Klasse IIIA

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IIIA 2008 Arbeitsblatt 4 Intervallschachtelung.docx Seite 1/2 FJ Kurmann

Die Lösung der quadratischen Gleichung x² = 16 ist x1,2 =_±√16 fl x1 = 4 - x2 = ─ 4.

Meistens ist es aber nicht so einfach, die Wurzel einer Zahl (ohne Taschenrechner) auszurechnen.

Zum Beispiel:

Die Lösung der quadratischen Gleichung x² = 11,56 ist x1,2 =_± 11,56 fl x1 = 11,56- x2 = ─^11,56. Welchen Wert hat , ?

Wir verwenden zur Berechnung von , eine Intervallschachtelung.

Anmerkung: Bei diesem Verfahren nutzen wir folgenden Satz:

Zwischen zwei Zahlen a, b œ

,

^œ

^{< b.}

Z.B. liegt zwischen den Zahlen 4 und 5 die Zahl ⁼

Vorgehensweise bei der Intervallschachtelung (Halbierungsmethode):

1. Schritt: Lege eine untere und eine obere Näherungszahl für die gesuchte Wurzel fest.

2. Schritt: Bilde den Mittelwert aus den beiden Näherungszahlen.

3. Schritt: a) Ist das Quadrat des Mittelwertes größer als der Radikand, so wähle den Mittelwert als neue obere Näherungszahl und behalte die alte untere Näherungszahl bei.

b) Andernfalls ist der Mittelwert eine neue untere Näherungszahl; die alte obere wird beibehalten.

Das neue Intervall ist halb so lang wie das vorherige!

4. Schritt: Wiederhole die Schritte 2 und 3, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

Beispiel für , :

1. Schritt: untere Näherungszahl = 3 (weil 3² = 9) , obere Näherungszahl = 4 (weil 4² = 16) also gilt: 3² = 9 < 11,56 < 16 = 4² bzw. 3 < , < 4

2. Schritt: Mittelwert aus den beiden Näherungszahlen =

3. Schritt: 3,5² = 12,25. Es ist 11,56 < 12,25.

Also ist die neue obere Näherungszahl = 3,5, die untere = 3 bleibt.

4. Schritt: Wiederholung 2. und 3. Schritt ….

2. Schritt 2x: Mittelwert aus den beiden Näherungszahlen = ,

3. Schritt 2x: 3,25² = 10,5625. Es ist 10,5625 < 11,56.

Also ist die neue untere Näherungszahl = 3,25, die obere = 3,5 bleibt.

2. Schritt 3x: Mittelwert aus den beiden Näherungszahlen = ,,

^{= 3,375.}

3. Schritt 3x: 3,375² = 11,390625. Es ist 11,390625 < 11,56.

Also ist die neue untere Näherungszahl = 3,375, die obere = 3,5 bleibt.

2. Schritt 4x: Mittelwert aus den beiden Näherungszahlen = ,,

^{= 3,4375.}

3. Schritt 4x: 3,375² = 11,390625. Es ist 11,390625 < 11,56.

Also ist die neue untere Näherungszahl = 3,4375, die obere = 3,5 bleibt.

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IIIA 2008 Arbeitsblatt 4 Intervallschachtelung.docx Seite 2/2 FJ Kurmann

2. Schritt 5x: Mittelwert aus den beiden Näherungszahlen = ,,

= 3,46875.

3. Schritt 5x: 3,46875² = 12,032…. Es ist 11,56 < 12,032….

Also ist die neue obere Näherungszahl = 3,46875, die untere = 3,4375 bleibt.

Bis jetzt haben wir ermittelt: 3,4375 < , < 3,46875

Diese Genauigkeit reicht uns. Da die erste Stelle hinter dem Komma in beiden Fällen = 4 ist, sagen wir:

, ≈≈≈≈ 3,4

(Anmerkung: Tatsächlich ist sogar ganz genau: , = 3,4, denn 3,4² = 11,56.) Auf der Zahlengeraden sieht das Verfahren so aus (Die Intervalle sind die grauen Balken):

3 4

3 3,5

3,25 3,5

3,375 3,5

3,4375 3,5

3,4375 3,46875 Dezimale Intervallschachtelung

Ein anderes Verfahren der Intervallschachtelung ist die dezimale Intervallschachtelung. Du findest ein Beispiel dazu im Buch Seite 34, Aufgabe 6.

Aufgabe 1: (Benutze den Taschenrechner! Aber hier natürlich nicht, um die Wurzel zu ziehen!)

Rechne die Aufgaben 6 a bis 6 c im Buch Seite 34 mit einer der beiden Intervallschachtelungen.

Aufgabe 2: (Benutze den Taschenrechner, um die Wurzel zu ziehen!) Rechne die Aufgaben 1 a bis 1 c im Buch Seite 71