassifizierung von Zahlen

Was ist mit den Zahlen inR, welche nicht inQsind? (Und derer gibt es viele, nämlich viel viel mehr als es Zahlen inQgibt.) Diese sind die sogenannten irrationalen Zahlen.

Dass eine Zahl eine irrationale Zahl ist, beweist man meist mittels eines Widerspruchsbeweises.

Wir zeigen exemplarisch: Alle Zahlen der Form±√

pmit einer Primzahlpsind nicht rational, also irrational.

Denn anderenfalls sei der gekürzte Bruch

±√ p= z

n ⇒ p= z²

n² ∈N ⇒ n²p=z² mitn∈N,z∈Z\ {0}gegeben.

(36)

Klassifizierung von Zahlen

±√ p= z

n ⇒ p= z²

(37)

Klassifizierung von Zahlen

±√ p= z

n ⇒ p= z²

(38)

Klassifizierung von Zahlen

±√ p= z

n ⇒ p= z²

(39)

Klassifizierung von Zahlen

Wegen

n²p=z²

muss aberpin dereindeutigen Primfaktorzerlegungvonz²enthalten sein.

Da aber die Primfaktorzerlegung vonz²aus der vonznach z=

m

Y

k=1

p_k^j^k ⇒ z²=

m

Y

k=1

p_k^2j^k

folgt, mussz²sogar durchp²teilbar sein. Also ist

n² p = z²

p² ∈N, also hatn²den Primfaktorp.

(40)

Klassifizierung von Zahlen

Wegen

n²p=z²

m

Y

k=1

p_k^j^k ⇒ z²=

m

Y

k=1

p_k^2j^k

folgt, mussz²sogar durchp²teilbar sein.

Also ist

n² p = z²

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Klassifizierung von Zahlen

Wegen

n²p=z²

m

Y

k=1

p_k^j^k ⇒ z²=

m

Y

k=1

p_k^2j^k

folgt, mussz²sogar durchp²teilbar sein.

Also ist

n² p = z²

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Klassifizierung von Zahlen

Demnach hatn² den Primfaktorp, und demzufolge nach dem vorherigen Argument sogar den Primfaktorp².

Also kann man sowohlzals auchndurchp²teilen, was einenWiderspruch zur Annahme, dass der Bruch gekürzt war, darstellt.

Sind denn diese (einfachen) Wurzeln alles, was neu hinzukommt, um ausQ die MengeRzu erhalten?

Eine interessante Erweiterung der rationalen Zahlen sind die sogenannten konstruierbaren Zahlen, welche die eben genannten irrationalen Zahlen±√

p umfassen.

(43)

Klassifizierung von Zahlen

p umfassen.

(44)

Klassifizierung von Zahlen

p umfassen.

(45)

Klassifizierung von Zahlen

p umfassen.

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Klassifizierung von Zahlen

Dabei handelt es sich um eine Idee der griechischen Geometer. Nur Zahlen sind interessant, welche unter Verwendung einesLineals und eines Zirkelsals Strecken konstruiert werden können, ausgehend von einer Strecke mit Einheitslänge.

Die Griechen glaubten lange, dass alle Strecken„kommensurabel“seien, also mit einem gleichen Maß meßbar seien. Die obige Konstruktion und etwas Nachdenken ergibt aber sofort, dass bereits ein rechtwinkliges,

gleichschenkliges Dreieck mit Kathetenlängen Eins dieser Annahme widerspricht, da dann die Hypotenuse die nicht rationale Länge√

2hat. Anaxagoras formulierte das Problem derQuadratur des Kreisesdenn auch in diesem Rahmen: Die Quadratur des Kreises ist demnach die Aufgabe, nur mittelsZirkel und Linealzu einem gegebenen Kreis ein Quadrat mit der gleichen Flächezu konstruieren. Wieder gingen die Griechen von der prinzipiellen Durchführbarkeit dieser Aufgabe aus.

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Klassifizierung von Zahlen

2hat.

Anaxagoras formulierte das Problem derQuadratur des Kreisesdenn auch in diesem Rahmen: Die Quadratur des Kreises ist demnach die Aufgabe, nur mittelsZirkel und Linealzu einem gegebenen Kreis ein Quadrat mit der gleichen Flächezu konstruieren. Wieder gingen die Griechen von der prinzipiellen Durchführbarkeit dieser Aufgabe aus.

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Klassifizierung von Zahlen

2hat.

Anaxagoras formulierte das Problem derQuadratur des Kreisesdenn auch in diesem Rahmen: Die Quadratur des Kreises ist demnach die Aufgabe, nur mittelsZirkel und Linealzu einem gegebenen Kreis ein Quadrat mit der gleichen Flächezu konstruieren. Wieder gingen die Griechen von der prinzipiellen Durchführbarkeit dieser Aufgabe aus.

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Klassifizierung von Zahlen

Was für Zahlen sind denn nun diesekonstruierbaren Zahlen?

Ein„Lineal“erfüllt Geradengleichungen der Form ax+by=c,

meist im Fallb6=0in der Schule noch geschrieben mittels der „Steigung“ und dem „y-Achsen-Abschnitt“,

y= −a bx+c

b.

Ein„Zirkel“, ergo, ein Kreis, hier um den Punkt(x₀,y0)mit Radiusr, ist gegeben durch die quadratische Gleichung

(x−x₀)²+ (y−y₀)²=r².

(50)

Klassifizierung von Zahlen

y= −a bx+c

b.

(x−x₀)²+ (y−y₀)²=r².

(51)

Klassifizierung von Zahlen

y= −a bx+c

b.

(x−x₀)²+ (y−y₀)²=r².

(52)

Klassifizierung von Zahlen

Demnach sindSchnitte von Geraden und Kreisen, definiert durch die Koordinaten oder Punktexundy, gegeben bei gleichzeitiger Erfülltheit von Gleichungen von der Form

ax+by=c, (x−x0)²+ (y−y0)²=r².

Auflösen nachxundyergibt Bestimmungsgleichungen der Form (x−x0)²+

−a bx+c

b −y0

2

=r²,

(y−y0)²+ −b

ay+c a −x0

2

=r²,

wobei hier jeweilsa6=0undb6=0vorrausgesetzt ist.

(53)

Klassifizierung von Zahlen

Demnach sindSchnitte von Geraden und Kreisen, definiert durch die Koordinaten oder Punktexundy, gegeben bei gleichzeitiger Erfülltheit von Gleichungen von der Form

ax+by=c, (x−x0)²+ (y−y0)²=r². Auflösen nachxundyergibt Bestimmungsgleichungen der Form

(x−x0)²+ −a

bx+c b −y0

2

=r²,

(y−y0)²+ −b

ay+c a −x0

2

=r²,

wobei hier jeweilsa6=0undb6=0vorrausgesetzt ist.

(54)

Klassifizierung von Zahlen

Es ist für jeden Wert vonxundyeine Nullstelle einesquadratischen Polynomeszu berechnen, also eine Wurzel zu ziehen. Die Koeffizienten dieser quadratischen Polynome sind dabei rationale Funktionen der vorher berechneten Zahlen.

Ausgehend von dem ZahlenkörperQwerden also sukzessiveOberkörper erzeugt durchalgebraische Körpererweiterungmit Nullstellen von Polynomen vom Grad2, als Beispiel erhält man so etwa

Q1:=Q(√

2) :={p+√

2q : p,q∈Q} Danach kann man z. B.√

3als Nullstelle vonx²−3hinzufügen und erhält so Q2: =Q1(

√

3) :={p+

√

3q : p,q∈Q1}

={p1+√

2p2+√

3p3+√

6p4 : p1,p2,p3,p4∈Q}=:Q(√ 2,√

3).

(55)

Klassifizierung von Zahlen

Q1:=Q(√

2) :={p+√

2q : p,q∈Q}

Danach kann man z. B.√

√

3) :={p+

√

3q : p,q∈Q1}

={p1+√

2p2+√

3p3+√

6p4 : p1,p2,p3,p4∈Q}=:Q(√ 2,√

3).

(56)

Klassifizierung von Zahlen

Q1:=Q(√

2) :={p+√

2q : p,q∈Q} Danach kann man z. B.√

√

3) :={p+

√

3q : p,q∈Q1}

={p1+√

2p2+√

3p3+√

6p4 : p1,p2,p3,p4∈Q}=:Q(√ 2,√

3).

(57)

Klassifizierung von Zahlen

Man kann natürlich aber auch andere Nullstellen von quadratischen Polynomen erzeugen, so z. B. den goldenen Schnitt

Φ :=

√ 5+1

2 , welcher auch eine irrationale Zahl ist.

Die Frage nach der„Quadratur des Kreises“ist also die nach der (Un)Möglichkeit der Konstruktion einer geeigneten „Körpererweiterung“ mittels Nullstellen quadratischer Polynome, welche die Zahlπenthält. Anders ausgedrückt: Läßt sichπeventuell mitendlich vielen

(Quadrat-)Wurzeln schreiben als

π= v u u t

q√ a+√

b−√ c

√e+√

d ?

(58)

Klassifizierung von Zahlen

Φ :=

√ 5+1

Die Frage nach der„Quadratur des Kreises“ist also die nach der (Un)Möglichkeit der Konstruktion einer geeigneten „Körpererweiterung“

mittels Nullstellen quadratischer Polynome, welche die Zahlπenthält.

Anders ausgedrückt: Läßt sichπeventuell mitendlich vielen (Quadrat-)Wurzeln schreiben als

π= v u u t

q√ a+√

b−√ c

√e+√

d ?

(59)

Klassifizierung von Zahlen

Φ :=

√ 5+1

Die Frage nach der„Quadratur des Kreises“ist also die nach der (Un)Möglichkeit der Konstruktion einer geeigneten „Körpererweiterung“

mittels Nullstellen quadratischer Polynome, welche die Zahlπenthält.

Anders ausgedrückt: Läßt sichπeventuell mitendlich vielen (Quadrat-)Wurzeln schreiben als

π= v u u t

q√ a+√

b−√ c

√ √ ?

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Klassifizierung von Zahlen Algebraische und transzendente Zahlen

Übersicht

Ursprung

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Klassifizierung von Zahlen

Die Frage der Konstruierbarkeit vonπ, äquivalent dazu, der Konstruierbarkeit eines Quadrates mit der Seitenlängeπbei gegebenem Kreis mit Radius Eins, konnte über 2000 Jahre, genauer, bis in dasJahr 1882, nicht beantwortet werden.

Die Erweiterung der Idee der konstruierbaren Zahlen als Nullstellen quadratischer Polynome auf die Nullstellen vonbeliebigen(ganzzahligen) Polynomen führte auf diealgebraischen Zahlen.

Eine Zahlx∈Rist dabeialgebraisch, wenn sie Nullstelle einesganzzahligen Polynomesp6=0ist,

0=p(x) =

n

X

j=0

ajx^j, aj∈Z.

(62)

Klassifizierung von Zahlen

0=p(x) =

n

X

j=0

ajx^j, aj∈Z.

(63)

Klassifizierung von Zahlen

0=p(x) =

n

X

j=0

ajx^j, aj∈Z.

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Klassifizierung von Zahlen

Bemerkung: Zu jedem Polynom mitrationalenKoeffizienten existiert ein Polynom mitganzenKoeffizienten und denselben Nullstellen. Das folgt aus der Multiplikation des rationalen Polynomes mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner der Koeffizienten.

Der Grad des Polynomes mit kleinstem Grad, welchesp(x) =0erfüllt, ist der Grad der algebraischen Zahlx. So hat√

2den Grad zwei, und jede rationale Zahl den Grad Eins, dar=z/nNullstelle vonnx−zist.

Hat das minimale ganzzahlige Polynompmitp(x) =0den

Höchstkoeffizienten Eins, so istxeineganze algebraische Zahl. So ist√ 2 eine ganze algebraische Zahl, die algebraische Zahl

r1 2 = 1

√ 2 =

√2 2 als Nullstelle von2x²−1=0nicht.

(65)

Klassifizierung von Zahlen

r1 2 = 1

√ 2 =

(66)

Klassifizierung von Zahlen

r1 2 = 1

√ 2 =

(67)

Klassifizierung von Zahlen

Einige der irrationalen Zahlen sind also algebraische Zahlen, alle rationalen Zahlen sind auch algebraische Zahlen. Sind eventuell alle Zahlen

algebraische Zahlen?

Nach Cantor kann man zeigen, dass die Vereinigung von abzählbar unendlich vielen abzählbar unendlichen Mengen abzählbar unendlich ist.

Es gibt nur abzählbar unendlich viele Polynomgrade, pro Polynom hat man nur endlich viele Koeffizienten mit abzählbar unendlich vielen Möglichkeiten, einen Koeffizienten zu wählen, alsosind die algebraischen Zahlen abzählbar. Es gibt also nur abzählbar viele algebraische ZahlenAinR. Was ist mitden anderen ZahlenR\A, den sogenanntentranszendenten Zahlen?

Die ersten beweisbar transzendenten Zahlen fand Liouville 1844/1851, (Liouville, 1844a; Liouville, 1844b; Liouville, 1851), siehe auch (Lützen, 1990, Seite 520–526), diese heissen deshalbLiouville-Zahlen.

(68)

Klassifizierung von Zahlen

Es gibt nur abzählbar unendlich viele Polynomgrade, pro Polynom hat man nur endlich viele Koeffizienten mit abzählbar unendlich vielen Möglichkeiten, einen Koeffizienten zu wählen, alsosind die algebraischen Zahlen abzählbar. Es gibt also nur abzählbar viele algebraische ZahlenAinR. Was ist mitden anderen ZahlenR\A, den sogenanntentranszendenten Zahlen?

(69)

Klassifizierung von Zahlen

Es gibt nur abzählbar unendlich viele Polynomgrade, pro Polynom hat man nur endlich viele Koeffizienten mit abzählbar unendlich vielen Möglichkeiten, einen Koeffizienten zu wählen, alsosind die algebraischen Zahlen abzählbar.

Es gibt also nur abzählbar viele algebraische ZahlenAinR. Was ist mitden anderen ZahlenR\A, den sogenanntentranszendenten Zahlen?

(70)

Klassifizierung von Zahlen

(71)

Klassifizierung von Zahlen

Die ersten beweisbar transzendenten Zahlen fand Liouville 1844/1851, (Liouville, 1844a; Liouville, 1844b; Liouville, 1851), siehe auch (Lützen, 1990,

(72)

Klassifizierung von Zahlen

Liouville gab 1844 an und bewies 1851, dass für alle algebraischen Zahlenα vom Gradn>2für eine vonp∈Zundq∈Nunabhängige Konstantec∈R, c>0

α−p q

> c qⁿ gilt.

Algebraische Zahlen sind also diejenigen Zahlen, welche sich nur äusserst schlecht durch (andere) rationale Zahlenannähernlassen.

Später wurde in Arbeiten von Thue, Siegel und Schneider sogar gezeigt, dass sich algebraische Zahlen auch schlecht von anderen algebraischen Zahlen mit niedrigerem Grad approximieren lassen, vergleiche mit dem sogenannten Siegel-Schneider-Theorem.

(73)

Klassifizierung von Zahlen

α−p q

> c qⁿ gilt.

(74)

Klassifizierung von Zahlen

α−p q

> c qⁿ gilt.

(75)

Klassifizierung von Zahlen

Der Beweis von Liovilles Resultat (Liouville, 1844a; Liouville, 1844b)

α−p q

> c qⁿ ist miteinfachen Mittelnnachvollziehbar:

Seiαdie algebraische Zahl,f das ganzzahlige Polynom und

M:= max

x∈[α−1,α+1]|f⁰(x)|.

Es seien die vonαverschiedenen Nullstellen durchα1bisαmgegeben. Es sei dann eincmit

0<c<min{1, 1

M,|α−α1|, . . . ,|α−αm|} gewählt.

(76)

Klassifizierung von Zahlen

α−p q

> c qⁿ

ist miteinfachen Mittelnnachvollziehbar: Seiαdie algebraische Zahl,f das ganzzahlige Polynom und

M:= max

x∈[α−1,α+1]|f⁰(x)|.

0<c<min{1, 1

M,|α−α1|, . . . ,|α−αm|} gewählt.

(77)

Klassifizierung von Zahlen

α−p q

> c qⁿ

M:= max

x∈[α−1,α+1]|f⁰(x)|.

Es seien die vonαverschiedenen Nullstellen durchα1bisαmgegeben.

Es sei dann eincmit

0<c<min{1, 1

M,|α−α1|, . . . ,|α−αm|} gewählt.

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Klassifizierung von Zahlen

α−p q

> c qⁿ

M:= max

x∈[α−1,α+1]|f⁰(x)|.

0<c<min{1, 1

M,|α−α1|, . . . ,|α−αm|}

gewählt.

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Klassifizierung von Zahlen

Angenommen, es gäbe jetzt ganzep∈Zundq∈Nmit

α−p q 6 c

qⁿ 6c<1.

Dann ist aufgrund der Wahl vonc, 0<c<min{1, 1

M,|α−α1|, . . . ,|α−αm|},

sowohlp/qim Intervall[α−1, α+1], als auch von denanderen Nullstellen verschieden.

(80)

Klassifizierung von Zahlen

Angenommen, es gäbe jetzt ganzep∈Zundq∈Nmit

α−p q 6 c

qⁿ 6c<1.

Dann ist aufgrund der Wahl vonc, 0<c<min{1, 1

M,|α−α1|, . . . ,|α−αm|},

sowohlp/qim Intervall[α−1, α+1], als auch von denanderen Nullstellen verschieden.