Potenzen mit ganzen Exponenten Theorie

Potenzen mit ganzen Exponenten

Theorie

Version vom 31. Mai 2021

1 Potenzen mit nat¨ urlichen Exponenten

aⁿ =a·a·. . .·a

| {z }

nFaktoren

a: Basis n: Exponent aⁿ: Potenz

Lerne auswendig

n = 2 n= 3 n= 4 n = 5 n = 6 n= 7 n = 8 n = 9 n = 10

a= 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024

a= 3 9 27 81 243 729

a= 4 16 64 256 1024

a= 5 25 125 625

a= 6 36 216

a= 7 49 343

a= 8 64 512

a= 9 81 729

a= 10 100 1000 a= 11 121

a= 12 144 a= 13 169 a= 14 196 a= 15 225 a= 16 256 a= 17 289 a= 18 324 a= 19 361 a= 20 400 a= 21 441 a= 22 484 a= 23 529 a= 24 576 a= 25 625

Spezialf¨alle:

• a¹ =a

• 1ⁿ=1 f¨ur allen ∈N0

• 0ⁿ=0 f¨ur allen ∈N

• 0⁰ ist nicht definiert (Erkl¨arung sp¨ater)

Beispiel 1.1

(−2)⁴ =(−2)·(−2)

| {z }

+

·(−2)·(−2)

| {z }

+

= 2⁴ = 16

Merke: Ist n ∈Ngerade, so gilt (−a)ⁿ =aⁿ

Beispiel 1.2

(−5)³ =(−5)·(−5)

| {z }

+

·(−5)

| {z }

−

=−5³ =−125

Merke: Ist n ∈Nungerade, so gilt (−a)ⁿ=−aⁿ

Beispiel 1.3

√2⁶ =√ 2·√

2

| {z }

2

·√ 2·√

2

| {z }

2

·√ 2·√

2

| {z }

2

= 2³ = 8

Beispiel 1.4 2

3 3

= 2 3 · 2

3· 2

3 = 2·2·2 3·3·3 = 2³

3³ = 8 27

Beispiel 1.5

−1 4

3

=− 1

4 3

=−1³

4³ =− 1 64

Wissenschaftliche Darstellung von Zahlen

Eine Zahl wird als Produkt aus einer Dezimalzahl mit einer Zehnerpotenz dargestellt, so dass die erste Ziffer 6= 0 unmittelbar vor dem Dezimalpunkt steht.

Die Ziffernfolge wird manchmal auchMantisse genannt.

Beispiel 1.6

1 234 500 000 =1.2345

| {z }

Mantisse

·10⁹

Beispiel 1.7

436·10¹⁹=4.36·10²¹

Beispiel 1.8

0.00031·10⁸⁰=3.1·10⁷⁶

Grosse Zehnerpotenzen

Im 15. Jahrhundert hat der franz¨osische Mathematiker Nicolas Chuquet aus dem italie- nischen Wort millione (1000·1000 = 10⁶) weitere Zahlw¨orter gebildet.

Als man im 17. Jahrhunderts dazu ¨uberging, Zahlen in Dreier- statt in Sechsergruppen darzustellen, haben einige Gelehrte gefordert, auch die Zahlennamen an diese Praxis an- zupassen. Seither gibt es eine lange Skala und eine kurze Skala, die jeweils dieselben Bezeichnungen f¨ur die Millionenfachen bzw. die Tausenfachen des jeweiligen Vorg¨angers verwenden.

Vorsatz lange Skala kurze Skala 10⁶ Mega Million Million 10⁹ Giga Milliarde Billion 10¹² Tera Billion Trillion 10¹⁵ Peta Billiarde Quadrillion 10¹⁸ Exa Trillion Quintillion 10²¹ Zeta Trilliarde . . .

10²⁴ Yota Quadrillion 10²⁷ Quadrilliarde 10³⁰ Quintillion . . . .

Kurze Skala: Australien, Brasilien, USA, Kanada (engl.), GB Gemischte/andere Systeme: Russland, T¨urkei, Israel, China, Japan Lange Skala: ¨ubrige L¨ander

Bemerkungen

• Wir verwenden im Mathematikunterricht nur die lange Skala.

• In der internationalen Finanzbranche dominiert die kurze Skala.

• Merkhilfe f¨ur den Zehnerexponenten der langen Skala:

. . . llion . . . lliarde

Mi 1·6 1·6 + 3

Bi 2·6 2·6 + 3

Tri 3·6 3·6 + 3 Quadri 4·6 4·6 + 3 Quinti 5·6 5·6 + 3

Fun facts

• 1 Googol= 10¹⁰⁰

• 1 Googolplex= 10^Googol = 10^(10100)

Beispiel 1.9

Stelle 24.5 Trilliarden in der wissenschaftlichen Schreibweise dar.

24.5·10^3·6+3= 24.5·10²¹ = 2.45·10²²

Beispiel 1.10

Stelle 9.21·10¹⁴ ohne Dezimalpunkt und mit dem gr¨osstm¨oglichen Zahlwort dar.

9.21·10¹⁴= 921·10¹²= 921 Billionen

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis 2⁵·2³ = 2·2·2·2·2

| {z }

5 Faktoren

· 2·2·2

| {z }

3 Faktoren

= 2⁵⁺³ = 2⁸

Allgemein: aⁿ·a^m =a^n+m (M1)

Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die gemeinsame Basis mit der Summe der Exponenten potenziert.

Beispiel 1.11

(−7)⁹·(−7)⁵ = (−7)⁹⁺⁵= (−7)¹⁴ = 7¹⁴ (14 ist gerade)

Beispiel 1.12

u³·u·u⁴ =u³·u¹·u⁴ =u³⁺¹⁺⁴ =u⁸

Beispiel 1.13

xⁿ⁺²·xⁿ⁻¹ =x(n+2)+(n−1) =x^n+2+n−1 =x²ⁿ⁺¹

Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten

5³·2³ = 5·5·5·2·2·2 = (5·2)·(5·2)·(5·2) = (5·2)³ Allgemein: aⁿ·bⁿ = (a·b)ⁿ (M2)

Zwei Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man das Produkt der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

Beispiel 1.14 1

3 8

·6⁸ = 1

3 ·6 8

= 2⁸ = 256

Beispiel 1.15

(−a)³·2³ = (−2a)³ =−(2a)³ =−8a³

Beispiel 1.16

u v

3n+2

·v w

3n+2

·w u

3n+2

= u

v · v w ·w

u 3n+2

= 1³ⁿ⁺² = 1

Division von Potenzen mit gleicher Basis 2⁵ : 2³ = 2·2·2·2·2

2·2·2 = 2·2 = 2⁵⁻³ = 2²

Allgemein: aⁿ:a^m =a^n−m (a6= 0 undn > m) (D1)

Zwei Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die gemeinsame Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert.

Beispiel 1.17

(−15)⁷ : (−15)⁵ = (−15)⁷⁻⁵ = (−15)² = 225

Beispiel 1.18

(−c)¹⁷ : (−c) : (−c)¹²= (−c)^17−1−12= (−c)⁴ =c⁴

Beispiel 1.19

r³ⁿ⁺⁴ :r²ⁿ⁺¹ =r(3n+4)−(2n+1) =r^{3n+4−2n−1} =rⁿ⁺³

Division von Potenzen mit gleichem Exponenten 7³ : 2³ = 7·7·7

2·2·2 = 7 2 · 7

2· 7 2 =

7 2

3

= (7 : 2)³ Allgemein: aⁿ:bⁿ = (a:b)ⁿ (b 6= 0) (D2)

Zwei Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man den Quotienten der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert.

Beispiel 1.20

0.52¹⁰ : 0.26¹⁰= (0.52 : 0.26)¹⁰= 2¹⁰= 1024

Beispiel 1.21

p⁵ q²

7

: p⁴

q³ 7

= p⁵

q² : p⁴ q³

7

= p⁵

q² · q³ p⁴

7

= (pq)⁷

Beispiel 1.22

(6x+ 9y)²ⁿ⁺¹ : (2x+ 3y)²ⁿ⁺¹ =

6x+ 9y 2x+ 3y

2n+1

=

3(2x+ 3y) 2x+ 3y

2n+1

= 3²ⁿ⁺¹

Potenzen von Potenzen 5²3

= 5²·5²·5² = (5·5)·(5·5)·(5·5) = 5·5·5·5·5·5 = 5^2·3 = 5⁶ Allgemein: aⁿm

=a^n·m =a^m·n= a^mn

(P)

Eine Potenz wird potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten po- tenziert.

Beispiel 1.23 (−2)³4

= (−2)^3·4 = (−2)¹²= 2¹²

Beispiel 1.24 (−a)⁵3

= (−a)^5·3 = (−a)¹⁵ =−a¹⁵

Beispiel 1.25 xⁿ⁺¹n−1

=x^(n+1)(n−1) =xⁿ²⁻¹

Potenzt¨urme

Ohne Klammern werden Potenzen von Potenzen . . . von Potenzen von oben rechts nach unten links ausgewertet:

a^bcd =a

b ^cd

!

Beispiel 1.26

2³² = 2⁽³²⁾ = 2⁹ = 512 (2³)² = 2^3·2 = 2⁶ = 64

Beispiel 1.27

2²²² = 2

2 ²²

!

= 2⁽²⁴⁾= 2¹⁶

(2²)²2

= 2²2·2

= 2^2·2·2 = 2⁸

Vermischte Beispiele

Beispiel 1.28

12a⁷ : (8a²·3a⁴)= 12a⁷ : 24a⁶ = ¹₂a

Beispiel 1.29

(r−s)⁷+ (s−r)⁷ = (r−s)⁷+ (−(r−s))⁷

= (r−s)⁷−(r−s)⁷ = 0

Beispiel 1.30 8p^2x+1+ 6p^2x

: 2p^2x−1 = 8p^2x+1 : 2p^2x−1+ 6p^2x : 2p^2x−1

= 4p2x+1−(2x−1)

+ 3p^{2x−(2x−1)}

= 4p²+ 3p

Beispiel 1.31

z²·(z⁵−z⁴) :z⁵ = (z⁷−z⁶) :z⁵

=z²−z

Beispiel 1.32 3x⁴·2x⁵3

= 6x⁹3

= 216x²⁷

Beispiel 1.33

(xy)ⁿ:xyⁿ =xⁿ·yⁿ: (x·yⁿ) =xⁿ·yⁿ:x¹ :yⁿ =xⁿ⁻¹

Beispiel 1.34

x⁹−x⁷

x⁵−x³ = x⁷(x²−1) x³(x²−1) = x⁷

x³ =x⁴

Beispiel 1.35

(y²−9)⁵ : (y−3)⁵ =

y²−9 y−3

5

=

(y−3)(y+ 3) y−3

5

= (y+ 3)⁵

Potenzen von Summen

Potenzen von Summen k¨onnen induktiv, d. h. vom Einzelnen zum Gesamten berechnet werden.

(a+b)ⁿ= (a+b)·(a+b)

| {z }

(a²+2a+b²)

·(a+b)

| {z }

(a³+3a²b+3ab²+b³)

·(a+b)

| {z }

...

·. . .·(a+b)

Das Pascalsche Dreieck

Das Pascalsche Dreieck liefert ein einfaches Verfahren, um die Koeffizienten der ausmul- tiplizierten Potenzen (a+b)ⁿ zu bestimmen.

(a+b)⁰ = 1 1

(a+b)¹ =a+b 1 1

(a+b)² =a²+ 2ab+b² 1 2 1

(a+b)³ =a³+ 3a²b+ 3ab²+b³ 1 3 3 1 (a+b)⁴ =a⁴+ 4a³b+ 6a²b²+ 4ab³+b⁴ 1 4 6 4 1

Die Exponenten vonanehmen von Summand zu Summand um 1 ab; diejenigen vonb um 1 zu (beachte a⁰ =b⁰ = 1):

aⁿb⁰, aⁿ⁻¹b¹, aⁿ⁻²b², . . . , a²bⁿ⁻², a¹bⁿ⁻¹, a⁰bⁿ

F¨ur die Potenzen von Differenzen (a −b)ⁿ ergeben sich alternierende (abwechselnde) Vorzeichen:

(a−b)⁰ = 1 (a−b)¹ =a−b

(a−b)² =a²−2ab+b²

(a−b)³ =a³−3a²b+ 3ab²−b³

(a−b)⁴ =a⁴−4a³b+ 6a²b²−4ab³ +b⁴

Beispiel 1.36

(3a+ 2b)³ = 1·(3a)³+ 3·(3a)²(2b)¹+ 3·(3a)¹(2b)²+ 1·(2b)³

= 27a³+ 3·9a² ·2b+ 3·3a·4b²+ 8b³

= 27a³+ 54a²b+ 36ab²+ 8b³

Beispiel 1.37 (x−y)⁵ =. . .

. . . 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

· · ·=x⁵−5x⁴y+ 10x³y²−10x²y³+ 5xy⁴−y⁵

Einfache Potenzgleichungen

Eine Potenzgleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable in der Basis vorkommt.

Dieser Typ von Gleichung kann mit Hilfe dieser beiden Aussagen gel¨ost werden:

• Sind zwei Potenzen gleich und haben sie denselben ungeraden Exponenten, dann stimmen ihre Basen ¨uberein.

a²ⁿ⁻¹ =b²ⁿ⁻¹ ⇒ a=b

• Sind zwei Potenzen gleich und haben sie denselbengeradenExponenten, dann stim- men ihre Basen bis auf ein Vorzeichen ¨uberein.

a²ⁿ =b²ⁿ ⇒ a=±b

Beispiel 1.38 x³ = 27

x³ = 3³ x= 3

Beispiel 1.39 x⁴·x² = 64

x⁶ = 2⁶ x=±2

Beispiel 1.40

(1−x)⁵ : (1−x)² =−125 (1−x)⁵⁻² =−5³

(1−x)³ = (−5)³ 1−x=−5

x= 6

Beispiel 1.41 x⁴ =−16 x⁴ =−2⁴

L={ }

Die rechte Seite der Gleichung kann wegen des negativen Vorzeichens und dem geraden Exponenten nicht als

”geschlossene“ Potenz umgeschrieben werden.

Einfache Exponentialgleichungen

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, wo die Variable im Exponenten vorkommt.

Dieser Typ von Gleichung kann mit Hilfe dieser Aussage gel¨ost werden:

Sind zwei Potenzen gleich und haben sie dieselbe Basis, dann stimmen auch ihre Expo- nenten ¨uberein.

a^m =aⁿ ⇒ m=n

(Hier ist keine Unterscheidung nach geradem und ungeradem Exponenten n¨otig.)

Beispiel 1.42 3^x = 243 3^x = 3⁵

x= 5

Beispiel 1.43 4^x·2^x = 64 2^2x·2^x = 2⁶

2^3x = 2⁶ 3x= 6

x= 2

Beispiel 1.44 (−2)^x = 16 (−2)^x = (−2)⁴

x= 4

Beispiel 1.45

5^2x+3·5^x+2 = 5^4x+1 5(2x+3)+(x+2)

= 5^4x+1 5^3x+5 = 5^4x+1

3x+ 5 = 4x+ 1 || −1−3x 4 =x

Beispiel 1.46 (−5)^x =−25

(−5)^x =−5² 6= (−5)² L={ }

2 Potenzen mit ganzen Exponenten

Definitionen

Multiplizieren wir 1 fortgesetzt mit einer reellen Zahl a, so erhalten wir die Potenzen aⁿ mit den nat¨urlichen Exponenten n:

1 ^·a a^{1 ·a} a^{2 ·a} a^{3 ·a} . . .

Dies k¨onnen wir auch umkehren, indem wir eine Potenz aⁿ mit einem nat¨urlichen Expo- nenten n fortgesetzt durch a dividieren:

a² a¹ 1 1

a

1

a² . . .

:a :a :a :a :a

Da im letzten Bild die Exponenten bei jeder Division um 1 kleiner werden, sind folgende Definitionen sinnvoll

• a⁰ = 1 f¨ur a6= 0

• a⁻ⁿ= 1

aⁿ f¨ur a6= 0 undn ∈N

Dass in der zweiten Definitiona nicht Null sein darf, sollte klar sein, da 0ⁿ = 0 ergibt und die Division durch Null ist nicht definiert ist.

Warum aber ist 0⁰ nicht definiert? Wenn man m¨ochte, dass alle Potenzgesetze auch f¨ur den Exponenten Null g¨ultig sein sollen, erh¨alt man ein Problem:

0⁰ = 0^{1−1 (D1)}= 0¹ : 0¹ = 0 : 0 (nicht definiert!)

Gl¨ucklicherweise bleiben, bis auf die oben genannten Ausnahmen, die Potenzgesetze auch f¨ur negative ganze Exponenten g¨ultig:

• (M1)a^m·aⁿ=a^m+n f¨urm,n ∈Z

• (M2)a^m·b^m = (ab)^m f¨urm ∈Z

• (D1) a^m :aⁿ=a^m−n f¨urm,n ∈Z

• (D2) a^m :b^m = (a:b)^m f¨ur m∈Z

• (P) (a^m)ⁿ = (aⁿ)^m =a^mn f¨ur m, n∈Z

Ist ein Exponent negativ, muss jeweils a6= 0 bzw. b6= 0 gelten.

Zur Erinnerung:

Z={. . . ,−2,−1,0,1,2, . . .} (Menge der ganzen Zahlen)