Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der Parabel mathphys-online

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Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der Parabel

Aufgabe 1

Gegeben ist der Graph der Funktion f sowie der Funktionsterm mit f x( ) x² x 7

 4

 und x ∈ IR.

a) Bestimmen Sie das Intervall, in dem die Funktion f umkehrbar ist und die zugehörige Wertemenge.

b) Markieren Sie den umkehrbaren Teil des Funktionsgraphen und zeichnen Sie den Graphen der zugehörigen Umkehrfunktion.

c) Bestimmen Sie rechnerisch den Term der Umkehrfunktion und geben Sie die Wertemenge an.

Teilaufgabe a)

Scheitel: xS 1

 2 yS^ f xS  ^ ³₂ ^⇒ ^S^^_¹₂^³₂^^_

Monotonieintervalle bei der nach oben geöffneten Parabel:

⇒ G

f ist streng monoton fallend für x ∈ ] ∞ / 1 2 ]

⇒ G

f ist streng monoton steigend für x ∈ [ 1 2 / ∞ [

Wertemenge: W = [ 1.5 ; ∞ [

Teilaufgabe b)

2 1 0 1 2 3 4 5 6

2

1 1 2 3 4 5 6

Diagramm 1

x-Achse

y-Achse

2 1 0 1 2 3 4 5 6

2

1 1 2 3 4 5 6

Diagramm 2

x-Achse

y-Achse

G_f2 G_f1

G_u2

G_u1

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Wurzelfunktion als Umkehrfkt.

der Quadratfunktion Seite 1 von 4

(2)

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Teilaufgabe c)

Vertauschung der Variablen:

y1=f x( ) y1 x² x 7

 4

 = ersetzen x =y

ersetzen y1 =x x y² y 7

 4

 =

Auflösen nach y:

u0 x( )

2 2 x 3 2

1

 2

1 2

2 2 x  3

 2

















Umkehrfunktion 1:

D₁ = [ 1.5 ; ∞ [ W₁ = ] ∞ / 0.5 ] u1 x( ) 1 2

2 2 x  3

 2



Umkehrfunktion 2:

D₂ = [ 1.5 ; ∞ [ W₂ = [ 0.5 / ∞ [ u2 x( ) 1 2

2 2 x  3

 2



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(3)

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Aufgabe 2

Gegeben ist der Graph der Funktion f sowie der Funktionsterm mit f x( ) 1

2x² x 5

 2



und x ∈ IR.

a) Bestimmen Sie das Intervall, in dem die Funktion f umkehrbar ist und die zugehörige Wertemenge.

b) Markieren Sie den umkehrbaren Teil des Funktionsgraphen und zeichnen Sie den Graphen der zugehörigen Umkehrfunktion.

c) Bestimmen Sie rechnerisch den Term der Umkehrfunktion und geben Sie die Wertemenge an.

Teilaufgabe a)

Scheitel: xS 1 yS^ f xS  ^ ³ ^⇒ ^S⁽^¹^³⁾

Monotonieintervalle bei der nach oben geöffneten Parabel:

⇒ G_f ist streng monoton steigend für x ∈ ] ∞ / 1 ]

⇒ G_f ist streng monoton fallend für x ∈ [ 1 / ∞ [

Wertemenge: W = ] ∞ ; 3 ]

Teilaufgabe b)

4 3 2 1 0 1 2 3 4

4

3

2

1 1 2 3 4 Diagramm 1

x-Achse

y-Achse 4 3 2 1 0 1 2 3 4

4

3

2

1 1 2 3 4 Diagramm 2

x-Achse

y-Achse

G_u2 G_f1

G_f2 G_u1

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Teilaufgabe c)

Vertauschung der Variablen:

y1=f x( ) y1 5

2 x x²

 2

 = ersetzen x =y

ersetzen y1 =x x 5

2  y y²

 2

 =

Auflösen nach y:

u0 x( ) 2 3x1

2 3x

  1







 



Umkehrfunktion 1:

D₁ = ] ∞ ; 3 ] W₁ = ] ∞ / 1 ] u1 x( )  2 3 x 1

Umkehrfunktion 2:

D₂ = ]∞ ; 3 ] W₂ = [ 1 / ∞ [ u2 x( ) 2 3 x 1

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