Größen und ihre Einheiten

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Zahlen und Größen • Beitrag 58 Größen und ihre Einheiten 1 von 30 I

40 RAAbits Realschule Mathematik August 2018

Größen und ihre Einheiten

Von Dr. Brigitte Leneke und Dr. Moudar Soumaya, Magdeburg Illustriert von Dr. Brigitte Leneke und Dr. Moudar Soumaya, Magdeburg

Durch alltagsnahe Aufgaben und Beispiele gewinnen Ihre Schülerinnen und Schüler Sicher- heit im Umgang mit den unterschiedlichsten Größen (Geld, Länge, Flächen, Räume) und ins- besondere im Umwandeln der jeweiligen Einheiten.

Klasse 5–10

Dauer 17 Stunden (3–4 Stunden für jede Größe)

Inhalt Größen (Geld, Länge, Flächeninhalt, Rauminhalt) und ihre Einheiten, Größenvorstellungen entwickeln, Umwandlung von Einheiten, Größen ordnen, vergleichen und abschätzen

Kompetenzen Mathematische Darstellungen verwenden (K4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5), mathematisch kommunizieren (K6)

Ihr Plus Zusatzmaterialien zur Differenzierung und Ergänzung

I Zahlen und Größen  Beitrag 58 Größen und ihre Einheiten 22 von 30

Die Einheitentreppe zum „Rauminhalt“ und das „Hohlmaß“ M 14

Beispiele

a) Rechne in die nächstkleinere Einheit um (Treppe stufenweise herunterkommen) 53 m

³

= 53·1 000 dm

³

(l) = 53 000 dm

³

(l)

14 cm

³

(ml) = 14 · 1 000 mm

³ = 14 000 mm³

b) Rechne in eine kleinere Einheit um (Treppe sprungweise herunterkommen) 8 km

³

= 8 · 1 000 · 1 000 · 1 000 m

³

= 8 000 000 000 m

³

= 8 Mrd. m

³

19 m

³

= 19 · 1 000 · 1 000 cm

³

(ml) = 19 000 000 cm

³

(ml) = 19 Mio. cm

³

(ml) c) Rechne in die nächstgrößere Einheit um (Treppe stufenweise hochkommen) 2 000 hm

³

= 2 000 : 1 000 km

³

= 2 km

³

43 000 dam

³

= 43 000 : 1 000 hm

³

= 43 hm

³

d) Rechne in eine größere Einheit um (Treppe sprungweise hochkommen) 1 100 000 mm

³

= 1 100 000 : 1 000 000 dm

³

(l) = 11 dm

³

(l)

45 000 000 000 m

³

= 45 Mrd. m

³

= 45 Mrd. : 1 Mrd. km

³

= 45 km

³ Aufgabe

Rechne in die angegebene Einheit um 12 m

³

= ____ dm

³

1 000 mm

³

= ____ cm

³

6 000 000 000 m

³

= ____ km

³

8 km

³

= ____ m

³

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Größen und ihre Einheiten Zahlen und Größen • Beitrag 58 I 2 von 30

Didaktisch-methodische Hinweise

Beim Arbeiten mit Größen, verbunden mit dem Ziel der Entwicklung von Größenvorstellun- gen, haben Schülerinnen und Schüler oft Probleme, die passende Größe und die dazugehörige Einheit zu finden oder gegebene Einheiten – dem Anliegen entsprechend – in adäquate Einhei- ten umzuwandeln. Gerade damit sind oftmals Schwierigkeiten verbunden, da die Schülerinnen und Schüler das zugrunde liegende Konzept der Einheitenumwandlung nicht genügend verin- nerlicht haben.

Worum geht es inhaltlich?

In der Materialsammlung wird durch die für jede Größe abgestimmten Materialien angestrebt, den Schülerinnen und Schülern sowohl Hilfestellungen bei der Entwicklung von Größenvor- stellungen zu geben als auch eine zentrale Idee für die Umwandlung von Einheiten zu vermit- teln. Die verschiedenen Größen werden mit geeigneten Einheiten Bildern und den hilfreichen Schemata der Einheitentreppen veranschaulicht. Die Umrechnungstechnik aller Einheiten ba- siert auf der Idee der „Einheitentreppe“, die z. B. auch in niederländischen Lehrmaterialien Anwendung findet.¹

Die Umrechnung von einer größeren Einheit in eine kleinere Einheit heißt und bedeutet „Trep- pe herunterkommen: mit den Stufenwerten multiplizieren“. Die Umrechnung von einer kleine- ren Einheit in eine größere Einheit heißt und meint „Treppe hochkommen: durch die Stufen- werte dividieren“. Die Schüler und Schülerinnen können sich durch diese Visualisierungen die Regeln für die Umrechnung der Einheiten von Größen leichter merken.

Das sollten Ihre Schülerinnen und Schüler bereits können

Die Schülerinnen und Schüler sollten im Ausführen der Rechenoperationen in den Zahlberei- chen der natürlichen Zahlen, der gebrochenen Zahlen und der ganzen Zahlen sicher sein. Die Lernenden kennen bereits die verschiedenen Darstellungsweisen (gemeiner Bruch, Dezimal- bruch und gemischte Zahl) einer gebrochenen Zahl und können sie ineinander umzuwandeln. Der Begriff der Potenz ist bekannt, damit die Schülerinnen und Schüler in der Lage sind, die Zahlen mithilfe von Zehnerpotenzen richtig darzustellen.

Wie ist die Unterrichtseinheit aufgebaut?

Die vorgestellten Unterrichtsmaterialien lassen sich entweder als komplette Unterrichtseinheit zum Arbeiten mit Größen oder in Form ausgewählter Materialien für einzelne Unterrichtsstun- den zu den verschiedensten Größen einsetzen.

Für jede Größenart ist der Aufbau der Materialien ähnlich angeordnet:

• Einführung der Größe und ihrer Einheiten (Folienvorlage)

• Die Einheitenumrechnung für die jeweilige Größe (Folienvorlage)

• Die Einheitentreppe für die jeweilige Größe (Arbeitsblatt)

• Weitere Aufgaben (Arbeitsblatt)

Die Materialien zu jeder Größenart sind auch für sich einzeln einsetzbar. Viele Beispiele und Arbeitsblätter lassen sich auch in andere Themen einbinden und vernetzen; etwa Themen wie das Rechnen mit gemeinen Brüchen und Dezimalbrüchen, die Bestimmung von Anteilen, der Umgang mit großen natürlichen Zahlen, die Multiplikation und Division mit 0 und die Potenzen.

Im Zusatzmaterial auf der CD-ROM 40 sind ergänzende Materialien für den Einstieg und Erläu- terungen zum Flächen- und Rauminhalt (Hohlmaß) enthalten.

1 vgl. https://s-media-cache-ak0.pinimg.com/originals/02/16/bf/0216bf29377ed1017cdd60d48f9966e8.jpg

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Auf einen Blick

Stunde 1–2 Anwendungsorientierter Unterrichtseinstieg

M 1 (FoV) Größen und ihre Einheiten

M 2 (Ab) Weitere Aufgaben für den Einstieg

Stunde 3–5 Die Größe „Geld“ und ihre Einheiten

M 3 (Fo) Die Einheiten für das „Geld“

M 4 (Ab) Die Einheitentreppe für „Geld“

M 5 (Ab) Geld-Einheiten

Stunde 6–9 Die Größe „Länge“

M 6 (FoV) Die Größe „Länge“

M 7 (FoV) Die Einheiten für die „Länge“

M 8 (FoV) Die Einheitentreppe für „Länge“

M 9 (Ab) Weiter treppauf und treppab

Stunde 10–12 Die Größe „Flächeninhalt“

M 10 (FoV) Die Einheiten für den „Flächeninhalt“

M 11 (FoV) Die Einheitentreppe für „Flächeninhalt“

M 12 (Ab) Weiter treppab und treppauf

Stunde 13–15 Die Größe „Rauminhalt“

M 13 (FoV) Die Einheiten für den „Rauminhalt“

M 14 (FoV) Die Einheitentreppe für den „Rauminhalt“ und das „Hohlmaß“

M 15 (Ab) Aufgaben für die Einheiten des „Rauminhalts“

Stunde 16–17 Vertiefung der Treppentechnik M 16 (Ab) Oben angekommen?

M 17 (Ab) Der Treppen-Test

Legende der Abkürzungen

Ab: Arbeitsblatt; Fo: Folie; FoV: Folienvorlage

Minimalplan

Oft ist die Zeit knapp.

Es können einzelne thematische Blöcke zu einer jeweiligen Größe ausgewählt werden, so- dass dann maximal vier Stunden abgedeckt werden. Für Wiederholungen in den Unter- richtssequenzen verschiedener Klassenstufen sind auch einzelne Materialien entsprechen- der Größen separat verwendbar.

Die Lösungen zu den Materialien finden Sie ab Seite 27.

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Zahlen und Größen • Beitrag 58 Größen und ihre Einheiten 5 von 30 I

M 1 Größen und ihre Einheiten

Einstieg

Früher wurde eine Reise mit der Anzahl der dafür benötigten Tage angegeben.

Die Geschwindigkeit von schnellen Tieren wurde mit der Geschwindigkeit des Windes oder eines abgeschossenen Pfeils verglichen.

Bis heute werden Getränke- und Essensmengen mit der entsprechenden Menge von Gläsern, Flaschen und Teller bzw. Töpfen gemessen. Allerdings erreicht man ein genaueres Ergebnis, wenn man sie in Liter und ihren Gehalt beziehungsweise Brennwert mit Kalorien angibt.

Abgrenzung

Die folgenden Sätze enthalten keine Einheiten, sondern Wörter, die wie die Einheiten funktio- nieren:

• Ich habe zwei Geschwister, eine ältere Schwester und einen jüngeren Bruder.

• In meiner Klasse sind 15 Mädchen und 13 Jungen.

Alltag

Im Alltag benutzen wir viele Größen und Einheiten. Sie dienen der genauen Beschreibung der Eigenschaften (Merkmale) von Personen, Gegenständen, Planeten und der Natur im All- gemeinen.

Sogar bei einfachen Gesprächen werden viele Größen und einige ihrer Einheiten häufi g verwendet:

• Immer, wenn Ella ihre Oma besucht, bekommt sie 10 € Taschengeld.

• Jeden Tag wacht Ali um 6 Uhr auf.

• Emily wiegt 45 kg.

• Colin ist 150 Zentimeter groß.

• Unsere Wohnung ist 70 Quadratmeter groß.

• Jeden Tag trinkt Laurel mindestens einen Liter Wasser.

• Gestern hatte Felicitas Fieber, ihre Körpertemperatur war 38 °C.

• Der Gepard ist so schnell wie ein Auto auf der Autobahn, er kann bis 120 Kilometer pro Stunde laufen.

Formale Defi nition

In vielen Bereichen der Naturwissenschaften – von der Chemie über die Biologie bis zur Phy- sik – werden Größen und ihre Einheiten defi niert und angewandt. Einheiten und Größen sind ebenfalls fester Bestandteil in den Gesellschaften (Geschichte, Wirtschaftswissenschaften, … etc.) und sogar im Sport. In den neuen Wissenschaften, wie der Informationstechnik, werden neue Einheiten für die verwendeten Größen benannt: Die Datenmenge und die Speicherkapa- zität werden in der Regel mit Byte (Kilobyte, Megabyte, Gigabyte und Terabyte) angegeben.

Defi nition:

Die Größe ist eine messbare Eigenschaft (Merkmal) einer Menge oder eines Körpers. Die zugehörigen Einheiten beschreiben diese Eigenschaft in verschiedenen Kategorien.

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M 4 Die Einheitentreppe für das „Geld“ – rund um den Euro

Beispiele

a) Rechne Euro in Cent um (Treppe herunterkommen).

3 € = 3 · 100 ct = 300 ct 17 € = 17 · 100 ct = 1 700 ct

1 2 € = 1

2 · 100 ct = 100

2 ct = 50 ct 67,99 € = 67,99 · 100 ct = 6 799 ct

b) Rechne Cent in Euro um (Treppe hochkommen).

400 ct = 400 : 100 € = 4 € 8 000 ct = 8 000 : 100 € = 80 € 15 000 ct = 15 000 : 100 € = 150 € 1 Mio. ct = 1 000 000 : 100 € = 10 000 € Aufgabe

a) Rechne die Werte in die angegebene Einheit um.

3 ct = ___€ 99 ct = ___€

50 ct = ___€ 1, 23 € = ___ct 1

4 € = ___ct 1 Mrd. ct = ___€

b) Ergänze die fehlenden Stufenwerte der nächsten Treppen.

Die Einheitentreppe für das „Geld“ – rund um den Euro M 4

Beispiele

a) Rechne Euro in Cent um (Treppe herunterkommen).

3 € = 3 · 100 ct = 300 ct 17 € = 17 · 100 ct = 1 700 ct

1

2 € = ¹₂ · 100 ct = ¹⁰⁰₂ ct = 50 ct 67,99 € = 67,99 · 100 ct = 6 799 ct

b) Rechne Cent in Euro um (Treppe hochkommen).

a) Rechne die Werte in die angegebene Einheit um.

3 ct = ___€ 99 ct = ___€

50 ct = ___€ 1, 23 € = ___ct 1

4 € = ___ct 1 Mrd. ct = ___€

b) Ergänze die fehlenden Stufenwerte der nächsten Treppen.

Die Einheitentreppe für das „Geld“ – rund um den Euro M 4

Beispiele

a) Rechne Euro in Cent um (Treppe herunterkommen).

3 € = 3 · 100 ct = 300 ct 17 € = 17 · 100 ct = 1 700 ct

1 2

€ =

¹

2

· 100 ct =

¹⁰⁰

2

ct = 50 ct 67,99 € = 67,99 · 100 ct = 6 799 ct

b) Rechne Cent in Euro um (Treppe hochkommen).

400 ct = 400 : 100 € = 4 € 8 000 ct = 8 000 : 100 € = 80 € 15 000 ct = 15 000 : 100 € = 150 € 1 Mio. ct = 1 000 000 : 100 € = 10 000 €

Aufgabe

a) Rechne die Werte in die angegebene Einheit um.

3 ct = _€ 99 ct = _€

50 ct = _€ 1, 23 € = _ct

1

4

€ = _ct 1 Mrd. ct = _€

b) Ergänze die fehlenden Stufenwerte der nächsten Treppen.

Die Einheitentreppe für das „Geld“ – rund um den Euro M 4

Beispiele

3 € = 3 · 100 ct = 300 ct 17 € = 17 · 100 ct = 1 700 ct

1 2 € = ¹

2 · 100 ct = ¹⁰⁰

2 ct = 50 ct 67,99 € = 67,99 · 100 ct = 6 799 ct

3 ct = ___€ 99 ct = ___€

50 ct = ___€ 1, 23 € = ___ct 1

4 € = ___ct 1 Mrd. ct = ___€

Die Einheitentreppe für das „Geld“ – rund um den Euro M 4

Beispiele

3 € = 3 · 100 ct = 300 ct 17 € = 17 · 100 ct = 1 700 ct

1

2 € = ¹₂ · 100 ct = ¹⁰⁰₂ ct = 50 ct 67,99 € = 67,99 · 100 ct = 6 799 ct

3 ct = ___€ 99 ct = ___€

50 ct = ___€ 1, 23 € = ___ct 1

4 € = ___ct 1 Mrd. ct = ___€

Euro: wikipedia.de

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M 6 Die Größe „Länge“ – von der Ameise zum Fußballfeld

Beispiel

Seit dem ersten Schuljahr verwendet jede Schülerinnen und jeder Schüler ein Lineal, um gerade Linien und Strecken mit bestimmten Längen zu zeichnen. Dabei lassen sich bereits Längen messen und in Millimeter oder Zentimeter angeben.

Ordne die Gegenstände den passenden Längen und Längeneinheiten, die in der unten stehenden Tabelle ablesbar sind, zu.

40 RAAbits Realschule Mathematik August 2018

Die Größe „Länge“ – von der Ameise zum Fußballfeld M 6

Beispiel

Seit dem ersten Schuljahr verwendet jede Schülerinnen und jeder Schüler ein Lineal, um gerade Linien und Strecken mit bestimmten Längen zu zeichnen. Dabei lassen sich bereits Längen messen und in Millimeter oder Zentimeter angeben.

Ordne die Gegenstände den passenden Längen und Längeneinheiten, die in der unten stehenden Tabelle ablesbar sind, zu.

Q uel le: Q uel le: Q uel le:

Die Länge ist 3 m. Die Länge ist 2 dm. Die Länge ist 65 km.

Q uel le: Q uel le:

Die Länge ist 1 dam. Die Länge ist 1 hm.

Q uel le: Q uel le:

Die Länge ist 5 mm. Die Länge ist 1 cm.

Einheiten Kilo- meter

Hekto- meter

Deka-

meter Meter Dezi- meter

Zenti- meter

Milli- meter

Abkürzungen km hm dam m Dm cm mm

Umrechnungs- werte

1 km 10 hm =

1 hm 10 dam =

1 dam 10 m =

1 m 10 dm =

1 dm 10 cm =

1 cm 10 mm =

Die Länge ist 3 m. Die Länge ist 2 dm.

Die Größe „Länge“ – von der Ameise zum Fußballfeld M 6

Beispiel

Seit dem ersten Schuljahr verwendet jede Schülerinnen und jeder Schüler ein Lineal, um gerade Linien und Strecken mit bestimmten Längen zu zeichnen. Dabei lassen sich bereits Längen messen und in Millimeter oder Zentimeter angeben.

Ordne die Gegenstände den passenden Längen und Längeneinheiten, die in der unten stehenden Tabelle ablesbar sind, zu.

Q uel le: Q uel le: Q uel le:

Q uel le: Q uel le:

Hekto- meter

Deka-

Zenti- meter

Milli- meter

Umrechnungs- werte

1 km 10 hm =

1 hm 10 dam =

1 dam 10 m =

1 m 10 dm =

1 dm 10 cm =

1 cm 10 mm =

Die Länge ist 65 km.

Die Größe „Länge“ – von der Ameise zum Fußballfeld M 6

Beispiel

Seit dem ersten Schuljahr verwendet jede Schülerinnen und jeder Schüler ein Lineal, um gerade Linien und Strecken mit bestimmten Längen zu zeichnen. Dabei lassen sich bereits Längen messen und in Millimeter oder Zentimeter angeben.

Ordne die Gegenstände den passenden Längen und Längeneinheiten, die in der unten stehenden Tabelle ablesbar sind, zu.

Q uel le: Q uel le: Q uel le:

Q uel le: Q uel le:

Hekto- meter

Deka-

Zenti- meter

Milli- meter

Umrechnungs- werte

1 km 10 hm =

1 hm 10 dam =

1 dam 10 m =

1 m 10 dm =

1 dm 10 cm =

1 cm 10 mm =

Die Länge ist 5 mm.

Die Größe „Länge“ – von der Ameise zum Fußballfeld M 6

Beispiel

Seit dem ersten Schuljahr verwendet jede Schülerinnen und jeder Schüler ein Lineal, um gerade Linien und Strecken mit bestimmten Längen zu zeichnen. Dabei lassen sich bereits Längen messen und in Millimeter oder Zentimeter angeben.

Ordne die Gegenstände den passenden Längen und Längeneinheiten, die in der unten stehenden Tabelle ablesbar sind, zu.

Q uel le: Q uel le: Q uel le:

Q uel le: Q uel le:

Hekto- meter

Deka-

Zenti- meter

Milli- meter

Umrechnungs- werte

1 km 10 hm =

1 hm 10 dam =

1 dam 10 m =

1 m 10 dm =

1 dm 10 cm =

1 cm 10 mm =

Die Länge ist 1 cm.

Hekto- meter

Deka-

Zenti-

meter Millimeter

Umrech- nungswerte

1 km

= 10 hm

1 hm

= 10 dam

1 dam

= 10 m

1 m

= 10 dm

1 dm

= 10 cm

1 cm

= 10 mm

Quelle: Google Maps

Quelle: Terry Vine/ Blend Images Quelle: wikipedia

Quelle: wikipedia Quelle: wikipediaQuelle: Peter Cade/ Digital Vision Quelle: artisteer/iStock