EMF Formeln (aus der Zentralübung)

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EMF Formel-Zusammenfassung

Die Zusammenfassung basiert auf der Kurzwiederholung der gesamten Kapitel des Zentral¨ubungsleiters Christoph Weiß.

1. Klassische Kontinumstheorie

1.1. Maxwellsche Gleichungen

Gaußsches Gesetz: Faradaysches ind. Gesetz

divD~ =% rotE~ =−^{∂ ~}_∂t^B

Quellfreiheit des magn. Feldes Amp`ersches Gesetz

divB~ = 0 rotH~ =~j+ ^{∂ ~}_∂t^D

1.2. Materialgleichungen

D~ = ~E B~ =µ ~H ~j =σ ~E+· · ·

1.3. Energie

δw_el=E~ ·δ ~D ^const→ w_el= ¹₂E ~~D

δwmag =H~ ·δ ~B ^{µ const}→ wmag = ¹₂H ~~B

1.4. Bilanzen

∂x

∂t + div~j_x = Π_x

→ Ladungserhaltung: ^∂ρ_∂t + div~j = 0 Energiebilanz (Poynting-Vektor): S~ =E~ ×H~

1.5. Potentiale

φ, ~A ⇒ B~ = rotA~ E~ =−∇φ~ − ^{∂ ~}_∂t^A

Eichfreiheit: A~⁰ =A~−∇λ~ φ⁰ =φ+^∂λ_∂t

Lorenz-Eichung: divA~+µ^∂φ_∂t = 0 Coulomb-Eichung: divA~ = 0

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1.6. Materialgrenzen

D~₂~n−D~₁~n=σ_int E~₁×~n−E~₂×~n= 0 B~₂~n−B~₁~n= 0 H~₂×~n−H~₁×~n=~i

1.7. RWP der Potentialtheorie

φ: stetig an Grenzfl¨ache⇒ ^tan_tan^α_α¹

2 = ¹

2

1.8. RWP

• Ω

• div( ~∇φ) = −ρ

• Randwerte

1.9. L¨osungsmethoden

φ =φ⁽⁰⁾+ϕ

⇒ϕ(~r) = ´

ΩG(~r, ~r⁰)ρ((~r⁰) d³r⁰ Bestimmen derG(~r⁰, ~r⁰):

• Spektralzerlegung

• Als L¨osung einer Punktladung der Gr¨oße 1

1.10. Korrespodenzprinzip

• div(κ ~∇T) = 0

• div(σ ~∇φ) = 0

2. Kompaktmodelle

GebietΩ→ Knoten + Zweige Vorrausetzung: Quasistationarit¨at

⇒ Knotenregel + Maschenregel

2.1. Kapazit¨atsmatrix (ρ= 0) Q_k =

N

P

l=1

C_klV_l Q~ =C

e

V~ W_el= ¹₂V~^>C e V~

Eigenschaft vonC e

: symmetrisch, positiv semi-definit, nicht invertierbar, Alle Zeilen-/Spaltensummen = 0 2.2. Induktivit¨atsmatrix

u_k(t) = r_ki_k(t) +

N

P

l=1

L_kl^di_dt^l (Trafo) W_mag = ¹₂I~^>L

e

~I

Eigenschaft vonL e

: symmetrisch, positiv definit (Unterschiede zu Kapazit¨atsmatrix!)

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2.3. Wechselstrom

u(t) = ˆUsin(ωt+ϕ_m) =Im[Uˆe^jωt]

⇒ Zeiger Uˆ ∈C Uˆ =ZIˆ

i(t) = ˆIsin(ωt+ϕ_m) = Im[Iˆe^jωt]

⇒ Zeiger Iˆ∈C Iˆ=YUˆ

Widerstand: Z=R Kondensator:Z = _jωC¹ Spule:Z =jωL

Leistung:P = ¹₂UˆIˆ^∗=Pw+jPB PS =|P|

3. Harmonische EM-Wellen (σ = 0)

⇒E(~~ r, t) =E~0cos(~k~r−ωt−ϕ0)

Richtung von~k: Ausbreitungsrichtung der Welle

H(~~ r, t) = _µω¹ ~k×E~ E(~^~ r, t) =−_ω¹~k×H~

H~ ⊥E~ H^~ ⊥~k E~ ⊥~k

Erf¨ullt die Wellengleichungen, wenn gilt: ω=c ~k

Wellenl¨ange: λ= ^2π

|^~k| mit µc² = 1 Allgemeiner:

E(~~ r, t) =E₀₁cos(~k~r−ωt−ϕ₁)~e₁+E₀₂cos(~k~r−ωt−ϕ₂)~e₂ mit~e1 ⊥~e2 ⇒Polarisation

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