Stochastische Integration und Finanzmathematik

Stochastische Integration und Finanzmathematik

Vorlesung: Prof. Dr. Thorsten Schmidt Übung: Wahid Khosrawi-Sardroudi

http://www.stochastik.uni-freiburg.de/lehre/SS-2016/VorStochIntFinSS2016

Übung 9

Abgabe: 28.06.2016 zu Beginn der Vorlesung.

Aufgabe 1 (8 Punkte). Sei b≥0, β∈Rund σ >0. Betrachten Sie die SDE dX = (b+βX)dt+σ√

XdW, X(0) =x₀ >0, mit Brown'scher BewegungW. Deniere fürc≥0die Stoppzeit

τ_c= inf{t≥0|X(t) =c}.

Entsprechend ist {τ₀ = ∞} das Ereignis, dass X die Null nicht trit. Ziel dieser Übung ist es die folgenden Aussagen zu zeigen:

(a) Istb≥ ^σ₂², dann istP(τ₀ =∞) = 1.

(b) Ist b < ^σ₂² und β≤0, dann istP(τ₀<∞) = 1. (c) Istb < ^σ₂² und β >0, dann istP(τ₀<∞)∈(0,1). Gehen Sie wie folgt vor:

• Denieren Sie die Funktion

f(x) = Z x

1

e⁻

2β σ2y

y^−σ2b2dy, x≥0, und zeigen Sie dassf(X) ein Lokalmartingal ist.

• Sei0< r < x₀ < R, und denieren Sie die Stoppzeitτ_r,R =τ_r∧τ_R. Zeigen Sie dass f(X(t∧τ_r,R))−f(x₀) =

Z t

0

f⁰(X(s))σp

X(s)1{s≤τ_r,R} dW(s), t≥0.

• Zeigen Sie dass es zwei Konstanten M1, M2>0gibt die unabhängig vontsind für die gilt M1 ≥E

(f(X(t∧τr,R))−f(x0))²

≥M2E[t∧τr,R]. Hinweis: Zeigen Sie σ²xf⁰(x)²≥M2 für alle x≥r.

Folgern Sie E[τr,R]<∞und damit τr,R <∞ fast sicher.

• Zeigen Sief(x₀) =E[f(X(t∧τ_r,R))] =E[f(X(τ_r,R))]. Hinweis: Zeigen Sie f(X(t∧τ_r,R)) ist ein Martingal und nutzen Sie den Satz über die Majorisierte Konvergenz.

Zeigen Sie nun die Identität

f(x₀) =f(r)P(τ_r< τ_R) +f(R)P(τ_r > τ_R).

Bitte wenden

• Nutzen Sie monotone Konvergenz und die Stetigkeit vonX um

r→0limP(τr< τ_R) =P(τ0 < τ_R),lim

r→0P(τr > τ_R) =P(τ0 > τ_R), τ_R↑ ∞ für R↑ ∞ zu zeigen. Sie dürfen annehmen, dass X eine eindeutige starke globale (für alle t≥0) Lösung hat.

• Nehmen Sieb≥ ^σ₂² an. Zeigen Sie limr→0f(r) =−∞. Folgern Sie (a).

• Nehmen Sieb < ^σ₂² an. Zeigen Sie f(0) = limr→0f(r) existiert in R, und

R→∞lim f(R) =

(=∞, fallsβ ≤0

∈R, fallsβ >0.

Folgern Sie (b) und (c).

Aufgabe 2 (4 Punkte). Wir betrachten ein doppelt stochastisches Kredit-Ausfall-Modell mit (G_t)-Brown'scher BewegungW. Fürb≥0, σ >0undβ ∈R, sei der Intensitätsprozessλdeniert als die Lösung der SDE

dλ= (b+βλ)dt+σ√

λdW, λ(0) =λ₀ ≥0.

Bestimmen Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit P(τ ≤T|F_t).

Aufgabe 3 (4 Punkte). Bestimmen Sie die Characteristische Funktion des Prozesses X aus Aufgabe 1.