Physikalische Grundlagen von Solar- und Windenergie

Physikalische Grundlagen von Solar- und Windenergie

beschafft aus Studiengeb¨uhren

Vorbereitung Solarenergie:Halbleiter: n-Leitung, p-Leitung, Funktions- weise von Solarzellen, U-I-Kennlinie (Kurzschlussstrom, Leerlaufspannung, F¨ullfaktor).

Vorbereitung Windenergie: Drehbewegung, Drehmoment, Induktions- gesetz, Generator, Energie/Leistung im Wind, Betzsches Gesetz, typische Windgeschwindigkeiten in Deutschland, Potenzgesetz von Hellmann.

Literatur:

• Standard-Lehrb¨ucher der Experimentalphysik, z.B. Gerthsen, Vogel:

Physik, Springer-Verlag;

• Bergmann, Sch¨afer: Experimentalphysik Band 2 (9. Auflage), de Gruyter- Verlag;

• Bergmann, Sch¨afer: Experimentalphysik Band 6 (2. Auflage), de Gruyter- Verlag.

• Informationen im Internet

1 Grundlagen der Solarenergie

In diesem Versuchsteil werden relevante physikalische Grundlagen zur Strom- erzeugung durch Solarzellen demonstriert:

U-I-Kennlinie (Leerlaufspannung, Kurzschlussstrom, F¨ullfaktor), erzeug- te elektrische Leistung abh¨angig vom Lastwiderstand, Temperaturabh¨angig- keit der Leistung, Wirkungsgrad, Serienschaltung von Solarzellen (Proble- matik des Abschattungseffekts einzelner Zellen, Bypass-Diode), Einstrahl- winkel.

Prinzip von Solarzellen:

Solarzellen bestehen in der Regel aus einem pn- ¨Ubergang: Dabei werden eine p- und eine n-dotierte Halbleiterschicht in Kontakt gebracht. Elektro- nen aus dem n-Gebiet und L¨ocher aus dem p-Gebiet rekombinieren im Kon- taktbereich und es entsteht dadurch eine ladungstr¨agerarme, hochohmige Zone und aufgrund des Wanderns der Elektronen in die p-Schicht und der L¨ocher in die n-Schicht in dieser Zone eine Raumladung, und damit verbun- den ein elektrisches Feld. F¨allt auf eine Solarzelle elektromagnetische Strah- lung (Photonen), deren Energie mindestens so groß ist wie die Bandl¨ucke im Halbleitermaterial, wird das Photon absorbiert, und Elektronen aus den

Valenzband in das Leitungsband angehoben, es entsteht dadurch in der Ver- armungszone eine Elektron-Loch-Paar (innerer Photoeffekt). Das erzeugte Elektron-Loch-Paar wird aufgrund des elektrischen Feldes in der Raumla- dungszone getrennt, es entsteht der sogenannte Photostrom. Der typische Aufbau und die Abl¨aufe in einer Solarzelle sind in Abbildung 1 dargestellt.

Das Ersatzschaltbild f¨ur eine reale Solarzelle zeigt Abbildung 2: Der pn-

Abbildung 1: Schematischer Aufbau einer Solarzelle beschaltet mit Lastwi- derstand

Ubergang wird durch eine Diode charakterisiert, der parallel ein Widerstand¨

Abbildung 2: Ersatzschaltbild einer Solarzelle

R_p geschaltet ist und in der Zelle auftretende Leckstr¨ome durch Kristallfeh- ler ber¨ucksichtigt; der serielle Widerstand R_S beschreibt den Spannungs- abfall durch Ohmsche Verluste im Halbleitermaterial und den Kontakten.

Der durch den Lichteinfall erzeugte Photostrom I_ph teilt sich dabei auf in einen Strom I_D durch die Diode, einen Strom I_P durch den Parallelwider- stand und den Ausgangsstrom I, also I = I_ph−I_D −I_P. F¨ur den Strom durch eine Diode gilt: ID = I0

e^e0kTUD −1

(Diodenkennlinie), dabei sind I0 der S¨attigungssperrstrom der Diode, U_D die an der Diode anliegende Spannung, e0 die Elementarladung, k die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur der Solarzelle. F¨ur die Spannung U_D gilt (Maschen- regel):U_D = U +IR_S, dabei ist U die Ausgangsspannung. Typischerweise ist der ParallelwiderstandRP wesentlich gr¨oßer als der Durchlasswiderstand der Diode und kann vernachl¨assigt werden (d. h.I_P = 0). Als U-I-Kennlinie der Solarzelle ergibt sich damit:

I =I_ph−I0

e^e0(U+kTIRS) −1

(1) F¨ur eine ideale Solarzelle, bei der auch noch der serielle Widerstand R_S vernachl¨assigt wird, gilt folgender Zusammenhang zwischen Ausgangsstrom I und Ausgangsspannung U:

I =I_ph−I0

e^ekT0U −1

(2) Messung des Wirkungsgrads:

Zur realistischen Bestimmung des Wirkungsgrads der Solarzellen w¨are es n¨otig die Solarzellen mit einem Strahlungsspektrum zu beleuchten, das dem der Sonne nach Durchlaufen der Erdatmosph¨ahre entspricht. Aus prakti- schen Gr¨unden wird in diesem Versuch kein Sonnenspektrum dazu verwen- det, sondern ein Strahler. Die Beleuchtungsst¨arke E (Einheit: 1 Lux = 1 lx), die dadurch am Ort der Solarzellen erzeugt wird, misst man mit ei- nem Luxmeter (enth¨alt als Sensor eine Photodiode). Zur Bestimmung des Wirkungsgrads (Quotient aus erzeugter elektrischer Leistung und einfallen- der Strahlungsleistung η = _P^Pelektrisch

Strahlung) wird die Strahlungsleistung des auf die Zelle einfallenden Lichtes ben¨otigt. Eine Umrechnung zwischen der pho- tometrischen Strahlungsgr¨oße Beleuchtungsst¨arke, die die spektrale Emp- findlichkeit des menschlichen Auges V(λ) enth¨alt, und der physikalischen Gr¨oße Strahlungsleistung/Fl¨ache Φtot h¨angt von der spektralen Verteilung der Strahlungsleistung Φ(λ) ab und ist durch folgendes Integral gegeben:

E=K Z

Φ(λ)V(λ)dλ

Die Konstante K hat dabei einen Wert von 683 lx/(W/m²). Die gesamte Strahlungsleistung pro Fl¨ache ist gegeben durch Φtot = ^RΦ(λ)dλ. Da das Emissionsspektrum Φ(λ) der verwendeten Lichtquelle nicht exakt bekannt ist, wird n¨aherungsweise ein Schwarzk¨orperspektrum der Temperatur 3400 K angenommen. Wird damit und unter Verwendung der Empfindlichkeit V(λ) das Integral ausgef¨uhrt, ergibt sich E = K_{ef f}Φ_tot, mit K_{ef f} = 100 lx/(W/m²).

2 Grundlagen der Windenergie

In diesem Versuchsteil werden relevante physikalische Grundlagen zur Strom- erzeugung durch Windenergie demonstriert:

Abh¨angigkeit der erzeugten Spannung von der Rotordrehzahl, Einfluss vom elektrischen Lastwiderstand auf Drehzahl, erzeugte Spannung und ab- gegebene Leistung, Abh¨angigkeit der abgegebenen Leistung von der Wind- geschwindigkeit, Abh¨angigkeit der Rotordrehzahl und der abgegebenen Lei- stung vom Anstellwinkel zum Wind.

Leistung eines Windrades/Betzsches Gesetz:

Die in einer Luftstr¨omung enthaltene Energie/Leistung kann ¨uber die kinetische EnergieE_kin = ¹₂mv_wind² der Teilchen in der Str¨omung berechnet werden. Mit dem Massendurchsatzm=ρAvtdurch eine Querschnittsfl¨ache Asenkrecht zur Str¨omung ergibt sich:

E_wind= 1

2ρAv_windtv_wind² (3)

bzw. f¨ur die LeistungP_wind = ^dE_dt: P_wind= 1

2ρAv_wind³ (4)

Eine Windkraftanlage kann jedoch dem Wind nicht die gesamte enthaltene Energie entziehen, da die Luft sonst hinter dem Rotor stehen m¨usste und nicht mehr abfließen kann. F¨ur die entnommene Energie bzw. Leistung gilt:

E =Evor−E_nach = ¹₂mv²_vor− ¹₂mv_nach² (vvor und v_nach sind die Geschwin- digkeiten des Windes vor und nach dem Rotor) bzw.

P = 1

2ρAvv²_vor−v_nach² = 1

4ρA(v_vor+v_nach)v_vor² −v²_nach, (5) dabei wurde als Geschwindigkeit v am Rotor der Mittelwert von vvor und v_nach(v= ¹₂(v_vor+v_nach)) angenommen. Um das Maximum zu bestimmen, wird Gleichung 5 nachv_nachabgeleitet, und man erh¨alt, dass die Windkraft- anlage dem Wind die maximale Leistung entzieht, wenn gilt:v_nach = ¹₃vvor

(Zeigen Sie dies schriftlich in der Vorbereitung!) Setzt man diese Geschwin- digkeit in Gleichung 5 ein, so erh¨alt man als maximal m¨ogliche Leistung eines Windrades (Betzsches Gesetz):

P_max = 16 27

1

2ρAv_vor³ (6)

In der Praxis wird man diesen Wert nicht erreichen, da Verluste aufgrund von Luftverwirbelungen und Reibung auftreten. Man f¨uhrt daher den Lei- stungsbeiwertc_p ein, der im Idealfall den Betzschen Wert ¹⁶₂₇ ≈0.59 besitzt, in der Praxis aber je nach Anlagentyp deutlich darunter liegt (c_p = 0.1...0.5):

P =c_p1

2ρAv³ (7)

Faradaysches Induktionsgesetz:

Die Erzeugung einer Spannung in einem Generator beruht auf dem Prin- zip der Induktion:

U_ind=−d dt

Z Bd ~~ A (8) Dreht sich eine Leiterschleife mit Querschnitt A in einem homogenen zeit- lich konstanten Magnetfeld der magnetischen FlussdichteB mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω, so gilt: ^R Bd ~~ A =BAsinωt. F¨ur U_ind ergibt sich damit:

U_ind=−d

dt(BAsinωt) =−BAωcosωt (9) Mechanisches/elektrisches Modell des Windrades:

Bei konstanter Windgeschwindigkeit stellt sich ein Gleichgewicht der am Rotor wirkenden Drehmomente ein (d h. der Rotor l¨auft mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω), d. h. die Summe aller wirkenden Drehmomente ist Null:

Θ ˙ω=αv²−γω²− ε RL+Ri

ω² = 0 (10)

mit Θ Tr¨agheitsmoment,ω Winkelgeschwindigkeit,αv² antreibendes Dreh- moment aufgrund Windgeschwindigkeit v,γω² abbremsendes Drehmoment aufgrund Luftreibung des Rotors, _R ^ε

L+Riω² abbremsendes Drehmoment auf- grund Lenzscher Regel.

Motivation des Terms _R ^ε

L+Riω²:

Aufgrund der Lenzschen Regel wird durch den im Generator fließenden Strom eine die Bewegung hemmende Spannung induziert, die proportional zur zeitlichen ¨Anderung der Stromes ˙I ist. Der fließende StromI ergibt sich als GeneratorspannungU_inddividiert durch die Summe aus Innenwiderstand R_i des Generators und Lastwiderstand R_L; U_ind ist proportional ω (siehe Gleichung 9), die zeitliche Ableitung eines sinusf¨ormigen Stromes ebenfalls, damit wird ˙I proportionalω²,εist die Proportionalit¨atskonstante.

Aus Gleichung 10 ergibt sichω zu:

ω = v u u t

αv² γ+ _R ^ε

L+Ri

(11) Sind wir am Verlauf der Drehzahl bei konstanter Windgeschwindigkeit ab- h¨angig vom Lastwiderstand interessiert, dividieren wir Nenner und Z¨ahler durchγund f¨uhren die neuen Konstanten ˜α= ^αv_γ² und ˜ε= ^ε_γ ein, so erhalten wir:

ω= v u u t

˜ α 1 +_R ^ε˜

L+Ri

(12) Die am Lastwiderstand R_L (Verbraucher) abgegebenen elektrische Lei- stung kann aus Ersatzschaltbild 3 berechnet werden:

Abbildung 3: Ersatzschaltbild des Generator mit Innenwiderstand und Last- widerstand

Die am Lastwiderstand abfallende SpannungU ergibt sich aus der durch Induktion im Generator erzeugten SpannungU_q minus der am Innenwider- stand des Generator abfallenden SpannungU_i =IR_i, wobei I der fließende Strom ist, also

U =U_q−IR_i f¨urI gilt:

I = U_q R_L+R_i Damit ergibt sich die LeistungP zu:

P =U I =

Uq− Uq

R_L+R_iRi

Uq

R_L+R_i = U_q²R_L (R_L+R_i)²

Ber¨ucksichtigen wir, dass die induzierte SpannungU_q proportional zuω ist, so erhalten wir:

P = (α^′ω)²R_L

(R_L+R_i)² (13)

Windgeschwindigkeiten in Deutschland

Typische Windgeschwindigkeiten im langj¨ahrigen Jahresmittel in Deutsch- land sind in Abbildung 4 f¨ur eine Referenzh¨ohe von 10 m dargestellt. Die Windgeschwindigkeit nimmt jedoch mit zunehmender H¨ohe ¨uber Grund stark zu, umso st¨arker je unebener die Landschaft/Oberfl¨ache beschaffen ist. Beschrieben wird diese Zunahme durch das empirische Potenzgesetz von Hellmann:

v(h) =v0

h h0

a

(14)

mitv(h) Windgeschwindigkeit in der H¨ohehuber Grund,¨ v0 Windgeschwin- digkeit in der Referenz-H¨oheh0,aHellmann-Exponent. Der Hellmann-Expo- nent hat f¨ur die offene See den Wert 0.10, f¨ur flaches offenes Land etwa 0.15 und f¨ur bewaldetes Gebiet den Wert 0.28.

3 Versuchsdurchf¨ uhrung

I. Solarzellen

1. Messen Sie dieU-I- bzw. U-P-Kennlinie der Solarzelle, indem Sie gem¨aß Abbildung 1 den Lastwiderstand (der den elektrischen Verbrau- cher darstellt) variieren (0-200 Ω): Stellen Sie den Strahler in etwa 50 cm Abstand zur Solarzelle, betreiben sie den Strahler auf halber Lei- stung und verwenden Sie den L¨ufter zur K¨uhlung der Zelle; Starten sie Ihre Messungen erst etwa 10 min nach Einschalten von Lampe und L¨ufter, damit sich eine konstante Temperatur eingestellt hat (Die er- zeugte Leistung der Solarzelle ist temperaturabh¨angig, siehe Aufgabe 2). Nehmen Sie nun etwa 20 Messwertepaare (in sinnvollen Abst¨anden) f¨ur die am Lastwiderstand abfallende Spannung U und den Strom I durch den Lastwiderstand auf.

Auswertung:Tragen Sie I undP ¨uber die SpannungU auf. Bestim- men Sie die Leerlaufspannung und den Kurzschlussstrom und markie- ren Sie diese in Ihrem Diagramm. Bestimmen Sie den Punkt maximaler elektrischer Leistung und diskutieren Sie daraus resultierende Konse- quenzen f¨ur den praktischen Einsatz. Berechnen Sie den F¨ull-Faktor der Solarzelle und stellen Sie diesen auch graphisch im U-I-Diagramm dar.

zus¨atzlich Physiker/Mathematiker Bestimmen Sie aus Ihrer ge- messenen U-I-Kennlinie unter Verwendung des idealisierten Verlaufs (Gleichung 2) den PhotostromI_ph sowie den S¨attigungssperrstromI0

und zeichnen Sie den daraus resultierenden erwarteten Verlauf in Ihr Diagramm. Geben Sie Gr¨unde f¨ur die Abweichung von Messung und theoretischem Verlauf an.

2. Messen Sie die Abh¨angigkeit der von der Solarzelle erzeugten Lei- stung von der Temperaturim Bereich des Punktes maximaler Lei- stung aus Aufgabe 1 (Aufbau wie in 1): Lassen Sie zun¨achst den L¨ufter bei abgeschaltetem Strahler einige Minuten laufen; schalten Sie nun den Strahler an, messen Sie die Temperatur der Solarzelle an einer be- stimmten Stelle, sowie I undU. Schalten Sie nun den L¨ufter aus und messen Sie in m¨oglichst schneller Abfolge (zun¨achst etwa jede Minute ein Messpunkt, wenn sich die Temperatur langsamer ¨andert etwa alle

5 Minuten, insgesamt etwa 10 Messpunkte; Temperaturbereich etwa 25 - 45^◦C).

Hinweis: Die von Ihnen gemessene Temperatur kann teilweise stark schwanken, wenn Sie nicht an derselben Stelle und unter demselben Winkel messen; falls ein offensichtlich unsinniger Messwert auftritt (z. B. ein Temperatursprung um mehr als 5^◦C oder sogar eine Tem- peraturabnahme), wiederholen Sie die Temperaturmessung.

Auswertung:Tragen Sie die elektrische Leistung der Solarzelle ¨uber der Temperatur auf. Bestimmen Sie aus einem Geraden-Fit den Tem- peraturkoeffizienten (prozentuale ¨Anderung pro ^◦C). Vergleichen Sie mit Literaturwerten. Diskutieren Sie das Ergebnis im Hinblick auf den praktischen Einsatz von Solarzellen.

3. Messen Sie die Abh¨angigkeit der erzeugten elektrischen Leistung vom Einfallswinkelder Strahlung im Punkt maximaler Leistung aus Aufgabe 1 in 10^◦-Schritten von 90^◦ (senkrechter Einfall) bis 0^◦ (strei- fender Einfall). Schalten Sie dazu den Strahler auf halbe Leistung und den L¨ufter an und warten Sie einige Minuten, bis sich eine konstante Temperatur eingestellt hat.

Auswertung: Tragen Sie die abgegebene elektrische Leistung ¨uber den Einfallswinkel auf und zeichnen Sie den theoretisch erwarteten Verlauf ein. Was ist der Grund f¨ur die beobachtete Abweichung bei flachen Einfallswinkeln?

Diskutieren Sie die Auswirkung der Winkelabh¨angigkeit im prakti- schen Einsatz von Solarzellen: Berechnen sie dazu den Effekt auf die er- zeugte Leistung, wenn das Solarmodul st¨andig der Sonne nachgef¨uhrt wird (senkrechter Einfall) bzw. alle Einfallswinkel zwischen 0 und 90^◦ gleichverteilt auftreten (grobe N¨aherung).

4. Sch¨atzen Sie den Wirkungsgrad der Solarzelle ab: Messen Sie da- zu vor der Solarzelle mit dem Luxmeter die Beleuchtungsst¨arke E;

verwenden Sie dazu die vier verschiedenen Einstellungen des Luxme- ters (Umschaltung mit Source), bei denen ein unterschiedliches Spek- trum der Lichtquelle (Sonnenlicht, Leuchtstoffr¨ohre, Hg-Lampe, Na- Dampflampe) angenommen wird: Bilden Sie den Mittelwert und neh- men Sie die Standardabweichung als Maß f¨ur den systematischen Feh- ler. Berechnen Sie daraus unter Verwendung des ZusammenhangsE = 100_W/m^lx ₂Φ_tot (s.o.) die pro Fl¨ache einfallende Strahlungsleistung Φtot, und unter Verwendung der in Aufgabe 1 gemessenen maximalen elek- trischen Leistung der Solarzellen den Wirkungsgrad. Die Fl¨ache der Solarzellen betr¨agt 24 cm². Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit Litera- turangaben.

Sch¨atzen Sie die von einer Solaranlage auf einem Hausdach (typische Gr¨oße 5 m x 10 m) durchschnittlich pro Jahr erzeugte elektrische Energie unter folgenden Annahmen ab: Sonneneinstrahlung mittags im Sommer: 1kW/m², im Winter 0.4kW/m² (mitteln!); ber¨ucksichtigen Sie den Effekt der unterschiedlichen Einfallswinkel aus Aufgabe 3; die mittlere Sonnenscheindauer in Deutschland betr¨agt etwa 2000h/Jahr;

ber¨ucksichtigen Sie den Wirkungsgrad von Solarzellen. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem typischen Verbrauch eines Haushalts (3000 - 4000 kWh/Jahr); Diskussion!

5. Effekt derAbschattung einzelner Solarzellen: Verwenden Sie nun wieder den Strahler (halbe Leistung, L¨ufter an) und schalten Sie zwei Solarzellen hintereinander. Bestimmen Sie die Leerlaufspannung sowie den Kurzschlusstrom und vergleichen Sie mit Aufgabe 1 (Erkl¨arung!).

Stellen Sie jetzt den Lastwiderstand so ein, dass eine Spannung von etwa 0.8 V geliefert wird. Messen Sie den Strom und bestimmen Sie die Leistung. Decken Sie nun eine der Zellen ab. Wie ver¨andert sich die erzeugte elektrische Leistung (Erkl¨arung!)?

Schalten Sie nun eine Diode (sogenannte Bypass-Diode) parallel zur abgedeckten Zelle (auf richtige Polung achten!). Was beobachten Sie nun? Diskutieren sie die Konsequenzen f¨ur den technischen Einsatz von hintereinandergeschalteten Solarzellen in Solarmodulen.

II. Windenergie

6. Messen Sie f¨ur den 4-Blatt-Rotor in einem Abstand von 10 cm vom Gebl¨ase die durch den Generator erzeugte Leerlaufspannung U_leer (Lastwiderstand RL maximal stellen) abh¨angig von der Drehzahl des Rotors, indem Sie die Windgeschwindigkeit, d. h. die Spannung am L¨ufter variieren. Beginnen Sie dabei bei 12 V und verringern Sie dann die Spannung, nehmen Sie etwa 10 Messpunkte auf.

Auswertung:Tragen SieU_leer uber die Winkelgeschwindigkeit¨ ω des Rotors auf und bestimmen Sie die Steigung α^′ durch einen Geraden- Fit; aus dem Induktionsgesetz erwartet man (vgl. Gleichung 9):U_leer = α^′ω

7. Messen Sie f¨ur denselben Aufbau wie in Aufgabe 6 f¨ur eine L¨ufter- spannung von 12 V die Abh¨angigkeit der Drehzahl sowie die abge- gebene elektrische Leistung (Drehzahl f, sowie U und I messen) f¨ur verschiedene Lastwiderst¨ande R_L, die den elektrischen Ver- braucher an der Anlage darstellen. Hinweis: Beginnen Sie bei großem Lastwiderstand und veringern Sie diesen (etwa 20 Datenpunkte).

Auswertung:Tragen Sie die Frequenzωund die erzeugte LeistungP

¨uber den Lastwiderstand auf. Beschreiben und erkl¨aren Sie den Ver- lauf!

zus¨atzlich Physiker/Mathematiker Bestimmen Sie aus dem Ver- lauf der Drehzahl anhand von Gleichung 12 die Konstanten ˜α und

˜ ε:

˜

α erhalten Sie f¨ur große Lastwiderst¨ande als ˜α =ω²∞. Bestimmen Sie

˜

ε, inden Sie _ω^α˜2 −1 ¨uber _R ¹

L+Ri (der InnenwiderstandR_i betr¨agt etwa 18 Ω) auftragen; Sie erhalten dann durch einen Geradenfit im Bereich kleiner _R ¹

L+Ri die Konstante ˜ε als Steigung der Gerade. Verwenden Sie die so bestimmten Werte von ˜α und ˜εund zeichnen Sie den damit erwarteten Verlauf der Drehzahl abh¨angig vom Lastwiderstand ein, und den nach Gleichung 13 (unter Verwendung von Gleichung 12 f¨ur ω) erwarteten Verlauf der Leistung, indem Sie den Wert von α^′ aus Aufgabe 6 verwenden.

8. Messen Sie f¨ur denselben Aufbau wie in Aufgabe 6 f¨ur eine L¨ufter- spannung von 12 V die Abh¨angigkeit der Drehzahl sowie die abge- gebene elektrische Leistung (Drehzahl f, sowie U und I messen) vom Winkel (0 -70 Grad, 10 Grad-Schritte) zwischen Rotor (Norma- lenvektor) und Luftstrom f¨ur R_L = 100 Ω. Tragen Sie Drehzahl und Leistung ¨uber den Winkel auf und zeichnen Sie den erwarteten Ver- lauf ein; beschreiben und erkl¨aren Sie den Verlauf. Diskutieren Sie die Konsequenzen f¨ur den technischen Einsatz von Windkraftanlagen zur Stromerzeugung.

9. Messen Sie f¨ur den 4-Blatt-Rotor die Abh¨angigkeit der erzeugtenLei- stung von der Windgeschwindigkeit. Der Aufbau ist wie in Auf- gabe 6; zun¨achst Windgeschwindigkeit an der Stelle des Rotors (Rotor dazu entfernen!) f¨ur verschiedene L¨ufterspannungen (7 - 12 V , 0.5 V -Schritte) messen. Verwenden Sie bei der Leistungsmessung als Lastwi- derstandR_L= 50 Ω (entspricht etwa dem Punkt maximaler Leistung aus Aufgabe 7) und variieren Sie die L¨ufterspannung von 12 - 7 V (0.5 V -Schritte).

Auswertung:Tragen Sie zun¨achst die gemessenen Windgeschwindig- keiten ¨uber die Spannung am L¨ufter auf und f¨uhren Sie einen Gera- denfit durch; verwenden Sie im folgenden zur Bestimmung der Wind- geschwindigkeit f¨ur eine bestimmte L¨ufterspannung die Fitgerade (wa- rum?). Tragen Sie die erzeugte elektrische Leistung ¨uber v³ auf. Be- stimmen Sie aus der Steigung (Geradenfit!) den Wirkungsgrad der Windanlage (ρ_{Luf t} = 1.2kg/m³, Rotordurchmesser 10 cm) und ver- gleichen Sie mit dem nach Betz maximal m¨oglichen Wert. Diskutieren Sie Gr¨unde f¨ur den deutlich kleineren Wirkungsgrad.

Sch¨atzen Sie unter Verwendung der Windkarte (Abbildung 4) ab, wie- viel mehr elektrische Energie die gleiche Windanlage im Jahresmittel an der Nordseek¨uste erzeugt, verglichen mit typischem Binnenland (z. B. Nordbayern, Waldgebiet)? Verwenden Sie dazu sowohl die typi- schen Windgeschwindigkeiten in einer Referenzh¨ohe von 10 m, als auch als realistischere Absch¨atzung in 100 m H¨ohe (Benutzen Sie dazu das Potenzgesetz von Hellmann). Sch¨atzen Sie die pro Jahr maximal er- zeugte elektrische Energie einer 100 m hohen (Nabenh¨ohe) Windanlage (Rotordurchmesser 70 m, idealen Wirkungsgrad nach Betz annehmen) an der Nordsee ab und vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem typischen Verbrauch eines Haushalts (3000 - 4000 kWh/Jahr); Diskussion!

Abbildung 4: Windkarte Deutschland (10 m H¨ohe), c Deutscher Wetter- dienst, Offenbach