1
1.Übung
Finanzmathematik
Fachhochschule Lausitz Fachbereich I E M Prof. Dr. Dr. R.-R.Redetzky
Thema: Mathematische Grundlagen Folgen und Reihen
Verfasser: Michael Hirrich Robert Büßer
2
10. Berechnen Sie die Summe der geometrischen Reihe, die der Folge aus Übungsaufgabe 9 entspricht!
605
1 3
) 1 3
(
* 5 1
) 1
( 1 5 1
=
−
= −
−
=
−−
−Sn
q q Sn a
n Gegeben:
Lösung:
5 3
1
5
=
=
=
n
q
a
3
640 4
* 10
*
4
1 4 4
1 1
=
=
=
−
−
a a
q a
a n n
4 4
1 10
=
=
= n q a
11. Welchen Wert hat bei einer geometrischen Folge mit a1 = 10 und q = 4 das 4. Glied?
Gegeben: Lösung:
7
5 4375
*
1
1 5 1
5 5 1
1 1
=
=
=
=
−
−
−
a
q a a
q a
a n n
? 5
4375
1 5
=
=
= a q a
12. Eine geometrische Folge mit 5 Gliedern hat das Endglied a5 = 4375 und q = 5. Welchen Wert hat a1?
Gegeben: Lösung:
5
6
43122 ,
15 1 , 1
=
=
= n Sn q
2
1 1 , 1
) 1 1 , 1 (
* 43122 ,
15
1 1
*
* 1
1 1 6 1
1 1
=
−
= −
−
= −
= −
−a a
q q a Sn
q a q Sn
n n
13. Eine geometrische Reihe von 6 Gliedern mit q = 1,1 hat die Summe 15,43122. Welchen Wert hat a1?
Gegeben: Lösung:
6
DM a
a DM q
a a
n n73 , 456961
12 , 1
* / 24000
*
27
1 27 1
1
=
=
=
− −14. Ein deutscher Arbeiter hat im Jahr 1974 durchschnittlich 24000 DM pro Jahr brutto verdient. Angenommen, jemand versucht, eine konstante jährliche Lohnsteigerungsrate von 12% pro Jahr durchzusetzen.
a) Wie hoch währe das Bruttoeinkommen durchschnittlich im Jahre 2000?
Gegeben:
Lösung:
27 12 , 1
/ 24000
1
=
=
= n q
a
DM
a
7
b) Wann etwa würde der Arbeitnehmer ein durchschnittliches Bruttoeinkommen von 1 Mill DM verdienen?
Jahre a
n
a DM
a n DM
q a
n a
q a a
n n n
34 91
, 33
/ ) 24000
/ 1000000
ln(
ln 1
* 1 ) ln(
*
1 1 1
→
=
=
+
=
=
−Lösung:
15. Wie groß ist die Summe einer geometrischen Reihe mit a1=10, n=5 und q=0,5 ?
375 , 19
5 , 0 1
5 , 0
* 1 10
1
* 1
5 1
=
−
= −
−
= −
n n
n n
S S
q a q
S
Gegeben:
5 5 , 0
1
10
=
=
= n q
a
Lösung:9
16. Wie lautet das Anfangsglied einer geometrischen Reihe mit q=0,25 ; n=5 und der Summe 34100?
25600
25 , 0 1
25 , 0
* 1 34100
1
* 1 1
* 1
1 1 5 1
1
=
−
= −
−
= −
−
= −
a a
q S q
a
q a q
S
n n
n n
Gegeben: Lösung:
34100 5
25 , 0
=
=
= S
nn q
10
17. Wie lautet das Endglied einer geometrischen Reihe mit n=6 ,q=0,2 und der Summe 7812?
2
2 , 0
* 6250
* 6250 6250
2 , 0 1
2 , 0
* 1 1 7812
* 1 1
* 1 1
6
1 6 1
6 6
1 1 6
=
=
=
=
−
= −
−
= −
−
= −
−
−
a
q a
a
q Sn q
a
q a q
Sn
n n
Lösung:
Gegeben:
7812 6
2 , 0
=
=
= S
nn
q
11
18. Wie groß ist die Summe einer unendlichen, geometrischen Reihe mit 5 1 = a und 2 , 0 = q ?
25 , 6
2 , 0 1
* 1 5
1
* 1
1
=
= −
= −
n n n
S S
a q S
Gegeben: Lösung:
. 2 , 0
1
5
unendl n
q a
=
=
=
19. Bei einer öffentlichen Werbeveranstaltung wird dem Publikum eine Preisfrage gestellt, die auf einer Antwortkarte gelöst und abgegeben werden muss. Derjenige, der seine Karte mit der richtigen Lösung zuerst abgibt, erhält als Preis 500 €, der zweite erhält die Hälfte davon, der Dritte erhält wiederum die Hälfte des Betrages des zweiten Gewinners. Das besondere an diesem Gewinnspiel ist nach Aussage des Werbeleiters, dass jeder Teilnehmer etwas gewinnt und zwar genau die Hälfte des Gewinnes seines unmittelbaren Vorgängers. Wie viel Bargeld muss der Spielleiter für dieses Gewinnspiel zur Verfügung haben, um im Extremfall die Gewinnansprüche von unendlich vielen Mitspielern befriedigen zu können?
€ 1000
5 , 0 1
* 1
€ 5 500 , 0 1
* 1
1
=
= −
= − Sn
a Sn
Gegeben: Lösung:
5 , 0
.
1
