rad 0.175 1

9 Rotation

Klausur zur Vorlesung Dienstag 10.2.2009

Alte Bibliothek

Bogenmaß und Raumwinkel

rad r

l = ⇒ Θ = 1

rad 0.175 1

rev 0.159 rad

1

3 . 2 57

rad 360 1

=

°

=

°

° ≈

= π

Eine Verschiebung entgegen dem Uhrzeigersinn ist positiv,

eine im Uhrzeigersinn negativ

r Θ

dimensionslose Einheit Steradian (sr)

57 . 12

² 1 4

² 4

gel Einheitsku der

Oberfläche

=

⋅

= π π r

Zweidimensional

l

Dreidimensional

Winkelgeschwindigkeit

mittlere Winkelgeschwindigkeit 0

0

, t

Θ ΔΘ = Θ − Θ

⁰

t

Θ ,

Δ t

= ΔΘ

ω

t

0

t t = − Δ

Θ Δ =

= ΔΘ

→

Δ

dt

d t

t 0

ω lim

instantane Winkelgeschwindigkeit

Einheit der Winkelgeschwindigkeit [rad/s]

Da die

Winkelgeschwindigkeit über die Änderung des Winkels bestimmt wird rotiert jeder Punkt auf dem Rad mit derselben Winkelgeschwindigkeit!

ω_Ferrari = ωPink Panther

ΔΘ

Winkelgeschwindigkeit

Zusammenhang zur linearen Geschwindigkeit

P

x O

ω r

dt r r d r t

dt dl

t r t

l

r l

t

=

Θ Θ =

Δ →

= ΔΘ

=

Δ

= ΔΘ Δ

= Δ

Θ

=

→ Δ

v v

v

0

&

Δ l ΔΘ

r

v r ω ^r

ω in Einheiten von rad

Θ Θ =

= &

dt ω d

Definition

Obwohl Winkelgeschwindigkeit für jeden Punkt auf dem Rad identisch ist, ändert sich

die lineare Geschwindigkeit mit dem Abstand zum Zentrum.

Das bestätigt unsere tägliche Erfahrung!

Graphische Darstellung

Winkel

Θ(t) Winkelgeschwindigkeit

ω(t)

ω>0 Drehung im Uhrzeigersinn

ω <0

Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn Zeit t

Zeit t

Rotation im Uhrzeigersinn

( ) ^{t = − 1 . 0 − 0 . 6 t + 0 . 25 t ²}

Θ

Winkelbeschleunigung

konstant

mittlere Winkelbeschleunigung 0

0

, t

ω

⁰

ω ω

ω = − t Δ

ω ,

R

t

Δ

= Δ ω α

t

0

t t = − Δ

ω ω

α dt

d t

R t

=

Δ

= Δ

→ Δ

lim

0

instantane Winkelbeschleunigung

Einheit der Winkelbeschleunigung [rad/s²]

Da die Winkelbeschleunigung über die Änderung der Winkelgeschwindigkeit definiert ist, erfährt jeder Punkt auf dem Rad derselbe Winkelbeschleunigung

Cargolifter

Justage des Schubs durch Änderung der Rotationsgeschwindigkeit der Rotoren

Winkelbeschleunigung

Zusammenhang zur linearen Beschleunigung

P O

a

tan

Zentripedalbeschleunigung wächst mit dem Abstand r zur

Drehachse

R t

r a

dt r r d t

r a t

α

ω ω ω

=

= Δ ⇒

= Δ Δ

= Δ

^{Δ →}

tan

0 tan

v &

tangentiale Komponente

rad

R

a r a r

r =

_tan

+

α

( ) r

r

a

_rad

r ²

r

v² ₌ ω

²

₌ ω

=

radiale Komponente

Zentripedalbeschleunigung

a

R

Vektoraddition

Diese Gleichungen geben den Zusammenhang zwischen den Winkelgrößen und den linearen Größen an.

ω

= r

v a

_rad

= ω ² r a

_tan

= r α

_R

ω ω ω ω

&

&&

&

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ Θ

= Θ Θ

=

dt d dt

d dt

d dt

d

dt d

2 2

Definition

konstant α

R

Betrag der Geschwindigkeit ändert sich

Richtung des Geschwindigkeitsvektor ändert sich

Zusammenhang zu linearer Bewegung

gilt nur für konstante Winkelbeschleunigung

( )

2

2 ² 1 2 1 2

²

2 ² 1

0 0

0 0

2 0

0 0

0

ω ω ω

α ω

ω ω α ω

ω

α ω

α ω ω

= +

−

= Θ

− Θ

+

= Θ

− Θ

Θ +

=

+

= Θ

− Θ

+

=

t t

t t t

t

R R R

( )

( )

2 v v v

2 ² v 1

v 2 v

1 2 v

² v

2 ² v 1

v v

0 0

0 0

0 2

0 0 0

0

= +

−

=

−

+

=

−

− +

=

+

=

−

+

=

at t

x x

t x

x

x x a

at t

x x

at

Rotationsbewegung Lineare Bewegung α

ω

⇔

⇔ Θ

⇔ a v x

ω ω

ω ω ω

=

= Θ

=

0

t

0

= 0 α

R

Θ

0

− Θ

ω

α

R

t

ω

0 unbekannte

Variable

x

0

x − v

a t

v

0 unbekannte

Variable

v v

v v v

0 0

=

=

= t x

= 0 a

ohne Beweis

Anglerglück

Winkelbeschleunigung 100 rad/ s² für 2 Sekunden (Radius 50 mm)

( ) s

200 rad s

s² 2 rad 0 100

t hwindigkei Winkelgesc

0

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

=

+

= ω

α ω

ω

_R

t

50 mm

( )

s 10 m s

200 rad m

0.05 v

v

r Angelschnu der

gkeit Geschwindi

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= ω r

( )

rev 8 . rad 31

2 rev rad 1

200

rad 200 s

s² 2 100 rad 2 0 1

2 1

Rolle der

Drehungen der

Anzahl

2 2 0

=

= Θ

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

= Θ

+

= Θ

π

α

ω t

_R

t

Diskuswurf

Diskobolos 450 v Chr.

( )

( )

g a

a r a

r a

rad R

rad

R

s² 10 9 m 8

s 80 m s 0.8m

10 rad

s 40 m s

50 rad 0.8m

2 2

tan

2 2

tan 2

≈

= +

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

α ω

α s² 50 rad

hleunigung Winkelbesc

R

= α

r=80 cm

s 10 rad

t hwindigkei Winkelgesc

gewählte

ω =

12

Air Canada

Vince Carter‘s Windmill Slam Dunkies

270 Grad Rotation des Baseballs

Masse Baseball 0.624 kg

Armlänge 0.85 m

0.14 s für 3/4 Rotation

Zentripedalbeschleunigung des Baseballs

( )( )

s 28.6 m s

0.14

m 0.85 75

. 0 v 2

Baseballs des

Rotation 270

v 2

3/4

= =

°

=

π

t π r

mittlere Geschwindigkeit des Baseballs

Kraft, die Vince Carter aufbringen muss, um den Baseball auf der Bahn zu halten

( ) ^{600 N}

s 3 m . 962 kg

0.624

₂

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ F

c

r g

a

_rad

10

s 3 m . m 962

0.85 s 28.6 m v

2 2

2

⎟ = ≈

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

=

=

Propellerdesign

Geschwindigkeit der Flügelspitzen maximal 300 m/s (90 % Schallgeschwindigkeit)

s 250 rad

s 60

min 1 rev

rad 2

min 2400 rev

=

=

ω ω π

m 1.16

s 251 rad

s 75 m s

300 m v

v

v v

v v

max 2 F 2

res max

2 2 max 2

F 2

P 2

F 2

res

=

−

− =

=

⇓

+

= +

=

r r

r

ω

ω

Maximaler Radius des Propellers

Winkelgeschwindigkeit

Beide Geschwindigkeitskomponenten müssen vektoriell addiert werden

( )

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛=

⋅

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

! s²

10 m 7.2

m s 1.16

250 rad

4 2 2

m a F

a

r a

rad rad

rad

ω

Beschleunigungswerte an der Flügelspitze

leichtes, stark belastbares Material gefragt z.B. Aluminiumlegierung

Informationspeicher

s rad 2

s

1 rev ₌ π

f

f ω π

π

ω 2

2 ⇔ =

=

Einheit der Frequenz f

[1 Hz=1 rev/s=1s^-1 ]

Frequenz

Periode

T 1 f

=

Festplatte 3,5 Zoll (=88.9 mm)

7200 rev/s Transfer 100 MB/s

s 740 rad

60s/min rev/min 7200

rev rad 2 2

=

=

=

ω π π

ω f

r=3 cm

( )

( )

nm bit/s 222

10

22.2m/s

s² 16430 m s

740 rad 0.03m

²

s 22.2 m s

740 rad 0.03m

v

8

2

<

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

Bit rad

l r a

r ω

ω

Soviel Platz braucht eine Informationseinheit auf der Festplatte

Rechte-Hand-Regel

Die Drehachse einer rotierenden Scheibe definiert einen Vektor ω, der den Geschwindigkeitsvektor der Drehbewegung repräsentiert

Rechte Hand Regel

Drehrichtung Zeigt der Daumen der

rechten Hand in Richtung von ω, dann zeigen die Finger die

Drehrichtung an.

Richtung des

Geschwindigkeitsvektors Die Länge von ω ist ein

Maß für die Größenordnung der Winkelgeschwindigkeit Der Vektor zeigt nicht in Richtung der

Bewegung. Deshalb ist die Notation etwas gewöhnungsbedürftig. Statt dessen

rotiert der Körper um die Vektorachse.

diese Achse ist ausgezeichnet

Sind die Winkelgrößen Vektoren?

x O

Θ r

Sowohl der Vektor der Winkelgeschwindigkeit (ω) als auch der der Winkelbeschleunigung (α) erfüllen die

Regeln der Vektoraddition.

Richtung OK Betrag OK

Dies gilt nicht für den Winkel Θ!

b

a r + r b r a r +

a b

b

a r + r =/ r + r

Kinetische Energie der Rotation

∑

=

=

ⁿ

i

i i

L

m

KE

1

v

2

2 1

( )

²

1

2 1

2

2 1 2

1 ω ⎟ ω

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= ∑ ∑

=

=

n i

i i n

i

i i

R

m r m r

KE

Dieser Term gibt an, wie die Masse des Rotationskörpers verteilt ist

Definition

Trägheitsmoment

∑

=

=

ⁿ

i

i i

r m I

1

2

2

2 1 I ω KE

_R

=

Rotationsenergie eines massiven Körpers

r

_i2 i

i

m

m ⇒

² v

²_i

⇒ ω

∫

= r dm

I ²

Kinetische Energie der Translation eines massiven Körpers

kontinuierliche Massenverteilung z.B. Bumerang

Zusammenhang zu den linearen Größen

Ansatz: Man ersetze die linearen Größen durch die entsprechenden Größen bei der Beschreibung der Rotation

ω r

= v

Rotation

etwas anders sortiert

System von Massenpunkten

Rotation

Masse in der Nähe der Rotationsachse geringes Trägheitsmoment

leicht in Rotation zu versetzten

Masse weiter entfernt von Rotationsachse größeres Trägheitsmoment

schwerer in Rotation zu versetzten

Berechnung von Trägheitsmomenten

Homogener Ring mit Masse M auf dem Radius R

Drehachse z

Drehachse z

∫

∫ ^{= =}

= r ² dm R

²

dm MR

²

I

Scheibe mit Masse M gleichmässig verteilt bis Radius R

Erwartung: das Trägheitsmoment is geringer

Wähle Ringe mit Masse dm auf dem Ring mit Radius r mit Dicke dr

Fläche eines Ringsegments

rdr dA = 2 π

Fläche der Scheibe

R

2

A = π

A rdr dA M

A

dm = M = 2 π

2 4

0 2

0 2

2

1 4

1

³ 2 2

2

²

² R MR

R dr M

R r rdr M

A r M dm

r

I

^{R R}

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

=

= ∫ ∫ ^{π π} _π ∫

!!!

21

Trägheitsmomente

Rotation unterschiedlicher Körper

2 2

12 1 4

1 MR ML

I

_D

= +

2 2

2 2

2 2

6 2 1 2

1 12

1

2 1 4 1

R L MR

ML MR

MR I

I

C

D

= + = +

L R

R L

R L

3 1 6 2 1

6 2 1 1

2 2

2 2

=

= +

=

Gleiches Trägheitsmoment für beide Drehachsen

Wie ist dann das R/L Verhältnis ?

Noch mehr Trägheitsmomente

Fliehkraftregler

Beim Fliehkraftregler nutzt man aus, dass durch die schnellere Drehung die Gegengewichte auf einen größeren

Radius gebracht werden

Resultat: Das Trägheitsmoment vergrößert wird.

Beispiel Astrophysik

Kosmische Leuchttürme

( )

m² kg 10 5.76

m 10 kg 0 1 44 . 5 1 2

5 2

m³ 10 kg

km 0 1

37

4 2 30

2 15

⋅

=

⋅

⋅

=

=

=

=

NS NS

NS NS NS

I I

MR I

R ρ

Pulsare sind schnell rotierende Neutronensterne 1.44 bis 3 Sonnenmassen

Durchmesser 10 km, 1000 rev/s

Durch Abstrahlung on Energie in Form von Licht verliert der Stern Rotationsenergie

Pulsar im Krebsnebel

vom Pulsar beleuchtetes Gas

JoJo

Maxwellsches Rad

Maxwellsches Rad

Potentielle Energie

Translationsenergie und Rotationsenergie

Elastische Energie

Translationsenergie und Rotationsenergie Potentielle Energie

... etc ...

2 CM

2 2 CM

2 CM

2 2

CM

2 v 3

v 2

1 2 v 1

2 1

2 v 1

2 1

M KE

MR R M

KE

I M

KE

=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

=

+

= ω

Mgh PE =

2 CM

2 1

R v

MR I =

ω =

gh M Mgh

KE PE

_{i f}

3 v 4

4 v 3

CM

2 CM

=

=

=

Geschwindigkeit am tiefsten Punkt

Zum Vergleich fallender Stein

gh 2 v

_CM

=

1/3 der potentiellen Energie wird in Rotationsenergie umgewandelt

25

Körper auf schiefer Ebene

Welche Beschleunigung erfahren die beiden Körper?

Θ h

R D = 2 s

2 2 2

2

2

v

2 v 1

2 1 2

v 1 2 1

I R m

I m

mgh = + ω = +

⇒ +

=

⇓

²

² 2 v

R m I

mgh

(

₀

)

2 0

2 v 2

v = + a x−x

² sin

² 2 2

R m I a mg

R m I as mgh

+

= Θ

⇓ +

=

Θ

=

= 2 sin 1

² g a

mR I

R R

Zylinder

Θ

=

= 3 sin 2

2 ² 1

g a

mR I

S S

Rohr

Lösung unabhängig von Masse und Radius

geringere Beschleunigung, da Masse auf dem Mantel

R

= v ω

Zylinder

Bremsen

Drehbewegung obwohl Reibungskräfte nur in der Ebene angreifen?