Elektrische Kleinmaschinen

4 ^ei

* kann Spuren von Katzen enthalten nicht für Humorallergiker geeignet alle Angaben ohne Gewehr ^*

Elektrische Kleinma- schinen

1. Grundlagen

1.1. Gr¨ oßen

magnetische Gr¨oßen

Durchflutung (magnetische Spannungsquelle) Θ [A]

Fluss Φ [Vs]

verketteter Fluss Ψ [Vs]

mag. Flussdichte B⃗ h

Vs m2 i

mag. Feldst¨arke H⃗ h_A

m i

magnetische Spannung V_m [A]

magnetischer Widerstand Rm

h_A Vs i

Streuziffer σ [1]

elektrische Gr¨oßen

Stromdichte ⃗s h_A

m2 i

dielektrische Verschiebung D⃗ h

As m2 i

el. Feldst¨arke E⃗ h_V

m i

Strombelag a h

A m i

spezifischer Widerstand ρ [Ω m]

mechanische Gr¨oßen

Drehmoment M [Nm]

Massentr¨agheitsmoment J h

kg m²i

Spulenwindungszahl w_Sp [1]

effektive Windungszahl w_eff [1]

Luftspalth¨ohe δ [mm]

scheinbarer Luftspalt δ^′ [mm]

effektiver Luftspalt δ^′′ [mm]

Anzahl der Leiter pro Nut Z_N [1]

Zahl der Einzelspulen (Kommutatorsegmente) Z_K [1]

ideelle Eisenl¨ange l_i [m]

bewickelbare Nutfl¨ache A_N h

m²i

magnetisch aktiver Winkel β_M [rad]

Drehzahl n

h1 s i

Rotornutenzahl N [1]

Rotornutenzahl pro Pol Q [1]

Anzahl paralleler Zweige a [1]

N¨aherungsfaktoren

Carterfaktor k_C [1]

Eisenf¨ullfaktor k_Fe [1]

Eisenfaktor (Magnnetisierungsbedarf Eisen) k_µ [1]

Nutf¨ullfaktor k_Q [1]

Permeabilit¨at µ0= 4π·10^{−7 V s}_{A m} Permittivit¨at ε0= 8,854·10^{−12 A s}_{V m}

1.1.1. Allgemeine Maschinenbegriffe - Durchmesser

Achsh¨ohe Dδm

δ

DI2 D_A1

DA2

D_I1 Maße

Stator Außend. D_A1

Stator Innend. D_I1

Rotor Außend. D_A2

Rotor Innend. D_I2

Mittl. Luftspaltd. D D_δm

Luftspalth¨ohe δ

1.1.2. Allgemeine Maschinenbegriffe - Abmessungen

h_J Joch

Pol

Pol Zahn

Nut τN

τp b_N hN

Maße

Nutzahl N [1]

Nutteilung τ_N [cm]

Polpaarzahl p [1]

Polteilung τp [cm]

Nuth¨ohe h_N [cm]

Nutbreite b_N [cm]

Jochh¨ohe h_J [cm]

τ_N=^π·D_N τ_p=^π·D_2p

1.2. Grundlegende Gleichungen

1.2.1. Maxwell

rotH⃗=⃗s+^{∂ ⃗}_∂t^D

rotE⃗=−^{∂ ⃗B} rotH⃗=⃗s (<10kHz) ∂t

divB⃗= 0 divD⃗=γ 1.2.2. Durchflutungs- und Induktionsgesetz

Durchflutungsgesetz Induktionsgesetz

¸

LAH⃗d⃗l=˜

AL⃗sdA⃗= Σi= Θ

u_i= ^∂Ψ(t)_∂t =_∂t^∂ ˜ AB⃗dA⃗

¸

LE⃗d⃗l+u_i= 0 1.2.3. Kenngr¨oßen

magnetische Gr¨oßen elektrische Gr¨oßen Φ =˜B⃗dA⃗ I=˜

⃗sdA⃗ Vm=´H⃗d⃗l U=´E⃗d⃗l

Θ =w·I

Rm=^Vm_Φ =_µ·A^l R= ^U_I =ρ_A^l B⃗=µ·H⃗ D⃗=ε·E⃗ Ψ = Φ·w=L·i

Φ

Rm V Θ

I

R U

U

magnetisch wirksame Fl¨ache A=k_Fe·Ageometrisch

1.3. Entstehung des Drehmoments

1.3.1. Lorenzkraft

F⃗_L=I·(⃗l×B)⃗ 1.3.2. Drehmoment

M_D=F·r=M_L+M_R+J^dω_dt

m_d(t) = D

2 2

· ˆ li

2

−li 2

ˆ_2π 0

a(ϑ, z, t)B_δ(ϑ, z, t) dϑdz

1.3.3. Strombelag

a= ˆ

⃗sd⃗l=∂P i

∂l = ∂

∂l

¨ A

⃗sdA⃗

=−∂Θ

∂l

mittlerer Strombelag Amplitude

a_m= ^bN τN ·A_N=

PΘN

τp A_N=^ZN·i bN = ^ΘN

bN 1.3.4. Felderregerkurve

V(ϑ) = Θ(ϑ) =−D 2 ˆ

ages(ϑ) dϑ

1.4. Effektiver Luftspalt

Magnetfeld wegen Nuten inhomogen. Ausgleich durch Carterfaktork_C (ungenutetk_Ci= 1):

δ^′=k_C·δ k_C=k_C1 Stator

·k_C2 Rotor

k_Ci = ^τNi τNi−γi·δ

δ^′′=k_µ·k_Abfl·δ^′ γ_i= bNi

δ

!2

5+ bNi δ

! k_µ= 1 +_2·V^VmFe mδ′

1.5. Streuung

1.5.1. Polstreuung

Φ_E: Gesamtfluss durch Polspule Φ_Eh: Hauptfluss

Φ_Eσ: Streufluss

σ_E=^Φ_Φ^Eσ Eh Φ_E= Φ_Eh+ Φ_Eσ= (1 +σ_E)·Φ_Eh

1.5.2. Nut- und Zahnkopfstreuung

Φ_N: Gesamtfluss der in Nuten gebetteten Spulen Φ_Nh: Hauptfluss

Φ_Nσ: Streufluss (Nut- & Zahnkopfstreuung)

σ_N= ^2·Φ_Φ^Nσ Nh Φ_N= Φ_Nh+ 2Φ_Nσ= (1 +σ_N)·Φ_Nh

1.5.3. Stirnstreuung Φ_S: Gesamtfluss Stirnstreuung Φ_Sh: Hauptfluss Stirnstreuung Φ_Sσ: Streufluss Stirnstreuung

σ_S= ^Φ_Φ^Sσ Sh gesamte Streuziffer:σges= ^Φσ,ges_Φ

Sh Φ_S= Φ_Sh+ Φ_σ,ges= (1 +σ_ges)·Φ_Sh 1.5.4. Induktivit¨aten

Hauptinduktivit¨at:L_h=^Ψ_i^h

Gesamte Streuinduktivit¨at:L_σ=^Ψσ_i =σ·L_h Totale Induktivit¨at:L_ges= ^Ψges_i = (1 +σ)·L_h

1.6. Spulen

Spulenwindungszahl w_Sp=^ZN_2·u

Nebeneinanderliegende Spulenseiten pro Nut u= ^ZK_N

Wellenwicklung a= 2

Schleifenwicklung a= 2·p

1.7. Verluste

1.7.1. Kupferverluste

P_Cu=R·I² 1.7.2. Reibungsverluste

•Ventilationsverluste (Verwirbelung im K¨uhlmittel, Str¨omungsverluste)

•Lagerreibung

•Reibung an Kontaktfl¨achen (z.B Schleifringe, Kommutator) 1.7.3. Hystereseverluste

P_FeH=m_Fe·v_15H· ^f

50 Hz·(_{1,5 T}^B )² Verlustziffer:v_15H(f= 15Hz, B= 1,5 T)h_W

kg i

(Herstellerangabe) 1.7.4. Wirbelstromverluste

P_FeW=m_Fe·v_15W·(_{50 Hz}^f )²·(_{1,5 T}^B )² Verlustziffer:v_15W(f= 15Hz, B= 1,5 T)h

W kg i

(Herstellerangabe) 1.7.5. Gesamte Eisenverluste

P_Fe=m_Fe·v_Fe15·_{50 Hz}^f ·(_{1,5 T}^B )²

1.8. Leistung

1.8.1. mechanische Leistung

P_m= 2π·n·M_i=ω_m·M_i 1.8.2. elektrische Leistung

P_el=U·I

1.9. Wirkungsgrad

η= _Pauf^Pab

η_Motor=^Pm_P

el η_Generator= ^Pel

Pm

2. Permannentmagnete

2.1. Gr¨ oßen

Remanenzflussdichte Br [T]

kritische Feldst¨arke (aus Kennlinie ablesen) H_M,krit h_A m i

Steigung Scherungsgerade k_SG [1]

Luftspalth¨ohe Permanentmagnet δ_M [mm]

L¨ange der Magnete l_M [m]

H¨ohe Permanentmagnete h_M [m]

Sicherheitsfaktor γ_krit [1]

2.2. Allgemein

β_A

β_M

βA βM

DA2 DI1 DA1 hJ

hM δ_M

δ

2.2.1. Flussdichte

Luftspalt B_δ=−µ₀^hM

δ′′H_M=B_M^AM Aδ(1−σ) Permanentmagnet B_M=−^hM

δ′′ Aδ AM

µ0

1−σH_M=−k_SG·H_M 2.2.2. Fluss

Luftspalt Φ_δ= (1−σ)Φ_M=B_δA_δ Permanentmagnet Φ_M=B_MA_M

2.2.3. Fl¨ache

Luftspalt A_δ=β_M^D₂l_i=β_M^D₂l₂·k_Fe Permanentmagnet A_M=β_M^D₂^I1l_M

Leiterquerschnitt A_L=^AN·kQ ZN 2.2.4. Materialgr¨oßen

σ=k_σ1·k_σ2 2.2.5. Effektiver Luftspalt

δ^′=k_C2·(δ+δ_M)

δ^′′= (1 +kµ) kµ=_2·^Vµ Hδ·δ′

2.3. Scherungsgerade

Arbeitspunktbestimmung 1.Scherungsgerade:B_M=−k_SG·H_M 2.Materialkennlinie:B_M=µ₀µrH_M+Br 3.Schneiden von Materialkennlinie und Scherungsgerade 4.⇒Arbeitspunkt:H_M=−_µ ¹

0µr+kSGB_r Luftspaltfluss im Arbeitspunkt:

Φ_δP= (1−σ)· k_SG

µ₀µr+k_SG·B_r·l_M·D_I1 2 ·β_M Maximal zul¨assiger Ankerstrom:

I2,max=2π·(h_M+δ^′′) ω₂·β_M ·

(H_M^′′−H_M)µ₀µ_r+k_SG k_SG

1 1 + ^δ′′

hM Maximal zul¨assige Feldst¨arke:H_M^′′ =γ_krit·H_M,krit

3. Gleichstrommaschine

3.1. Gr¨ oßen

Maschinenkonstante (Spannung) k_U [1]

Maschinenkonstante (Drehmoment) k_M [1]

Flusskonstante k_Φ h_Vs

A i

Erregerstromkonstante k_E [1]

Ankerwindungszahl w2 [1]

B¨ursten¨ubergangsspannung U_B [V]

Kommutatorsegmentspannung U_S [V]

3.2. Systemgleichungen

U_A=R_A,res·I_A+U_i+ 2·U_B w₂= N2·Z_N 2a Φ_E=k_Φ·I_E k_U= 4p·w₂

U_i=k_U·Φ_E·n k_M=k_U 2π M_i=k_M·Φ_E·I_A

M_i=M_R+M_L+Jdω dt

3.3. Verhalten

I_A Φ_E

I_N

I < I_N→Reihenschlussverhalten I > I_N→Nebenschlussverhalten

3.4. Gleichstrom-Nebenschlussmaschine

3.4.1. ESB

IA

RA LA

Ui UB UA

RE

IE UE ΦE

3.4.2. Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie

n=U_A−2·U_B

k_U·Φ_E − 2π·R_A,res (k_U·Φ_E)²·M_i 3.4.3. Wichtige Betriebspunkte

Anlaufmoment:(n= 0) M_i,An=k_M·Φ_E·I_A,An Leerlaufdrehzahl:(M_i= 0) n₀= U_A−2·U_B

k_U·Φ_E Anlaufstrom:(n= 0) I_A,An= U_A−2·U_B

R_A,res

n=n₀· 1− M_i M_i,An

!

M_i=M_i,An·

1− n n₀

3.5. Gleichstrom-Reihenschlussmaschine

3.5.1. ESB

I_A R_V

R_A L_EH L_Eσ

U_B

Ui L_Aσ

L_AH R_E

IE U_A

R_P

R_A,res=R_V+R_A+R_E||R_P

3.5.2. Systemgleichungen

I_E=k_E·I_A mitk_E=











1 f¨urR_P→ ∞ 0 f¨urR_P= 0

R_p Rp+R_E sonst Φ_E=k_Φ·I_E=k_Φk_E·I_A

Mi=k_M·Φ_E·I_A=k_Mk_Φk_E·I_A² U_i=k_U·Φ_E·n=k_Uk_Φk_E·I_A·n

3.5.3. Drehmoment-Drehzahl-Kennlinie

M_i=k_Mk_Φk_E· (U_A−2·U_B)² (k_Uk_Φk_E·n+R_A,res)²

Anlaufmoment:(n= 0) M_i,An=k_Mk_Φk_E· U_A R_A,res

!₂

3.6. Permanenterregte Gleichstrommaschine

3.6.1. ESB

R_A L_A

UB

UI U₁

3.6.2. Systemgleichungen

Maximaler Ankerstrom: I_A,max=I_L·a=S·A_L·a Maximale Ankerspannung: U_A,max=U_S·^ZK_2·p

4. Wechselfeld - Drehfeld

4.1. Gr¨ oßen

Stator Index 1

Rotor Index 2

Ordnungszahl der Oberwellen ν [1]

elektrische Frequenz f [Hz]

elektrische Kreisfrequenz ω h

rad s

i ω= 2πf

mechanische Kreisfrequenz ω_m h

rad s

i

Phasenwinkel φ [rad]

Strangachsenwinkel ϑ [rad]

Strangspannung U₁ [V]

Strangstrom I₁ [A]

komplexe Scheinleistung S [VA]

Wirkleistung P [W]

Blindleistung Q [Var]

Strangzahl m [1]

Windungszahl pro Strang w1 [1]

Lochzahl (Nuten pro Pol und Strang) q [1]

Nutwinkel α_N [rad]

Spulenwinkel α_Sp [rad]

Polwinkel α_p [rad]

Spulenweite W_Sp [cm]

Zonungsfaktor ξ_Z [1]

Sehnungsfaktor ξ_S [1]

Nutschlitzbreitenfaktor ξ_N [1]

Schr¨agungsfaktor ξ_Schr [1]

4.2. Stern & Dreieckschaltung

Sternschaltung Dreiecksschaltung U₁=^UN√

3 U₁=U_N

I₁=I_N I₁=^IN√ 3

4.3. Allgemeines zu Wechselgr¨ oßen

a^ν=e^jν2π3 a⁰+a¹+a²= 0 a²=a^∗=e^j4π3 =e^−j2π3

x(t) =√

2·X·cos(ωt+φ)

⃗ x(t) =1

3·h

x_A(t) +⃗a·x_B(t) +⃗a²·x_C(t)i

=

√ 2 2 ·X·e^jωt X=X·e^jφ

4.3.1. Wechselfeld

B(ϑ, t) = ˆB·cos(ϑ−ϑ₀)·cos(ωt−φ) 4.3.2. Drehfeld

B(ϑ, t) = ˆB·cos((ϑ−ϑ₀)−(ωt−φ))

4.4. Einfluss realer Luftspalt

Wicklungsfaktor: ξ_(ν)=ξ_Z(ν)·ξ_S(ν)·ξ_N(ν) w_eff=w_Sp·ξ_(ν)

α_N=^2π_N α_Sp=W_Sp(absolut)·α_N α_p=^2π_2p 4.4.1. Zonung

Erh¨ohung der Lochzahlq (Beschr¨ankt durchN_max= ^Dπ

τN,min) mitτ_N,min≈1 cm w_eff=q·w_Sp·ξ_Z(ν)

ξ_Z(ν)= sin

q·ν^αN₂ p q·sin

ν^αN₂ p= sin

ν^π_2Q^q q·sin

ν^π_2Q¹

4.4.2. Sehnung

K¨urzung der SpulenweiteW_Sp(nicht bei Einschichtwicklung m¨oglich)

w_eff=q·w_Sp·ξ_S(ν)

ξ_S(ν)= sin νπ 2

W_Sp τ_p

!

= sin να_Sp α_p π 2

!

4.4.3. Nutschlitzbreite

w_eff=w_Sp·ξ_N(ν)

ξ_N(ν)= sin

ν^bN_D ν^bN_D

5. Synchronmaschine

5.1. Gr¨ oßen

Erregerstrom I2 [A]

induzierte Polradspannung U_iP [V]

synchrone Reaktanz X_d [Ω]

Selbstinduktivit¨at L [H]

Koppelinduktivit¨at (von Rotor nach Stator) M₂₁ [H]

Polradwinkel ϑ [rad]

Phasenwinkel vonZ₁ φ_Z1 [rad]

Netzleistung (Wirkleistung) P₁ [W]

innere elektrische Leistung P_W [W]

Drehfeldleistung P_δ [W]

mechanische Leistung Pm [W]

Erregerleistung P_E [W]

Leerlaufkurzschlussstrom I_K0 [A]

Dreistr¨angiger Dauerkurzschlussstrom I_KIII [A]

Leerlaufkurzschlussverh¨altnis (LKV) ^IK0 IN [1]

Verketteter Fluss Permanentmagnet Ψ_PM [Vs]

5.2. ESB

I₁ R1(= 0) jXd

U_iP U₁

U₁=Z₁·I₁+U_iP Z₁=R₁+jX_d

X_d=X_1h+X_1σ= 2πf·(L_1h+L_1σ) U_iP

=U_iP=ωM₂₁√ 2·I₂ σ=L_1σ

L_1h

5.3. Systemgleichungen

⃗

u₁=R₁·⃗i₁(t) +∂ ⃗Ψ1(t)

∂t Ψ⃗₁=L₁·⃗i₁(t) +M₂₁·⃗i^′₂(t)

u₂=R₂·i₂(t) +∂Ψ₂(t)

∂t

Ψ₂=L₂·i₂(t) + 3·M₂₁·(⃗i₁(t)e^−jpϑm+⃗i^∗₁(t)e^jpϑm)

5.4. Wichtige Gleichungen

5.4.1. Synchrone Drehzahl Luftspaltfeld

nsyn=n_N= ^f_p¹ 5.4.2. Drehmoment

M_K∼^U1 f1

M_i=−3p ω1

·

"

U1·U_iP Z1

·sin (ϑ−φ_Z1) +U_iP² Z1

·sin (φ_Z1)

#

Kippmoment:

M_K= 3p ω₁·U₁·U_iP

Z₁ = 3p

ω₁·U₁·I_KIII R₁= 0⇒φ_Z1= 0⇒M_i=−M_K·sin(ϑ) 5.4.3. Leistung

S₁=m₁·U₁·I^∗₁

P1=S1·cos (φ) =m1·U1·I1·cos (φ) P_W= 3·U_iP·I₁·cos (φ)

P_δ=ω_m·M_i=P_W−3·R₁·I₁²

Pm= 2π·n·(M_i−M_R) =ωm·(M_i−M_R) =P_δ−P_R P_E=U₂·I₂

η= P_m P₁+P_vE

5.5. Betriebsbereiche

Bei Leerlauferregung (I₂=I₂₀):⇒U₁=U_iP

Bei linearer Leerlaufkennlinie (X_d= const.):I₂=I₂₀·^UiP U1 5.5.1. Leerlauf(I₁= 0)

I20= U_iP ωM₂₁√

2 = U₁ ωM₂₁√

2 5.5.2. Kurzschluss(U₁= 0)

I_KIII=U_iP Z₁

I_K0=I_KIII(I₂₀) =U₁ Z₁ 5.5.3. Betriebsarten

ϑzwischen dem Zeiger vonU₁nachU_iP φzwischen dem Zeiger vonI₁nachU₁ I₂eiltU_iPum90^◦nach

Phasenschieberbetrieb:ϑ= 0(R1= 0VZS - Betrieb am starren Netz)

•Betrieb im Leerlauf

•reine Blindleistungsabgabe bzw. -aufnahme

•cos(φ) = 0⇒

–untererregt:⇒φ= 90 deg –¨ubererregt:⇒φ=−90 deg

Motorbetrieb:ϑ <0(R₁= 0VZS - Betrieb am starren Netz)

untererregtφ >0 U1 ϑ

U_Xd UiP

I1 φ

¨

ubererregtφ <0 ϑ U1

U_Xd

U_iP I₁

φ

Generatorbetrieb:ϑ >0(R1= 0VZS - Betrieb am starren Netz)

untererregtφ >0 ϑ

U₁ U_Xd UiP

I1 φ

¨

ubererregtφ <0 ϑ

U1 UXd U_iP

I₁ φ

5.6. Zeigerdiagramm

Im

Re

.

. I1

U1

UiP jXd·I1

I2 φ ϑ

5.7. Stromortskurve

I₁=I_K0−I_KIII I_KIII=U_iP

U₁ ·I_K0·e^jϑ I_K0=−U₁

Z₁ ·j e^jφZ1

Stromortskurve 1.U₁auf reelle Achse legen 2.Richtung vonU_iPeinzeichnen 3.I_K0einzeichnen

beiR₁= 0 : I_K0eiltU₁um90^◦nach

4.konstante Erregung: Kreis um Spitze vonI_K0mit RadiusI_KIII 5.Richtungen vonI_KIIIundI₁festgelegt durchφbzw.ϑ 6.beiR1= 0: Verl¨angerung vonU_iP⊥I_KIII

Im

Re

P

M

¨ubererregt IKIII> IK0

untererregt IKIII< IK0

Motor

Generator ^{Re(I1 ) =|I1| ·cos(φ)}

U1 UiP U Z1

IK0

IKIII I1 ϑ

φ

−ϑ Spannungsdreieck

Stromdreieck PWkonstant

stabil instabil

5.8. dq-Darstellung

Zeigerdiagramm 1.U₁auf reelle Achse legen

2.I₁einzeichnen

3.Richtung vonU_iPlegtdundqAchse fest (ϑ=unbekannt⇒weiter bei Trick) 4.Zerlegung vonI₁inI_dundI_q 5.Spannungsabfall anX_d=|X_d·I_d| 6.Spannungsabfall anX_q=

X_q·I_q 7.U_iP=U₁−jX_d·I_d−jXq·I_q

Trick

1.ϑ = arg(U₁ −jX_q · I₁) ⇒ Richtungsgerade von U_iP(||jX_dI_d)

2.U_iP=Senkrechte vonU₁−jX_d·I_dauf Richtungsgerade 5.8.1. Systemgleichungen

U_d=R₁·I_d−ω₁L_q·I_q U_q=R₁·I_q+ω₁L_d·I_d+√

2·U_iP U_iP=√

2·ω₁M₂₁·I₂ U2=R2·I2

M_i= 3·p·M₂₁·I₂·Iq 5.8.2. Zeigerdiagramm

Im

Re

jXqI1

. d

q

Iq I1

Id

U1

UiP jXq Iq

jXdId

jXdI1 A× ×^B

jXdI1 = [BU1 ] jXq I1 = [AU1 ]

φ ϑ

5.9. Schenkelpoll¨ aufer

5.9.1. Drehmoment (R1= 0)

M_i^′=−m1·p ω1

U₁

"

U_iP

X_dsin(ϑ) +U1 2

1 Xq

− 1 X_d

! sin(2ϑ)

#

Reluktanzmoment (Reaktionsmoment):

Mr=−m1·p ω1

·U12 2

1 Xq

− 1 X_d

! sin(2ϑ)

Vollpoll¨aufer entwickeln kein Reluktanzmoment wegenL_d=Lq. Maximales Reluktanzmoment bei|ϑ|= 45 deg.

5.9.2. Systemgleichungen

U₁=U_d+U_q+U_iP

=jX_d·I_d+jXq·I_q+U_iP I₁=I_d+I_q

5.10. Permanenterregte Synchronmaschine

5.10.1. Betriebsverhalten

Ψ₁=L₁I₁+ Ψ_PM Ψ_PM=ξ·w₁·Φˆ_δ Ψ_d=L_dI_d+ Ψ_PM Ψq=LqIq

U_iP=√

2ω₁·Ψ_{P M} 5.10.2. Drehmoment

M_D= m1 2

·p·

Ψ_PM·Iq+ (L_d−Lq)·I_dIq

¨

aquvalent zuM_DSchenkelpoll¨aufer 5.10.3. Betriebsarten

•symetrischer Betrieb

•EC-Betrieb als BLDC

6. Asynchronmaschine

6.1. Gr¨ oßen

Ubersetzungsverh¨¨ altnis ..

u [1]

Schlupf s [1]

Kippschlupf s_K [1]

Kippmoment M_K [Nm]

Bezogener Statorwiderstand ρ₁ [1]

Bezogener Rotorwiderstand ρ₂ [1]

Hilfsgr¨oße ∆ρ₁ [1]

Rotor-Statorw¨armeverluste P_Cu [W]

Magnetisierungsstrom I_1µ [A]

Rotor-Vorwiderstand R_2V [Ω]

6.2. ESB

I₁

RFe=^3·U1_P ² Fe R1(= 0) jω1L1σ

jω1L1h U_1i

I_1µ

jω1L^′_2σ R^′_2,ges I^′₂

R^′_2,ges·^1−s_s U₁

6.2.1. ¨Ubersetzungsverh¨altnis

Bei Schleifring-ASM gilt: M₂₁=M₁₂=M ..u=L_1h

M =q_m1 m2·^w_w^1ξ1

2ξ2 ·_ξ¹ Schr =q_m1

m2 ·^w_w^1,eff 2,eff ·_ξ¹

Schr R_2,ges^′ =..

u²·R2,ges R^′_2,ges=R^′₂+R^′_2V U₂=.._u¹·U_1i L^′_2σ=..

u²·(L_2σ+L_2Schr) I^′₂=.._u¹·I₂

6.3. Systemgleichungen

⃗

u1=R1·⃗i1+∂ ⃗Ψ₁

∂t , ⃗Ψ1=L1·⃗i1+M·⃗i2·e^jpϑm 0 =R_2,ges·⃗i₂+∂ ⃗Ψ₂

∂t , ⃗Ψ₂=L₂·⃗i₂+M·⃗i₁·e^−jpϑm Jdω

dt =M_i−M_R−M_L

6.4. Wichtige Gr¨ oßen

6.4.1. Schlupf

s=^nsyn−n_nsyn =^ωsyn−ωm_ωsyn =^ω1−p·_ω ^ωm 1 =^ω_ω²

1

Gegenstrombremse Motor Generator

s >1 1> s >0 s <0 6.4.2. Drehzahl

synchrone Drehzahl Nenndrehzahl

n_syn= ^f_p n_N=n_s(1−s_N) 6.4.3. Leistung

S₁=m₁·U₁·I^∗₁

P₁=S₁·cos (φ) =m₁·U₁·I₁·cos (φ) P_Netz=m1·U1·I1·cos (φ_N) =P1+P_Fe P_δ= 2π·nsyn·M_i=P₁−P_Cu1−P_Fe P_mi= (1−s)P_δ=P_δ−P_Cu2−P_2V =ω_m·M_i

P_m= 2π·n·(M_i−M_R) =ω_m·(M_i−M_R) =P_mi−P_R P_Cu2=s·P_δ=m₂·R₂·I₂²

6.4.4. Phase

ASM immer induktiv⇒φ >0

φ=φ_1Z−φ_1N

φ=







arctan(_a^b) f¨ura >0 arctan(_a^b) +π f¨ura <0, b≥0 arctan(_a^b)−π f¨ura <0, b <0

6.4.5. Weitere Parameter

L_1σ=σ₁·L_1h L₁=L_1h+L_1σ L^′_2σ=σ₂·L_1h L^′₂=L_1h·(1 +σ₂)

Lσ=σ·L1=L1σ+_1+σ^ξSchr 2L^′_2σ ρ₁=_ω^R1

1L1 ρ₂= ^R_ω^2,ges 1L2 =^R

′ 2,ges ω1L′

2

∆ρ1= r

1 +_ρ 1 σ

2

·p 1 +ρ12 σ= 1− ¹

(1+σ1 )·(1+σ2 )= 1−_L^M2 1L2

6.5. Statorstrom

I₁= U₁

ω₁L₁· ρ₂+js

ρ₁·ρ₂−σ·s+j(ρ₂+s·ρ₁) Anlaufstrom:

I_1A=|I₁|(s= 1) =_ω^U1 1Lσ

v u u t

1+ρ22

1−ρ1·ρ2 σ

2 +

ρ1 +ρ2 σ

2

Ideeller Kurzschlussstrom:

I_1Ki=|I₁|(s→ ±∞) =_ω^U1 1Lσ·r ¹

1+ρ1 σ 2 Leerlaufstrom:

I10=|I₁|(s= 0) =_ω^U1 1L1·q ¹

1+ρ12 6.5.1. Magnetisierungsstrom

I_µ= ρ₂+j·s·(σ−σ₁·(1−σ)) ρ₁·ρ₂−σ·s+j·(ρ₂+s·ρ₁)· U₁

ω₁L₁

6.6. Zeigerdiagramm

Zeigerdiagramm 1.U₁auf reelle Achse legen undI₁einzeichnen 2.R₁I₁(gleiche Phasenlage wieI₁)

jω₁L_1σI₁(eiltI₁um90^◦voraus) 3.U_1i=U₁−R₁I₁−jω₁L_1σI₁ 4.I_1µ=_jω^U1i

1L1h (eiltU_1ium90^◦nach) 5.I^′₂=I_1µ−I₁

6.R^′_2,gesI^′₂(parallel zuI^′₂) 7.jω1L^′_2σI^′₂(eiltI^′₂um90^◦voraus) 8.R^′_2,ges·^1−s

s ·I^′₂=−U_1i−R^′_2,gesI^′₂−jω1L^′_2σI^′₂

−Im Re

U1

I1

I1µ I′

2 U1i

jω1L1σ·I1 R1·I1 jω1L′

2σ·I′ 2 R′

2ges·I′ 2

R′ 2ges·1−s

s ·I′ 2

6.7. Stromortskurve

beiR₁= 0 tan(µ) =s_K

StromortskurveR₁= 0∧R_Fe= 0 1.U₁auf reelle Achse legen⇒φ_1U= 0 2.R1= 0⇒I₁₀undI_1Kihaben keinen Realteil 3.Kreismittelpunkt auf Im-Achse zwischenI_1KiundI₁₀ 4.µzwischenP₀undP_A

−Im Re

M× U1

I1N PN

I1A PA

I1Ki P∞

I10 P0 I′ 1+σ2N1 PN

µ φ1N

6.7.1. Schlupfgerade

SchlupfgeradeR₁= 0∧R_Fe̸= 0 1.(BeiR_Fe= 0) MittelpunktMauf -Im Achse 2.Schlupfgerade an beliebiger Stelle einzeichnen

3.gesuchtessaus L¨angenverh¨altnis zu bekanntem Schlupf bestimmen

−Im Re

× U1

M PN

•

•PA

P∞

•

S0

• P0

•

PK•

PK•

× s0

×sK

×−sK

×sN sA

Schlupfgerade 6.7.2. Maßstab

Strommaßstab m_I h_A

cm i

Leistungsmaßstab m_P=m₁·U₁·m_I h_W cm i

Drehmomentmaßstab m_M=_2π·nsyn^mP h

Nm cm i

6.7.3. Ablesbare Werte

R1̸= 0∧R_Fe̸= 0

Aufgenommene elektrische Leistung P₁=P D·m_P

Eisenverluste Stator P_Fe=CD·m_P

Kupferverluste Stator P_Cu1=BC·m_P

Kupferverluste Rotor P_Cu2=AB·m_P

Abgegebene mechanische Leistung Pm=P A·m_P

Inneres Drehmoment M_i=P B·m_M

Definition Punkt D: Orthogonale Projektion vonPauf Im-Achse R₁= 0 B=CundMauf H¨ohe vonP₀

R_Fe= 0 C=DundP₀auf -Im Achse

−Im Re

Drehmomentlinie Leistungslinie

•

• .×

•

•

•

•

•

••

• U1

PN

PA

M PK

PK

P∞

P0 A

B C D

6.8. Drehmoment

M_K∼_U

1 f1

2

M_N∼Φ_δ^U_f¹ 1

M_i=M_R+M_L+J∂ω

∂t 6.8.1. Drehmomentgleichung

M_i= 3p(1−σ) U₁² ω₁²Lσ

s·s_K

∆ρ₁s_K²+ 2^ρ_σ¹(1−σ)s_Ks+ ∆ρ₁s² Kippmoment:

M_K=M_i(s_K) =³₂p·(1−σ) ^U12 ω12Lσ

1

∆ρ1 +ρ1 σ(1−σ)

!

(R₁= 0) :M_K=^m1U1 I1Ki−I10 2π·ns2

Kippschlupf:s_K= ^ρ_σ² s

1+ρ12 1+

ρ1 σ

2

s_K>0 Motor s_K<0 Generator

6.8.2. Klossche Gleichung (AnnahmeR₁= 0)

M_i

M_K= 2·s_K·s s_K²+s²

s_1,2=s_KM_K

± s

s_KM_K2

−s_K²

6.9. Symmetrische Komponenten

sm+sg= 2 sm=s=^ns−n

ns sg=^ns+n ns 6.9.1. Spannungen Mit- und Gegensystem

Mitsystem U_m= ¹₃·(U_u+a·U_v+a²·U_w) Gegensystem U_m= ¹₃·(U_u+a²·U_v+a·U_w) Nullsystem U_m= ¹₃·(U_u+·U_v+·U_w)

Nullsystem verschwindet bei Dreiecksschaltung oder Sternschaltung ohne herausgef¨uhrten Sternpunkt

6.9.2. Drehmoment mit Kompensation (Kippschlupf ¨andert sich) Mges=Mm−Mg

M= 3p·(1−σ)· U₁²

ω²L₁· ρ₂·s

(ρ₁·ρ₂−σ·s)²+ (ρ₂+s·ρ₁)²

7. Universalmotor

7.1. Gr¨ oßen

Drehmoment zeitinvarianter Anteil M_D [Nm]

Pendelmoment (doppelte Speisefrequenz) mp [Nm]

Phasenverschiebungswinkel Strom φ_I [rad]

7.2. ESB

R1 jX1 R2 jX2

Ui U

7.3. Systemgleichungen

Vergleiche Systemgleichungen Gleichstrom-Reihenschlussmotor

U= (Rges+jXges)·I+U_i

Φ_δ=k_Φ·i k^′_U=k_Uk_Φ m_D=k_M·Φ_δ·i

i=√

2·I·cos(ω₁t+φ_I) U_i= n

n_syn·k^′_U·I

7.4. Drehmoment

m_D(t) =M_D+m_p(t) =k_Mk_Φ·I²·( 1

|{z}

MD

+ cos (2ωt+ 2φ_I)

| {z } mp

)

7.4.1. Drehmoment-Drehzahl-Gleichung

M_D=k_Mk_Φ· (U₁−2·U_B)²

R_ges+k^′_U·_nⁿ syn

2 +X_ges²

Synchrone Drehzahl:nsyn= ^f_p

7.5. Zeigerdiagramm

Im

Re

U

I

jXgesI RgesI

U i

φ

7.6. Stromortskurve

Im Re

U

IN IAn

Imax n

φN

7.6.1. Strom

I= U

n

nsyn·k^′_U +Rges

+jXges

Leerlaufstrom:

I₀=I(n→ ∞) = 0 Anlaufstrom:

I_An=I(n= 0) = U Rges+jXges 7.6.2. Phase

tanφ= X_ges n

nsyn·k^′_U+R_ges