Schr¨agbild Die nach

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9. Klasse TOP 10 Grundwissen 9 Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel 09

Schr¨agbild Die nach

” hinten“ laufenden Linien werden unter einem Win- kel ω (z. B. ω = 45 ^◦ ) und mit Faktor q verk¨urzt (z. B. q = 0,7) dargestellt. N¨utzlich sind hierzu oft Hilfspunkte oder ein

” Ein- sperren“ in ein Rechteck.

Ist z. B. der Grundriss eines Primas das neben- stehende gleichseitige Dreieck mit Seitenl¨ange 2, so kann man mit dem Hilfspunkt H die Lage des Punktes C im Schr¨agbild in einer Entfer-

nung von 1 · q vom Punkt H konstruieren. ^{" "}

"

" "

b b

b b b

r H

B A

C 1 2

Netz

( ” Bastelanleitung“) Hilfreich ist hier oft, sich den K¨orper

” auf- geklappt“ oder

” abge- wickelt“ zu denken.

Aus Platzgr¨unden ist das Netz hier jeweils verkleinert dargestellt.

Prisma (→ grund54.pdf)

ω

B A

H C

h G

Volumen:

Grundfl¨ache · H¨ohe V = Gh

Mantelfl¨ache:

M = uh

(u = Umfang der Grundfl¨ache) Oberfl¨ache:

O = M + 2G

T T T

T T T

A G G

M a n t e l h

B C A

⁰

u = AA ⁰ Zylinder

Volumen:

Grundfl¨ache · H¨ohe V = r ² πh

Mantelfl¨ache:

M = uh = 2πrh Oberfl¨ache:

O = M + 2G =

= 2πrh + 2r ² π

M a n t e l

Pyramide

H H H H

H H

D

D D D

D D

DD

@

@

@

A

B C

S Volumen:

1

3 Grundfl¨ache · H¨ohe V = ¹ ₃ Gh

(Vieleck als Grund- fl¨ache G)

Mantelfl¨ache:

M = A ₁ + A ₂ + A ₃ + . . . (Seitenfl¨achen-Dreiecke) Oberfl¨ache:

O = M + G

Q Q

Q Q Q B

B B

B B

A p

B C

S

S S

G A

₁

A

₂

A

₃

Kegel

J

J J

J J

r h m

Volumen:

1

3 Grundfl¨ache · H¨ohe V = ¹ ₃ r ² πh

Mantellinie:

m = √

h ² + r ²

Mantelfl¨ache:

M = πrm

(Sektor M = ₃₆₀ ^α

◦

m ² π) Oberfl¨ache:

O = M + G = πrm + r ² π r m M α

G

Sektor- Bogenl¨ange b =

₃₆₀^α◦

2mπ gleich Grundkreis- Umfang 2rπ

Kegelstumpf

Hierf¨ur gibt es auch

” fertige“ Formeln, die man in der Regel nicht auswendig weiß, son- dern in der Formelsammlung nachschl¨agt oder sich selbst herleitet. Hierzu erg¨anzt man den Kegelstumpf zu einem ganzen Kegel und verwendet zur Berechnung von dessen H¨ohe den Strahlensatz (→ ueb99.pdf, Aufgabe 5).

L¨angen- und Winkelberechnungen

Hilfreich sind rechtwinklige St¨utzdreiecke, deren Maße man oft mit Pythagoras ermitteln

kann oder in denen man mit sin, cos, tan arbeiten kann (→ ueb99.pdf, Aufgaben 1c, 4).