Skript zur Vorlesung

Skript zur Vorlesung

Mathematik 2

(MA2)

Studiengang Informatik

M. Pohl, D. Schuster Fachhochschule Regensburg

Das Skript enthalt die Theorie zur LehrveranstaltungMathematik 2 (Analysis). Es wird durch Beispiele und Anwendungen in der Vorlesung erganzt.

c

M.Pohl, D. Schuster, 1999

Verwertung, insbesondere Vervielfaltigung nur mit Genehmigung der Autoren.

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung 2

1.1 Ungleichungen . . . 2

1.2 Fakultaten und Binomialkoezienten . . . 3

2 Folgen und Reihen 4

2.1 Konvergente Folgen . . . 4

2.2 Konvergente Reihen . . . 5

3 Grenzwerte und Stetigkeit 7

3.1 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen . . . 7

3.2 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . 8

4 Dierentialrechnung 9

4.1 Dierenzierbarkeit . . . 9

4.2 Potenzreihen und elementare Funktionen . . . 12

4.3 Hohere Ableitungen und Taylor-Entwicklung . . . 17

4.4 Anwendungen der Dierentialrechnung . . . 19

5 Integralrechnung 22

5.1 Bestimmtes und unbestimmtes Integral . . . 22

5.2 Technik der Integration . . . 24

5.3 Uneigentliche Integrale . . . 27

5.4 Anwendung der Integralrechnung . . . 28

6 Mehrdimensionale Dierentialrechnung 29

6.1 Funktionen in mehreren Variablen . . . 29

6.2 Partielle Dierentiation . . . 31

6.3 Totale Dierenzierbarkeit . . . 34

6.4 Extremwerte . . . 38

6.5 Kurven . . . 40

1

1 Einfuhrung

1.1 Ungleichungen

Denition 1.1 (Ungleichungen)

Auf der Menge ^R der reellen Zahlen kann man eine Ordnungsrelation "

<

\ denieren.

Dabei gilt fur zwei reelle Zahlen

a

und

b

genau eine der drei Beziehungen

a < b; a

⁼

b

oder

a > b:

Fur

a; b; c; d

^2R gelten dabei die folgenden Regeln:

a < b; b < c

⁼⁾

a < c

a < c; b < d

⁼⁾

a

⁺

b < c

⁺

d a < b; c > 0

⁼⁾

ac < bc Satz 1.1 (Rechenregeln fur Ungleichungen)

Es gelten folgende Regeln:

0 < a < b

⁽⁾

0 < 1b < 1

Ist

a; b > 0

, so gilt weiter

a

a < b

⁽⁾

a

²

< b

²

Denition 1.2 (Intervalle)

Die folgenden Mengen reeller Zahlen heien Intervalle.

x

²⁽

a; b

^{) ()}

a < x < b x

^2[

a; b

^{) ()}

a

b < x x

²⁽

a; b

^{] ()}

a < x

b x

^2[

a; b

^{] ()}

a

x

b x

²⁽

a;

^{1) ()}

a < x x

^2(-1

; b

^{) ()}

x < b x

^2[

a;

^{1) ()}

a

x x

^2(-1

; b

^{] ()}

x

b

Intervalle der Form⁽

a; b

⁾heien "oenen Intervalle\ undIntervallederForm^[

a; b

^]heien

"abgeschlossene Intervalle\.

Bemerkung:

Ein oenes Intervall wird auch mit ^]

a; b

^[ bezeichnet.

Satz 1.2 (Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischen Mittel)

Fur

a; b > 0

gilt

a

⁺

b

2

p

ab

. Dabei gilt "=\ genau dann, wenn

a

⁼

b

ist.

2

Beweis:

Fur

a; b > 0

gilt: ⁽

a

^-

b

⁾²

0

⁼⁾

a

^{2 -}

2ab

⁺

b

²

0

⁼⁾

a

^{2 +}

2ab

⁺

b

²

4ab

⁼⁾⁽

a

⁺

b

⁾²

4ab

⁼⁾

a

⁺

b

^p

ab

⁽

a; b > 0

⁾.

"=\ gilt dabei genau dann, wenn ⁽

a

^-

b

⁾⁼

0

ist.

Satz 1.3 (Bernoullische Ungleichung)

Fur alle

x

^-

1

und alle

n

^2N0 gilt ⁽

1

⁺

x

⁾ⁿ

1

⁺

nx:

Beweis:

(Induktion nach

n

)

Induktionsanfang: Es ist ⁽

1

⁺

x

^{)0 =}

1

⁼

1

⁺

0x

.

Induktionsschluss: Zu zeigen ist ⁽

1

⁺

x

⁾ⁿ

1

⁺

nx

⁼⁾⁽

1

⁺

x

⁾ⁿ⁺¹

1

⁺⁽

n

⁺

1

⁾

x

.

(

1

⁺

x

^{)n+1 =(}

1

⁺

x

⁾ⁿ⁽

1

⁺

x

⁾

| {z }

0

(

1

⁺

nx

⁾⁽

1

⁺

x

⁾⁼

1

⁺⁽

n

⁺

1

⁾

x

^+|{z}

nx

²

0

1

⁺⁽

n

⁺

1

⁾

x:

Denition 1.3 (Absolutbetrag)

Fur

x

^2R heit ^j

x

^j:=

x

falls

x

0

-

x

sonst der (Absolut-)Betrag von

x

.

Satz 1.4 (Rechnen mit Betragen)

Fur den Absolutbetrag gelten die folgenen Regeln:

j

a

⁺

b

^{j j}

a

^j+j

b

^j

j

a

^-

b

^{j j}

a

^j-j

b

^j

j

a

^j

b

^{() -}

b

a

b

j

x

^-

x

0^j

< r

⁽⁾

x

0 ^-

r < x < x

0⁺

r

1.2 Fakultaten und Binomialkoezienten

Denition 1.4 (Fakultaten)

Fur

n

^2N heit

n

^!=

1

2

3

:::

n

die Fakultat von

n

. Die Fakultaten kann man rekursiv denieren durch

0

^!:=

1;

⁽

n

⁺

1

^)!=(

n

⁺

1

⁾

n

^!.

Denition 1.5 (Binomialkoezienten)

Fur

n; k

^{2 N}0 mit

0

k

n

deniert man die Binomialkoezienten ^,n_k ("

n

uber

k

\)

als

n

k

:=

n

^!

k

^!(

n

^-

k

^{)! =}

n

⁽

n

^-

1

⁾

:::

⁽

n

^-

k

⁺

1

⁾

k

^!

:

Satz 1.5 (Binomische Formel)

Fur beliebige Zahlen

a; b

^2R und fur alle Zahlen

n

^2N0 gilt

(

a

⁺

b

^)n=Xn

k⁼0

n k

a

^n-k

b

^k

:

3

2 Folgen und Reihen

2.1 Konvergente Folgen

Denition 2.1 (Folge)

Eine Folge ist eine Vorschrift, die jedem

n

^2N eine Zahl

a

n^2R zuordnet.

a

^{:N !R}

; n

^7!

a

⁽

n

⁾⁼

a

n.

Schreibweise:

⁽

a

1

; a

2

; a

3

;:::

⁾ oder⁽

a

n⁾n^2N oder ⁽

a

n⁾

: Denition 2.2 (Eigenschaften von Folgen)

Eine Folge ⁽

a

n⁾ heit

1. monoton wachsend, falls ⁸

n

^{2N :}

a

n⁺1

a

n

2. streng monoton wachsend, falls ⁸

n

^{2N :}

a

n⁺1

> a

n

3. monoton fallend, falls ⁸

n

^{2N :}

a

n⁺1

a

n

4. streng monoton fallend, falls ⁸

n

^{2N :}

a

n⁺1

< a

n

5. von oben beschrankt, falls ⁹

M

^{2R 8}

n

^{2N :}

a

n

M

. 6. von unten beschrankt, falls⁹

m

^{2R 8}

n

^{2N :}

a

n

m

.

7. beschrankt, wenn sie von oben und von unten beschrankt ist, d.h. ⁹

K

^{2R 8}

n

^{2N :j}

a

n^j

K

.

Denition 2.3 (Konvergente Folge)

Die Folge⁽

a

n⁾ heit konvergent gegen den Grenzwert

a

, falls gilt:

8

" > 0

⁹

N

⁽

"

^{)2N 8}

n

^{2N :}

n

N

⁽

"

^)=)j

a

n^-

a

^j

< "

Schreibweise: lim_n

!1

a

n⁼

a:

Andernfalls heit ⁽

a

n⁾ divergent.

Satz 2.1 (Rechenregeln fur konvergente Folgen)

Es seien ⁽

a

n⁾ und ⁽

b

n⁾ konvergente Folgen mit lim_n

!1

a

n ⁼

a

und lim_n

!1

b

n⁼

b

. Dann gilt:

nlim^!1(

a

n

b

n⁾⁼

a

b

_nlim

!1

(

a

n

b

n⁾⁼

ab a

n

< b

n ⁼⁾

a

b

Ist

b

n⁶⁼

0

fur alle

n

^2N und

b

⁶⁼

0

, so gilt weiterhin

nlim^!1

a

n

b

n ⁼

a Satz 2.2 (Hinreichendes Konvergenzkriterium) b

Eine monotone und beschrankte Folge ist konvergent.

Bemerkung:

Dieser Satz ist gleichbedeutend mit der Vollstandigkeit der reellen Zahlen.

4

Beispiel:

Die folgenden Grenzwerte seien ohne Herleitung zitiert:

1. lim_n

!1

q

ⁿ⁼

1 q

⁼

1 0

^j

q

^j

< 1

2. lim_n

!1

q

ⁿ

n

^{! =}

0; q

^2R 3. lim_n

!1

n 1

⁼

0 > 0 1

⁼

0

4. lim_n

!1

n

n

^{! =}

0

5. lim_n

!1

n

p

q

⁼

1; q > 0

6. lim_n

!1

n

p

n

⁼

1

7. lim_n

!1

1

⁺

1 n

n

=e⁼

2:718:::

(Eulersche Zahl)

2.2 Konvergente Reihen

Denition 2.4

Es sei die Folge⁽

A

k⁾gegeben. Die Folge⁽

S

n⁾, deniert durch

S

n^{:= X}n

k⁼1

A

kheit unendliche Reihe mit Gliedern

A

k (Schreibweise^P

A

koder^X1

k⁼1

A

k.) Die

S

nheien die Partialsummen der Reihe. Ist die Folge⁽

S

n⁾konvergent, so heit

S

^:=_nlim

!1

S

n⁼

1

X

k⁼1

A

kder Wert der Reihe.

Bemerkung:

Es treten haug Reihen der Form ^X1

k⁼0

A

k auf.

Satz 2.3 (Konvergenzkriterien fur Reihen)

1. (Notwendiges Kriterium) Ist ^X1

k⁼0

A

k konvergent, so folgt lim_k

!1

A

k ⁼

0

2. (Leibniz-Kriterium) Ist ⁽

A

k⁾ eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert die alternierende Reihe ^X1

k⁼1

(-

1

^)k

A

k.

Fur die Partialsummen

S

n gilt:

S

1

S

3

S

5

S

2n^-1

S

S

2n

S

6

S

4

S

2

und ^j

S

^-

S

n^j

A

n⁺1.

3. (Vergleichskriterium) Es sei ^j

A

k^j

B

k fur alle

k

k

0. Dann gilt (a) ^X1

k⁼0

B

k konvergent ^=)X1

k⁼0

j

A

k^j und ^X1

k⁼0

A

k konvergent.

(b) ^X1

k⁼0

j

A

k^j divergent^=)X1

k⁼0

B

k divergent.

4. (Wurzelkriterium) lim_k

!1

k

p

A

k ⁼

q < 1

^=)X1

k⁼0

j

A

k^j und ^X1

k⁼0

A

k sind konvergent.

5

5. (Quotientenkriterium) lim_k

!1

A

k⁺1

A

k

=

q < 1

^=)X1

k⁼0

j

A

k^jund^X1

k⁼0

A

ksind konvergent.

Satz 2.4 (Cauchy-Produkt)

Es seien^X1

k⁼0

j

A

k^jund ^X1

k⁼0

j

B

k^j konvergent. Dann ist ^X1

k⁼0

A

k

!

1

X

k⁼0

B

k

!

= 1

X

k⁼0

C

k mit den Gliedern

C

k ^=Xk

n⁼0

A

n

B

k^-n.

Beispiel:

Einige der am haugsten vorkommenden Reihen sind:

1. Geometrische Reihe ^X1

k⁼0

q

^k: Fur ^j

q

^j

< 1

gilt ^X1

k⁼0

q

^{k =}

1

1

^-

q

^{. Fur j}

q

^j

1

ist die geometrische Reihe divergent.

2. Harmonische Reihe: ^X1

n⁼1

n 1

. Diese Reihe ist divergent.

3. Alternierende harmonische Reihe: ^X1

n⁼1

(-

1

⁾ⁿ

n

. Diese Reihe ist konvergent.

4. ^X1

k⁼1

k 1

^{2 =}

²

6

^. 5. ^X1

k⁼0

x

^k

k

^! konvergiert fur alle

x

^2R.

6

3 Grenzwerte und Stetigkeit

3.1 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

Wir betrachten das Verhalten einer Funktion

f

^:

D

^{R ! R} in der Umgebung eines Punktes

x

0 ²

D

.

Denition 3.1

Die Funktion

f

hat in

x

0 den Grenzwert

a

( lim_x

!x0

f

⁽

x

^{) =}

a

), falls gilt: Fur jede Folge ⁽

x

n⁾

von Punkten

x

n²

D

^nf

x

0^gmit lim_n

!1

x

n⁼

x

0 ist lim_n

!1

f

⁽

x

n⁾⁼

a

.

Bemerkung:

Eine alternative Denition lautet:

8

" > 0

⁹

> 0

⁸

x

²

D

^{: j}

x

^-

x

0^j

<

^=)j

f

⁽

x

^)-

a

^j

< ":

Satz 3.1 (Rechenregeln fur Grenzwerte)

Die Grenzwerte lim_x

!a

f

⁽

x

⁾ und lim_x

!a

g

⁽

x

⁾ mogen existieren. Dann gilt:

xlim^!a⁽

f

⁽

x

⁾⁺

g

⁽

x

^{)) =} _xlim

!a

f

⁽

x

⁾⁺_xlim

!a

g

⁽

x

⁾

xlim^!a⁽

f

⁽

x

⁾

g

⁽

x

^{)) =} _xlim

!a

f

⁽

x

⁾_xlim

!a

g

⁽

x

⁾

xlim^!a⁽

f

⁽

x

^{)) =}

_xlim

!a

f

⁽

x

⁾

;

fur

^2R

xlim^!a⁽

f

⁽

x

⁾

=g

⁽

x

^{)) =} _xlim

!a

f

⁽

x

⁾

=

_xlim

!a

g

⁽

x

⁾ fur lim_x

!a

g

⁽

x

⁾⁶⁼

0 Denition 3.2

1. Gilt fur jede Folge ⁽

x

n⁾

D

mit

x

n

< a

und

x

n ^!

a

, dass lim_n

!1

f

⁽

x

n^{) =}

c

, so heit

c

⁼_xlim

!a^-

f

⁽

x

⁾ der linksseitige Grenzwert von

f

in

a

.

2. Gilt fur jede Folge ⁽

x

n⁾

D

mit

x

n

> a

und

x

n ^!

a

, dass lim_n

!1

f

⁽

x

n^{) =}

c

, so heit

c

⁼_xlim

!a⁺

f

⁽

x

⁾ der rechtsseitige Grenzwert von

f

in

a

. 3. Gilt fur jede Folge⁽

x

n⁾

D

mit

x

n^!1, dass lim_n

!1

f

⁽

x

n⁾⁼

c

, so heit

c

⁼_xlim

!1

f

⁽

x

⁾ der Grenzwert von

f

in ¹.

4. Gilt fur jede Folge ⁽

x

n⁾

D

mit

x

n ^{! -1}, dass lim_n

!1

f

⁽

x

n^{) =}

c

ist, so heit

c

⁼_xlim

!-1

f

⁽

x

⁾ der Grenzwert von

f

in ^-1.

5. Gilt fur jede Folge ⁽

x

n⁾

D

mit

x

n ^!

a

, dass

f

⁽

x

n^{) ! 1}

;

so schreibt man:

xlim^!a

f

⁽

x

^{) = 1}

:

Man sagt, dass

f

in

a

den uneigentlichen Grenzwert ¹ hat. Der uneigentliche Grenzwert lim_x

!a

f

⁽

x

^)=-1 wird analog deniert.

Bemerkung:

Es gilt lim_x

!a

f

⁽

x

⁾⁼

c

⁽⁾_xlim

!a^-

f

⁽

x

⁾⁼_xlim

!a⁺

f

⁽

x

⁾⁼

c:

Denition 3.3

Die Funktion

f

^:

D

^!R heit stetig in

x

0 ²

D

, wenn lim_x

!x0

f

⁽

x

^{) =}

f

⁽

x

0⁾ ist.

f

heit stetig auf der Menge

A

D

, wenn

f

in jedem Punkt

x

0 ²

A

stetig ist.

7

Satz 3.2 (Rechenregeln fur stetige Funktionen)

Die Funktionen

f

und

g

seien stetig in

x

0. Dann sind auch

f

g; f

g

und ^j

f

^j stetig in

x

0. Ist

g

⁽

x

0⁾⁶⁼

0

, so ist auch _g^f stetig in

x

0.

Bemerkung:

Stetigkeit einer Funktion

f

auf einem Intervall^[

a; b

^] bedeutet anschaulich, dass man den Graph von

f

(die Menge

G

⁽

f

^{) := f(}

x; y

^{) 2 R2j}

x

^{2 [}

a; b

^]

; y

⁼

f

⁽

x

^)g) ohne Absetzen zeichnen kann.

Beispiel:

^Sind

^P

^und

^Q

Polynome, so gilt:

P

und

Q

sind stetig auf^R und

R

⁼ _Q^P ist stetig auf

D

^=f

x

^2Rj

Q

⁽

x

⁾⁶⁼

0

^g.

3.2 Eigenschaften stetiger Funktionen

Satz 3.3 (Zwischenwertsatz)

Es sei

f

^{: [}

a; b

^{]! R} stetig auf dem ganzen Intervall^[

a; b

^] und

f

⁽

a

⁾

f

⁽

b

⁾

< 0

. Dann gibt es ein

²⁽

a; b

⁾ mit

f

⁽

⁾⁼

0

.

Beweisskizze:

Es sei o.B.d.A.

f

⁽

a

⁾

< 0

und

f

⁽

b

⁾

> 0

. Man konstruiert eine Folge von Intervalle ^[

x

n

; y

n^] mit den Eigenschaften:

1.

f

⁽

x

n⁾

< 0

und

f

⁽

y

n⁾

> 0

2.

y

n^-

x

n⁼ b2^-na

Dabei geht man wie folgt vor:

x

0 ⁼

a; y

0 ⁼

b

. Kennt man

x

n^-1 und

y

n^-1, so betrachtet man

n ⁼ xn^-1⁺2yn^-1. Ist

f

⁽

n^{) =}

0

, so ist

⁼

n gefunden. Ist

f

⁽

n⁾

< 0

, so setzt man

x

n⁼

nund

y

n ⁼

y

n^-1. Ist

f

⁽

n⁾

> 0

, so setzt man

x

n ⁼

x

n^-1 und

y

n⁼

n. Aufgrund der Konstruktion ist⁽

x

n⁾monoton wachsend und

y

nmonoton fallend. Da

x

n

; y

n^2[

a; b

^]sind, konvergieren die beiden Folgen, wobei wegen

y

n^-

x

n ⁼ b^-a

2ⁿ gilt lim_n

!1

x

n ⁼_nlim

!1

y

n ^=:

. Aus der Stetigkeit von

f

folgt die Ungleichung

f

⁽

⁾

0

f

⁽

⁾ und damit

f

⁽

⁾⁼

0:

Diese Methode zur Konstruktion einer Nullstelle von

f

heit "Bisektionsmethode\.

Satz 3.4 (Existenz von Minimum und Maximum)

Es sei

f

^{: [}

a; b

^{] ! R} stetig auf dem abgeschlossenen Intervall ^[

a; b

^]. Dann nimmt

f

in

[

a; b

^] Minimum und Maximum an, d.h. ⁹

x; x

^2[

a; b

^{] 8}

x

^2[

a; b

^{] :}

f

⁽

x

⁾

f

⁽

x

⁾

f

⁽

x

⁾.

8

4 Dierentialrechnung

4.1 Dierenzierbarkeit

Die Stetigkeit bedeutet, dass der Graph der Funktion

f

"keine Sprunge\ macht. Die Dif- ferenzierbarkeit fordert mehr, namlich dass der Graph von

f

"keinen Knick\ hat oder gleichbedeutend, dass man an den Graphen von

f

eine Tangente anlegen kann.

Denition 4.1

Die Funktion

f

heit dierenzierbar in

x

0, falls der Grenzwert

f

⁰⁽

x

0^{) =} _xlim

!x0

f

⁽

x

^)-

f

⁽

x

0⁾

x

^-

x

0

existiert. Die Zahl

f

⁰⁽

x

0⁾ heit die Ableitung von

f

an der Stelle

x

0.

Geometrische Interpretation:

^Mit

h

⁼

x

⁼

x

^-

x

0 stellt der Dierentialquotient

y x

⁼

f

⁽

x

^)-

f

⁽

x

0⁾

x

^-

x

0 ⁼

f

⁽

x

0 ⁺

h

^)-

f

⁽

x

0⁾

h

^{die Stei-}

gung der Sekante (Sehne) zwischen

P

0 und

P

dar.

Fur

h

^!

0

, d.h.

x

^!

x

0, wird die Sekante zur Tangenten in

x

0 und die Steigung der Tangen- ten ist

f

⁰⁽

x

0^{) =}

df

dx

⁽

x

0^{) =} _hlim

!0

f

⁽

x

0⁺

h

^)-

f

⁽

x

0⁾

h :

Fur den Winkel zwischen der Tangenten und der

x

-Achse gilt tan

⁼

f

⁰⁽

x

0⁾.

-

x y

6

P

0

P

x

0

x

0⁺

x

6

?

y

Bemerkungen:

1.

df

dx

⁽

x

0⁾⁼

f

⁰⁽

x

0⁾ heit der Dierentialquotient von

f

in

x

0. 2. Eine alternative Denition der Dierenzierbarkeit lautet:

Ist

f

⁽

x

⁾⁼

f

⁽

x

0⁾⁺

a

⁽

x

^-

x

0⁾⁺

r

⁽

x

⁾⁽

x

^-

x

0⁾, so ist

f

dierenzierbar in

x

0 genau dann, wenn lim_x

!x0

r

⁽

x

⁾⁼

0

ist. Die Zahl

a

ist die Ableitung von

f

in

x

0,

a

⁼

f

⁰⁽

x

0⁾. 3. Die Gleichung der Tangente an

f

in

x

0 lautet:

T

⁽

x

⁾⁼

f

⁽

x

0⁾⁺

f

⁰⁽

x

0⁾⁽

x

^-

x

0⁾.

Dieretial:

Lokal lasst sich die Anderung des Funktionswertes durch den Zuwachs auf der Tan- genten annahern. Fur kleines

x

⁼

dx

gilt

y

⁼

f

⁽

x

0 ⁺

dx

^{) -}

f

⁽

x

0⁾

f

⁰⁽

x

0⁾

dx:

Der Ausdruck

df

⁼

f

⁰

dx

heit Dierential von

f

. Man sagt, dass eine Anderung des Argumentes von

f

um die innitesimale Groe

dx

eine Anderung des Funk- tionswertes um die Groe

df

⁼

f

⁰

dx

bewirkt. Die Ableitung beschreibt also die lokale Anderungs- rate von

f

.

-

x y

6

P

0

P

x

0

x

0⁺

x

6

?

y

-

x

⁼

dx

? 6

dy

9

Satz 4.1 (Stetigkeit dierenzierbarer Funktionen)

Die Funktion

f

sei dierenzierbar in

x

0. Dann ist

f

in

x

0 stetig.

Beweis:

_xlim

!x0

f

⁽

x

⁾⁼_xlim

!x0

,

f

⁽

x

0⁾⁺

f

⁰⁽

x

0⁾⁽

x

^-

x

0⁾⁺

r

⁽

x

⁾⁽

x

^-

x

0⁾⁼

f

⁽

x

0⁾

: Satz 4.2

Es seien

f

und

g

dierenzierbar in

x

0 und

;

^2R. Dann gilt:

1.

f

⁺

g

ist dierenzierbar in

x

0 und ⁽

f

⁺

g

⁾⁰⁽

x

0⁾⁼

f

⁰⁽

x

0⁾⁺

g

⁰⁽

x

0⁾

:

2.

fg

ist dierenzierbar in

x

0 und ⁽

fg

⁾⁰⁽

x

0⁾⁼

f

⁰⁽

x

0⁾

g

⁽

x

0⁾⁺

f

⁽

x

0⁾

g

⁰⁽

x

0⁾.

("Produktregel\).

3. Ist

g

⁽

x

0⁾⁶⁼

0

, so ist _g^f in

x

0 dierenzierbar und

f g

0

(

x

0⁾⁼

g

⁽

x

0⁾

f

⁰⁽

x

0^)-

f

⁽

x

0⁾

g

⁰⁽

x

0⁾

g

²⁽

x

0⁾ . ("Quotientenregel\).

Beweis:

(nur Produktregel) Es ist

(

fg

⁾⁽

x

^)-(

fg

⁾⁽

x

0⁾

x

^-

x

0 ⁼

f

⁽

x

⁾

g

⁽

x

^)-

f

⁽

x

0⁾

g

⁽

x

⁾⁺

f

⁽

x

0⁾

g

⁽

x

^)-

f

⁽

x

0⁾

g

⁽

x

0⁾

x

^-

x

0 ⁼

f

⁽

x

^)-

f

⁽

x

0⁾

x

^-

x

0

| {z }

!f⁰⁽x₀⁾

g

⁽

x

⁾

|{z}

!g⁽x0⁾

+

f

⁽

x

0⁾

g

⁽

x

^)-

g

⁽

x

0⁾

x

^-

x

0

| {z }

!g⁰⁽x₀⁾

!

f

⁰⁽

x

0⁾

g

⁽

x

0⁾⁺

f

⁽

x

0⁾

g

⁰⁽

x

0^{) (}

x

^!

x

0⁾

: Satz 4.3 (Kettenregel)

Es sei

f

dierenzierbar in

x

0 und

g

dierenzierbar in

y

0 ⁼

f

⁽

x

0⁾. Dann ist

g

f

dieren- zierbar in

x

0 und ⁽

g

f

⁾⁰⁽

x

0⁾⁼

g

^0,

f

⁽

x

0⁾

f

⁰⁽

x

0⁾.

Bemerkung:

Mit Dierentialen lautet die Kettenregel

dg dx

⁼

dg

df

df dx

^.

Beweis:

^{Es ist}

g

⁽

y

^{) =}

g

⁽

y

0⁾⁺

g

⁰⁽

y

0⁾⁽

y

^-

y

0⁾⁺

r

g⁽

y

⁾⁽

y

^-

y

0⁾

=)

g

⁽

f

⁽

x

^{)) =}

g

⁽

f

⁽

x

0⁾⁾⁺

g

^0,

f

⁽

x

0⁾⁽

f

⁽

x

^)-

f

⁽

x

0⁾⁾⁺

r

g⁽

f

⁽

x

⁾⁾⁽

f

⁽

x

^)-

f

⁽

x

0⁾⁾

=)

g

⁽

f

⁽

x

^{)) =}

g

⁽

f

⁽

x

0⁾⁾⁺

g

^0,

f

⁽

x

0⁾⁽

f

⁰⁽

x

0⁾⁽

x

^-

x

0⁾⁺

r

f⁽

x

⁾⁽

x

^-

x

0⁾⁾

+

r

g⁽

f

⁽

x

⁾⁾⁽

f

⁰⁽

x

0⁾⁽

x

^-

x

0⁾⁺

r

f⁽

x

⁾⁽

x

^-

x

0⁾⁾

=)

g

⁽

f

⁽

x

^{)) =}

g

⁽

f

⁽

x

0⁾⁾⁺

g

^0,

f

⁽

x

0⁾

f

⁰⁽

x

0⁾

| {z }

(gf⁾⁰⁽x0⁾

(

x

^-

x

0⁾

+

g

^0,

f

⁽

x

0⁾

r

f⁽

x

⁾⁺

r

g⁽

f

⁽

x

⁾⁾⁽

f

⁰⁽

x

0⁾⁺

r

f⁽

x

⁾⁾

| {z }

rgf⁽x⁾

(

x

^-

x

0⁾

:

10