1 Klassische Finanzmathematik

1 Klassische Finanzmathematik 1.1 Einfache Verzinsung

1.2 Zinseszinsrechnung

Endwert

i = interrest = Zinsrate (Absolut- zahl)

n = (ganze) Perioden

Barwert ^{v = 1 / q}

(Abzinsungsfaktor)

Endwert bei gemischter, taggenauer Verzinsung

t1 / t2 = gebrochene Per.

am LFZ Anfang/ Ende n = ganze Perioden KA = Anfangskapital

EW bei relativer unter- jähriger Verzinsung ⁱ m

m = Anzahl der unterjährigen Perioden (Subperioden)

Endwert bei Augenblicks- verzinsung

wenn m ∞

Aufzinsen (auf Kt) t = Zeitpunkt; kann

auch gebrochene Zahl sein

Abzinsen (auf K0) (= Diskontieren)

Endwert – monatliche vor- schüssige Rente – nach 1 Jahr

r = mtl. Rentenzahlung i = Zinssatz p.a. (Absolutzahl)

Endwert – monatliche nachschüssige Rente – nach 1 Jahr

r = mtl. Rentenzahlung i = Zinssatz p.a. (Absolutzahl)

K K

i t

t

0 =1+ *

(

)

r

E= 12+6,5

(

)

r

E = 12+5,5

( )

K_t =K0 1+i*t

( )

K_n =K₀ 1+i ⁿ

K_n =K₀ *q^{n i}

= p

100 q= +1 i

( )

K K

i K

q K v

n n

n

n n

n

0 = 1

+ = = *

( ) ^{( )} ( )

K_E =K_A 1+i t* ₁ 1+i ⁿ⁻² 1+i*t₂

K K i

E m

m

m

( ) =  +

 



0 1

K_E =K₀ *eⁱ

Effektivverzinsung ( = Jahresrendite) bei unterjähriger Verzinsung

ieff > i

Umrechnung unterjähriger Zins ↔ Jahreszins

(äquivalente unterjährige Zinsrate i_m zu ip.a. ; mit Zinseszinseffekt)

i_m - Zinssatz bezogen auf Subperiode i_p.a. - Jahreszinssatz m - Subperioden

Zinsintensität i ^∗

(= kontinuierliche Verzinsung) i - Periodenverzinsung

i^* - kontinuierliche Verzinsung

Effektivverzinsung (p.a.) bei folg. unterjährigen Verzinsungen

(1) unterjähriger Verzinsg.

(2) Augenblicksverzinsung

(1) 1 < m < ∞ (2) m = ∞ m - Subperioden

Durchschnittsrendite ^(1.) K_n = ×F K0 =K0×qⁿ

(2.) F=qⁿ

(3.) q=ⁿ F

F = (Wachstums-) Faktor

1.3 Rentenrechnung

Endwert – nachschüssige

Rente r - Rentenzahlungen

i - Marktzinssatz (Absolutzahl) mit q = 1 + i

n - Perioden

Endwert – vorschüssige Rente

Barwert (allg.)

Barwert – nachschüssige Rente

1 1+ _{. .} −

=^m pa

m i

i

i_m <<i

( )

i^* =ln1+i i=e^i* −1

i^*<i

i i

eff m

m

= +

 

 −

1 1

( )

( ) 1

2 1

0 0

→ = −

→ = −

i K K

K

i e

eff E

eff i

(

)

.

._a = + _m ^m −

p i

i

E r q q

n q

vor

n

= −

* * − 1

1

B E

qⁿ

=

( )

B r q

q q

n nach

n

= n −

* −1

1

E r q

n q

nach

n

= −

* − 1

1

Barwert – vorschüssige Rente

Barwert – ewige Rente - nachschüssig -

Barwert – ewige Rente - vorschüssig -

( )

B r q

q q

n vor

n

= n −

−

* − 1

1 1

B r

q

r i

nach

∞ =

− = 1

B r q

q

r q i

vor

∞ = *− = *

1

2 Gegenwartswerte (= Barwert = Present Value = Kurs = Price)

2.1 Gegenwartswerte und Opportunitätskosten

DCF method

(discounted cash flow)

Investition durchführen wenn B > 0

IRR method

(Internal Rate of Return) (interner Zinsfuss)

Investition durchführen, wenn i > (Marktverzinsung +

Risikoprämie) (= Opportunitäts kosten)

Gegenwartswerte von konstanten Annuitäten

Ann.: nur Zinszahlung; keine Rückzahlung

Z = Zinszahlung

Gegenwartswerte von Annuitäten mit

Dynamisierungsfaktor

s = 1 + g Dynamisierungsfaktor q = 1 + i

Gegenwartswerte von Annuitäten mit

Dynamisierungsfaktor - unendliche Reihe -

nur für i > g sinnvoll bei i < g nur sinnvoll für endliche Reihe

Z = Zahlung (Annuität;

Zinsen bzw. Rente) B bei nachschüssigem Z

2.2 Gegenwartswerte von Anleihen (Bewertung von Anleihen)

allgemein:

„Kursformel Anleihe“:

- ganzjährige RestLFZ - alternative Schreibweise:

N - Nominalbetrag der Anleihe Z - (period.) Zahlungen n - Perioden

T - Rückzahlung (meist zu 100) p - Kupon (Nominalzins der Anleihe in %; z.B. p = 8 [%]) q - enthält Marktzins :

p_eff - Marktzins ( nicht Kupon !)

B Z

q

k k k

n

=

∑

Z q

k k k

n

∑

q= +1 i

B Z

q

Z

= − = i 1

B Z

q s q s q

n

n

= ×



 

 −

− 1 1

B Z

i g

∞ =

−

B Z

q N

k q

k n

= + n

∑

B q p q

q T

n

n

= −

− +



 



1 1

* 1

q p_eff

= +1

( )

B Z q

q q

T q

n

n n

= −

− +

* 1

1

„Kursformel Anleihe“:

- gebrochene RestLFZ -

a - gebrochene Periode (gem.

Usance)

Barwert

bei unterjährigen Zins- zahlungen

im - äquivalente unterjährige Zinsrate

qm = im + 1 m - Subperioden

K - Kupon pro (Haupt-)Periode n - (Haupt-)Perioden

2.3 Gegenwartswerte von Aktien (Bewertung von Aktien)

... unendlich viele Perioden

...

2 ...

2 1

0 = + + + _nⁿ +

q D q

D q P D

bei D1 = D2 = ... = Dn : BW unendl. Reihe:

Pi=Kurse zu Zeitpunkten i q enthält Kalkulations-

zinssatz

Di= Dividenden zu Zeit- punkten i

(D, P sind geschätzt da zukünftig)

... 1 Periode

... mit Wachstumsfaktor g = Wachstumsrate (Absolut-

zahl); g ∈ (0,1)

s = 1 + g (= Wachstumsfaktor)

3 Ermittlung der Effektivverzinsung / Rendite

3.1 Grundbegriffe

Laufende Verzinsung (current yield, interest yield, income yield, flat yield)

ic ist Näherung für Rendite

Einfache Verzinsung (simple yield to maturity)

isim ist Näherung für Rendite R = Rückzahlung

P = Kurs n = Restlaufzeit

B q p q iq

T q

a

n

n n

= −

 +

 



* 1

B K

m q

i q

T q

m n m

m m

n m m

= − n m

+

* *

*

* *

1

P P D

0 q

1 1

= +

P D

i g

0

= −1

i P₀ = D

i Kupon Kurs

Nom verzinsung Kapitaleinsatz

c = = .

P n

P Kupon R

i_sim

+ −

=

Rendite (Effektivver- zinsung)

(q i)

(1) 

 +

−

= −

= T

q p q q q

f P

n

n 1

* 1 ) 1

( P - Kurs (Preis), T - Tilg.

(2) f q( ) != 0 p - Kupon

(1) Lösung über numerisches NV möglich Newton.: Iteration von k = 0, 1, ... :

q0= Startwert

Umrechnung EffZi-Rate zwischen Basis 365 und 360

3.2 EffZi von Geldmarktpapieren (Diskontpapieren)

Effektivzinsrate

... von WP mit einmaliger Zinszahlung bei

Fälligkeit (eher selten)

P - price p - Stückzinsen (T - T1) = Haltedauer T1 - Bezugszeitpunkt des WP T - Zinstermin

Effektivzinsrate ... von WP ohne Zins- zahlung (Diskontpapiere:

Handelswechsel, Com- mercial Papers, Treasury Bills)

R - Rückzahlung P - Price (Kurs) t - gebrochene Periode gem. Usance: 30/360 od.

act/360

3.3 EffZi von Anleihen bei glatter Restlaufzeit

... bei jährlicher Zinsver- rechnung (fiktive Zins- zahlung)

n - ganze Perioden (LFZ) R - Rückzahlung

P - Price

... bei halbjährlicher Zinsverrechnung (fiktive Zinszahlung)

ie/m = relat. unterjährige Zinsrate

q q f q

f q

k k

k k

+ = −

′

1

( ) ( )

360

365 *

360 365 i i =

i

R P p T T

P p T T T

e = − + −

 +

 



−

* * ( )

* *

1 360

360 360

1

1 1

i R P

= P t−

*

P R

=1+i t* t∈( , )0 1







 −

=2 ² 1

. .

e n

P i R

a p

P R

i_e ⁿ

=

 +

 

1 

2

2

i R

e =n P −1

... allgemein bei unterjähriger Zinsver- rechnung (fiktiv)

m - Subperioden der fiktiven Zins- verrechnung

n - ganze Perioden (der LFZ)

... bei kontinuierlicher Zinsverrechnung

vgl. Zinsintensität

3.4 EffZi von Anleihen bei gebrochener Restlaufzeit

AIBD (ISMA) method - gebrochene LFZ -

- ganzzahlige LFZ -

P - Price (Kurs)

S - Stückzinsen (Richtung : 1 0 !)

n - Anzahl (ganzer) Perioden bei m Perioden p.a. : n*m f - gebrochene Periode

(Richtung : 1 0 !) m - Anz. der Kupons p.a.

p - Kupon der Periode

… Sonderfall : RLFZ < 1, d.h. n = 0

SIA method ^{ie = m * im}

C - Ganzjahreskupon

US Treasury method Umrechnung i_m (aus q) auf

Jahreszins:

Moosmüller wie US Treasury, anders: Umrechnung im (aus q) auf Jahreszins:



 −

= ^* 1

. .

n e m

P m R i pa

n P R i

i_eff



 





=

=

ln

*

P S R p

m q^f + =( + ) * 1

i

R C

m P S

P S

e = + − +

+

( )

i_e = +(1 i_m)^m−1

P S

i f p m

q

q q

R q

n

n n

+ = +

−

− +



 

 1 +

1

1 1

1

* *

( )

(

)

= m ^m

e i

i

m

e m i

i = *



 +

−

= −

+ ⁺ T

q q m

p q S q

P

n n

f 1

1 1

1 ¹



 + −

= ⁻

1

1 ¹

q q m T p P q

n n

Stückzinsen t - Zeitspanne zwischen letzter Kuponzahlung und Erwerbszeitpunkt

beachte Usance: t = 30/360, t = act/360, t = act/act N - Nominalbetrag

p - Kupon

3.5 Die Zinsstrukturkurve

3.5.1 Spot Rates und Forward Rates

Anleihenbewertung (Barwert, Preis) bei unterschiedlichen Spot Rates

Methode beachtet die Zinsstrukturkurve ges.: P ; geg.: p, ij

ij = Spot Rates (= Zinsrate von heute bis j, angeg. in p.a.) p = Kupon der zu bewertenden Anleihe

Spot Rate

(fristigkeitsabhängige Rendite)

Iteratives Verfahren : die Spot Rates für die verschiedenen Perioden 1 bis j können nur schritt- weise ermittelt werden i1 i2 ... ij

PV - Present Value (Barwert)

Rendite einer Anleihe (Effektivverzinsung)

ges.: q (bzw. i)

Lösung über num. NV (s.a. 3.1.[3])

Zerozinssatz (par (yield) rate)

künstlich konstruierter Zerobond

iteratives Verfahren

pt - Swap-Satz (Kupon) (der LFZ t) Summe dk - Summe der Diskontfak-

toren über alle Perioden k von 1 bis t-1

Diskontfaktoren ^it - Spot Rate

t - kann ganzzahlig oder gebrochen sein

p N t

S *

*100

=

i p

p d

t

t

t k

k t

t

= +

−

















−

=

∑

100 100

1

1 1

1

d^k = i_k ^k +

1 1

( )

P p

i

p i

p R i_n ⁿ

= + +

+ + + +

+ 1 ₁ (1 ₂)² ... 1

( )

P p q

p q

p qⁿ

= + + + +

2

... 100

d^t = i_t ^t +

1 1

( )

( )

i K T

PV K

i

j

t t

t t

j

j

= +

− +





















−

=

∑

1

1

Forward-Based- Interpolation

Spot Rates und Forward Rates

3.5.2 Spot Rates als Bewertungskriterium

( )

( )

i i

f i

k k

k

= + k

+











 −

















−

360 1 −

1 1

1 1

1 360

if1 if2 if3

, , , 0 1 2 3 is1

is2

is3

4 Finanzinnovationen

4.1 Forward Rate Agreement (FRA)

Forward-Zinssatz

… gebrochene Perioden (lineare Verzinsung;

meist bei n < 1) … ganze Perioden (geometrische Ver-

zinsung; meist bei n > 1)

… ganze Perioden (allgemein)

( )

i i

f i

s s 2

2 2

1 1

1

1 1

= +

+ −

( )

is - Spot Rate (der Periode 1 bzw. 2) if - Forward Zinssatz (gesucht) s - Vorlaufperiode (gebrochene Per.) t - Kreditperiode (gebrochene Per.) w - ganze Periode

Ausgleichszahlung

t - gebrochene Periode (gemäß Usance) N - Kredit-/ Anlagebetrag

4.2 Zinsswaps (Interest Rate Swaps (IRS))

Pricing eines Swaps (Festsatz eines Swaps p (Par Rate))

auflösen nach p (Swap-Satz)

4.3 Futures

i i s t

i s t

f

s s

= + +

+ −



 

 1

1 ₂ 1 1

1

( )

* *

is2

0 s w

is1 if2

t

( )

A

N t i i

i t

libor f libor

= −

+

* *

* 1

i i

f n i

s n n

s n ( ) n

( )

( )

( )

( )

= +

+ −

− −

1

1 1

1 1

A Kredit

s t

p d i

k d

k n

fs s

n

* _2* ! * * s

1 2

1

100 2

= =

∑

∑

5 Risikokennzahlen

5.1 Definition und Eigenschaften wichtiger Risikokennzahlen

5.1.1 Basis Point Value (BPV)

BPV (≈∆ P)

(Tangentenverfahren)

1 BP = 0,01% = 1/10.000

Z_k - Cash Flow’s (Zahlungsstrom) k = 1, ..., n (Perioden)

BPV bei unterjährigen (gebrochenen) Lauf- zeiten

k ∈ (0,1)

∆P mittels BPV BPV (≈∆ P) (Sekantenverfahren)

BPV eines Portfolios

5.1.2 Modified Duration

Modified Duration

alternative Form :

ModDur in [%]

P - Kurs

k - Zählvariable der PeriodenLFZ

∆P BPV dP ∆ di i

≈ = *

BPV i

k Z i

k k k

n

= −

+¹

∑

1 1

1 10000

1

* ( ) *

BPV_Portfolio =

∑

BPV P P

≈ ₂ − ₁ 2

∆P≈BPV

( )

( )

* * 1

1

i k

ik T k BPV i

+ + +

= −

100

* 1 ) 1 (

*

* 1

[%] 1

∑

+

= − ⁿ

k

k k

i P

Z k MD i

∆P

P ModDur dP di

BP

≈ = *100P

∑

= ⁿ

k k

k

q Z k P MD q

1

1 * 1* [%]

∆P/P mittels MD

Zinselastizität

∆i in %

Umrechnung BPV MD[%]

MD (=ModDur) in [%]

P - Ausgangskurs (vor Reaktion auf Zinsänderung)

MD eines PF

P

w_j = P^j = Gewichtsfaktoren MDj - ModDur der Einzeltitel

MD und Elastizität

5.1.3 Duration

1. Interpretation : Elastizität, Sensibilität

Duration und Elastizität ε - Elastizität

∆P mittels Duration i - urspr. Marktzins

∆i - Zinsänderung D - Duration P - urspr. Kurs

( ) ε

ε

= ′

= − P i i

P

P i

*

∆ *∆

000 . 10

*

[%] P

MD =−BPV i P MD

P ≈ ∆

∆ [%]*

000 . 10

* [%] P BPV =−MD

j n

j j

PF w MD

MD ⁼

∑

P MD[%]=ε*∆i

( )

Dur P i i

P i

i

= − ′ +

= +

*

*

1 ε 1

∆ ∆

P P D i

≈ − i +

* * 1

2. Interpretation : Zeitaspekt I (Immunitätszeitpunkt)

Duration:

alternative Form:

geschlossene Formeln:

- für ganze Perioden -

- für gebrochene Per.-

Dur in [Jahren] (genauer: Zins- perioden)

k = 1, ..., n (Zahlungszeitpunkte) n - Perioden (Restlaufzeit) i - Marktzinssatz

q = i + 1

Z - Zahlungsrückflüsse im Zeitpunkt t

P - Kurs (Barwert) p - Kupon

a - gebrochene Periode

sonstiges...

Umrechnung MD Dur

Duration eines Portfolios ^wj - Anteil am Portfolio (Gewichte des Barwertes)

( )

( )

Dur

k Z

i Z

i

k k k

n

k k k

= n +

+

=

=

∑

∑

* 1

1

1

1

Dur_PF w Dur_j

j N

= j

∑

w w

j j

N

j

∑

>

1

1 0

( )

Dur k Z

P i

k k k

n

=

∑

( )

(

)

p

ni q T np i

Dur i _n

+

−

−

− +

= +

1 1

( )

MD

Dur= [%]* 1+ i Dur

MD *

1 [%] 1

= +

( )

[ ( )

]

p

T in i a np

i

Dur i _n

+

− +

− +

− + + −

= 1 1

1 1

5.1.4 Konvexität

Konvexität (allg.)

Konv eines Zerobonds Konv eines Floaters Konv einer ewigen Rente

k - bei unterjähriger Anleihe (z.B.

Floater) : k ∈ (0,1) Z - Nominalbetrag Floater +

Zinsen für Zeitraum k

... Näherungsformel

∆P mittels Konvexität P - urspr. Kurs

BP - Basispunkte (∆i in BP) BPV - Basis Point Value (∆i) - Absolutzahl

Konvexität eines Port- folios

5.1.5 Theta

Theta

(BW-Änderung in Ab- hängigkeit von Restlaufzeit)

T - RestLFZ [Jahre, 30/360]

P - urspr. BW

∆P mittels Theta ^∆P - absoluter Zuwachs an GE

T - LFZ [30/360 Tage]

„Zeitrisiko“

( )

( )

( )

( )

Konv P i P

P i

k k Z

i

k k k

n

= ′′

= +

+ +

∑

1 1

1

2 1

1

( ) ( ) ( )

Konv P i BP P i

( )

≈ + + P i − −

10₆ 10 10 2

*

* * *

*

( ) ( )

( )

∆

∆ P P i BP P i

BPV BP P

Konv i

= + −

≈ +

* *

* * *

2

2

Konv_PF w Konv_j

j N

= j

∑

( )

2

1 q n Konv= n +

( ) ( )

( )

Z k k i P

Konv +

+

= +

1

* 1 1

1

2

2

2 Konv=i

( )

( )

* i P

T T P

+

= Θ

′ ∆

= Θ

∆P=Θ*T

5.1.6 Delta-Plus-Ansatz

∆P mittels

Delta-Plus-Ansatz

... Delta-Plus-Ansatz liefert beste Approximation für ∆P

∆T - RLFZ [gebrochene Periode gem. Usance]

∆i - Zinsänderung in [BP]

∆P - absolute Kursänderung

5.1.7 Value at Risk (VaR)

( )

∆P≈BPV *∆i +1Konv* *P ∆i −Θ* *∆T

2 ² 360

6 Optionstheorie

6.1 Grundlagen

6.1.1 Grundbegriffe

6.1.2 Intuitive Prämienerklärung

6.1.3 Bewertung nach Cox / Ross / Rubinstein

Innerer Wert der Option

(Wert des Call im Zeitpunkt t)

X - strike (Ausübungspreis, Basis-preis)

K - aktueller Aktienkurs

Erwartungswert der Optionsprämie (Call) in T=0

(Formel ohne Pseudo-WK)

K_u - Aktienkurs im Fall (up) K_d - Aktienkurs im Fall (down) K₀ - Aktienkurs in T=0

...

(Formel mit Pseudo-WK) (Bernoulli Prinzip)

∆1u - (innerer) Wert der Option im Zustand up des

Zeitpunktes 1

Pseudowahrscheinlichkeit für up :

d u

d p i

−

= − für down : (1- p)

u - upside change ∈ (0,1) d - downside change ∈ (0,1);

negatives Vorzeichen ! i - Marktzins ∈ (0,1)

SD → u SD → d

n - Anteil des Jahres, n ∈ (0,1) δ - SD (bezogen auf 1 Jahr) u, d : für unterjährigen

Zeitraum n

(grober) Hedge-Ratio ^{Po, Pu} - oberster bzw. unterster Optionspreis (innerer Wert) in t

K^o, K^u - oberster bzw. unterster Aktienkurs in t t - beliebiger (diskreter) Zeitpunkt (t > 0)

∆ = −K X

( )

d u

d

K K

K K i C i

1 1

1 0 0

1

1 −

− +

+

= ∆

u e d e

n

n

= −

= ⁻ −

δ

δ

1 1

( )

i p

C p ^{u d}

+

∆

− +

= ∆

1

* 1

* _{1 1}

0

u t o t

u t o t

K K

P P

−

= −

∆

6.1.4 Bewertung nach Black / Scholes

Optionsprämie (Call) Φ (d) - Verteilungsfunktion der Normalverteilung

Werte des Φ zwischen 0,5 bis 1!

i - kontinuierlicher Zins (eigentlich i^* als Symbol) t - RestLFZ der Option

6.2 Abhängigkeit des Optionspreises P von verschiedenen Einflussgrößen (The Greeks)

6.2.1 Delta

Delta

Abhängigkeit P vom Aktienkurs K

6.2.2 Gamma

Gamma

= Veränderung des Delta

6.2.3 Theta

Theta

6.2.4 Lambda (Vega) Lambda (Vega)

( ) ( )

C₀ =K*Φ d₁ − X *e^−it *Φ d₂

d t

K

X it t

1

1 2

=  + + 2

 

σ ^ln σ 

d t

K

X it t

2 1 2

=  + − 2

 

σ ^ln σ 

( ) ( )

Φ − = −x 1 Φ x

( )

∆= ∂ =Φ

∂ P

K d₁

Γ =∂ =

( )

∂

ϕ σ

2 2

P 1

K

d

K t

( ) ( )

ϕ d = ′Φ d

( ) ( )

Θ=∂ = + ⁻ Φ

∂

σϕ P

t

K d

t ¹ iXe ^it d₂ 2

( )

Λ = ∂ =

∂σ^{P K}ϕ ^d1 ^t

6.2.5 Omega Omega

6.2.6 Weitere Größen Abhängigkeit P vom Strike-Preis X

Abhängigkeit P vom Zinssatz i

6.2.7 Hedge Strategie

6.3 Put-Call-Parität

i - kontinuierlicher Zinssatz

6.4 Bewertungsprobleme bei American Style Options

( )

Ω ∆= K =Φ

P d K

1 P

∂

( )

∂ P

X = −e^−itΦ d2

∂

( )

∂ P

i =tXΦ d₂ e^−it

K x=∆+ Γ*∆

2 1

P_Put =P_Call + Xe^−it −K

6.5 Anwendungen der Optionspreistheorie

6.5.1 Aktienoptionen

6.5.2 Devisenoptionen und Optionen auf Futures

Devisenoption ... mit Kassakurs

E₀ - Kassakurs einer Devise i - inländischer Zinssatz i_a - ausländischer Zinssatz X - Strike (gewünschter

Ausübungskurs)

Devisenoption ... mit Terminkurs (Black-Modell)

erwarteter Termin- devisenkurs

kontinuierliche Verzinsung einfache Verzinsung

E1 - Termindevisenkurs E0 - Devisenkurs (Preis der

Fremdwährung in heimischer Währung ausgedrückt) in t = 0

6.5.3 Zinsoptionen 6.5.4 Caps and Floors

Cap Bewertung Z - Ausgleichsbetrag

i_sc - Strike Cap (Cap Satz) i_f - Forward-Zinssatz i - risikoloser Zins

τ - abzusichernder Zeitraum (= Zeitraum der Forward Rate)

t - Optionsfrist des Caps σf

2, σf - Volatilität des Forward-Satzes

( ) ( )

( )

t d

d

t t

i X i

E t d

d Xe d

e E P

a it t

i c

a

σ

σ σ

−

=



 + − +

=

Φ

− Φ

= ^{− −}

1 2

2 0

1

2 1

0

ln 2 1

( ) ( )

( )

t d

d

X t E t d

d X d E

e P

Ter Ter it c

σ

σ σ

−

=





+

=

Φ

− Φ

= ⁻

1 2

2 min 1

2 1

min

ln 2 1

( )

( ) (

)

E E

e E E

a t i i _a

− +

=

= ⁻

0 1

1 0 1

( ) ( )

[ ]



 



 +

=

+

= +

Φ

− Φ

= ⁻

ln 2 1 1

*

2 1

2 1

t i

i t d

i Z N

d i d i Z e P

f sc

f f

f

sc f

it Cap

σ σ τ τ

6.5.5 Swaptions

6.5.6 Strukturierte Produkte: Floored and Collared Floater, Super Floater, Reverse Floater, Step-Up-Bond, Callable and Putable Bond

6.5.7 Schätzung der Volatilität