EMF Zusammenfassung

4 ^ei

* kann Spuren von Katzen enthalten nicht für Humorallergiker geeignet alle Angaben ohne Gewehr ^*

Elektromagnetischer Feldterror

1. N¨ utzliches Wissen rot E ≡ 0

Stromdichte~j(~r) =ρ(~r)~v(~r)

Elektrostatik heißt^{∂ ~}_∂t^D = 0,~j= 0und Magnetostatik ^{∂ ~}_∂t^B= 0sonst spricht man von Elektrodynamik

1.1. Konstanten

Lichtgeschwind. c=√ε¹0µ0 =299 792 458 m s⁻¹ Elektr. Feldkonst. ε₀=8.854 188×10⁻¹²F m⁻¹ Magn. Feldkonst. µ₀= 4π×10⁻⁷H m⁻¹

1.2. Mathematik

x 0 π/6 π/4 π/3 π/2 ²₃π ³₄π ⁵₆π π ³₂π 2π sin 0 ¹₂ √¹

2

√ 3

2 1

√ 3 2

√1 2

1

2 0 −1 0

cos 1

√ 3 2

√1 2

1

2 0 −¹₂ −^√1₂ −

√ 3

2 −1 0 1

tan 0

√ 3

3 1 √

3 −√

3 −1 −^√1₃ 0 0

z=a+bi6= 0in Polarkoordinaten:

z=r(cos(ϕ) +isin(ϕ)) =r·e^iϕ r=|z|=p

a²+b² ϕ= arg(z) =





 + arccos

a r

, b≥0

−arccos a

r

, b <0 Multiplikation:z1·z2=r1·r2(cos(ϕ1+ϕ2) +isin(ϕ1+ϕ2)) Division: ^z_z¹

2 =^r_r¹

2(cos(ϕ₁−ϕ₂) +isin(ϕ₁−ϕ₂)) n-te Potenz:zⁿ=rⁿ·e^nϕi=rⁿ(cos(nϕ) +isin(nϕ)) n-te Wurzel: ⁿ√

z=z_k= ⁿ√ r

cos_ϕ+2kπ n

+isin_ϕ+2kπ n

k= 0,1, . . . , n−1

Logarithmus:ln(z) = ln(r) +i(ϕ+ 2kπ) (Nicht eindeutig!)

1.3. Maxwellsche Gleichungen (Naturgesetze)

Gaußsches Gesetz (inhom.) Faradaysches ind. Gesetz divD~ =% rotE~=−^{∂ ~}_∂t^B Quellfreiheit des magn. Feldes Amp`ersches Gesetz (inhom.) divB~= 0 rotH~ =~j+^{∂ ~}_∂t^D

Zusammen mit Materialgleichungen bildet(E, ~~ H) ein 6 komponen- tiges Elektromagnetisches Feld

1.4. Materialgleichungen

In linearen, r¨aumlich und zeitlich homogenen Medien:

D~= ~E;H~= ¹_µB; Ohmsches Gesetz:~ ~j=σ ~E

1.5. Bauteilgleichungen

Resistiv Kapazitiv Induktiv

dI=GdU dQ=CdU dΦM=LdI

~j=σ ~E D~ =ε ~E B~=µ ~H

dI=~jdA dU=E~d~r dΦ_M=B~dA

~j=qn~v Q(V)≡‚

∂V

D~dA~ I(A)≡ ¸

∂A

H~d~r

Widerst.R=ρ_A^l Kondens.C=^Q_U =ε^A_d SpuleL=µA^N_l² W_el=¹₂CU²

D-Feld H-Feld

Durchflutung

‹

∂V

D~·d~a≡Q(V)

˛

∂A

H~·d~r=I(A) Vereinfacht 4πr²D(r) =Q(V) 2πrH(r) =I(A) Material E~=

D~ ε

B~=µ ~H

Divergenz divD~=ρ divB~= 0

Rotation rotE~+∂ ~B

∂t = 0 rotH~=~j+∂ ~D

∂t

1.6. Formeln der Elektrostatik

Coulombsches Gesetz:F~=_4πε^q

N P i=1

qi(~r−~ri)

|~r−~ri|³ Elektrische Feldst¨arke:E~=^F~_q rotE= 0

Elektrostatische Felder sind konservativ⇔U= Φ(P1)−Φ(P2) = P´2

P1

Ed~~ rist wegunabh¨angig

Potential:Φ(~r) =_4πε¹ N P i=1

qi

|~r−~ri|

Poissongleichung:div(εgrad(Φ)) =−%mitE~=−grad Φ Oberfl¨achenladungsdichte:σ=D~·N~

Energie:W₁₂=´

CF d~~ r=q·U₁₂ Energiedichte:w_el=¹₂E ~~D

1.7. Formeln zu station¨ aren Str¨ omen

I=^dQ_dt =´

A

~jd~amit Stromdichte~j=qn~v=|q|nµ ~E Ohmsches Gesetz:~j=σ ~E U=RImitR=_σ·A^1·l Verlustleistungs(dichte):p_el=~j ~E P=U I Ladungsbilanzglg. (int, diff):´

∂V~jd~a=−^dQ(V_dt ⁾ div~j+^∂%_∂t = 0

1.8. Formeln der Magnetostatik

Lorentzkraft(dichte):F~_L=q·(~v×B)~ f~_L=~j×B~ Elektromagnetische Kraft:F~_em=q·(E~+~v×B)~ Drehmoment einer Leiterschleife:M~ =I ~A×B~=m~×B~

1.9. Formeln zur Induktion

Magnetischer Fluss:Φmag=´ ABd~~ a Bewegungsinduktion:U_ind=−^dΦmag_dt Ruheinduktion:U_ind=−´

A(t)∂ ~B

∂td~a+´

∂A(t)(~v×B)d~~ r

1.10. Integralgleichungen

nach Satz von Gauß:´

∂V Dd~~ a=´

V divDd~ ³r

´

∂A Hd~~ r=´

A rotHd~~ a

1.11. Durchflutungsgesetze:

‹

∂V

D~·d~a≡Q(V)

˛

∂A

H~·d~r=I(A) = ˆ A

~jd~a

div(ε·grad(Φ)) =−ρ

2. Das elektrische Feld

1. Wird erzeugt von Ladung oder sich ver¨anderndes Magnetfeld 2. Innerhalb eines idealen Leiters ist das E-Feld Null(Influenz).

3. Die Feldlinien stehen immer senkrecht auf eine Leiteroberfl¨ache.

4. Die Feldlinien laufen von positiven zu negativen Ladungen.

5. Bei Kugelladungen sinkt das E-Feld radial mit ¹ r2 6. Bei unendlicher Linienladung sinkt das E-Feld radial mit¹_r 7. Bei unendlicher Fl¨achenladung bleibt das E-Feld konstant.

8. Feldlinien verlaufen lieber in hohemεr Spezialfall zylindrischer Leiter:φ=−_2πl^Q ln(_r^r

0) +c

2.1. Elektrische Energiedichte

Energie die in einem Bereich n¨otig ist, um alle Ladungen aus dem unendlichen an ihre Position zu bewegung.

W_el = N P k=2

∆W_el^(k) = _8πε¹ N P i,k=1

i6=k qiqk

|~ri−~rk| =

˝ V

˝ V

ρ(~r)ρ(~r0)

|~r−~r0 | d³rd³r⁰ Substitutionsregel:

q_i= dQ(~r_i) =ρ(~r_i) dV PN

i=1

{~r_i...}q_i→˝ V

{~r_i...}ρ(~r) dV

δW_el=˝ V

Φ(~r)δ%(~r) d³r=˝ V

E~·δ ~Dd³r

2.2. Energie

Die Gesamtenergie einer Ladungsverteilung mitnLadungen besteht aus 1

2(n²+n)summierten Termen.

Elektrisch Magnetisch

δw_el=E~·δ ~D δw_mag=H~·δ ~B

Energiedichte: w_el= D~ ˆ 0

E~⁰dD~⁰ wmag= B~ ˆ 0

H~⁰dB~⁰

Falls ε= const.

µ= const.

w_el= ¹₂E ~~D=

=^ε₂E~²=_2ε¹D~²

wmag=¹₂H ~~B=

= ^µ₂H~²=_2µ¹B~²

Energie: W_el=´

V

w_eldV W_mag=´ V

w_magdV Leistung:Pem=´

VΠemdV=−˜ V

~j(~r)·E(~~r) dV

Energie eines Teilchens beim durchlaufen einer Spannung:E=U·Q Energie des el. Feldes im Plattenkondensator:E=¹₂EDV =¹₂U Q

2.3. Elektromagnetisches Feld

Poynting Vektor:S~:=E~×H~

Leistungsflussdichte:J~_elmag=E~×H~+S~₀(S~₀= 0, falls voneinander unabh¨angige Quellen)

Extensive Gr¨oßeXbesitzt eine Volumendichtex(~r, t), so dass f¨ur jedes KontrollvolumenV⊂R³gilt:X(V) =´

Vx(~r, t) dV Extensive Gr¨oße ist eine Gr¨oße die man abz¨ahlen kann.

Beispiele f¨ur extensive Gr¨oßen:

phys. Gr¨oße X Volumendichte x

Ladung Q Ladungsdichte %_el

Masse m Massendichte %m

Teilchenzahl N Konzentration n

Energie W Energiedichte w

Xbesitzt StromdichteJ~_X(~r, t)mitX=J~_X(~r, t) d~a Xhat ProduktionsrateΠ_X(~r, t)f¨ur Zeit und Volumen Bilanzgleichung: dX(V)

dt =− ˆ

∂V J~_Xd~a+

ˆ V

Π_XdV

Differentielle Form: ∂x

∂t Akkummulationsrate

+ divJ~_X Zu-/Abfluss

= Π_X Generation Halbleiter:

Elektronen^∂n_∂t =−divJ~n+Gn L¨ocher^∂p_∂t =−divJ~p+GpmitGn=Gp Energiebilanz des El.mag.-Feldes:

∂wem

∂t + divJ~_em= Π_em

mitw_em=w_el+w_mag;J~_em=E~×H~+S~₀, mitdiv ~S₀= 0 Π_em=−~j·E~

3. Potentialtheorie

Elektromagnetisches Vektorpotential A(~~r, t):B(~~ r, t) = rotA(~~r, t) Elektromagnetisches Skalarpotential Φ:E(~~ r, t) =−∇Φ−^{∂ ~}_∂t^A(~r, t) Umeichen:A~⁰=A~− ∇χ Φ⁰= Φ +.

χ

Eichfunktion: Riemansche R¨aume haben an jedem Punkt ein anderes L¨angenmaß. Die Eichfunktion gibt an, welches L¨angenmaß an welchem Punkt verwendet werden muss.

3.1. Maxwell Gleichungen in Potentialdarstellung

div(ε∇Φ) + ∂

∂tdiv(ε ~A) =−%

rot(1

µrotA) +ε∂²A~

∂t² +ε∇∂Φ

∂t =~j Lorenzeichung:divA~+εµ^∂Φ_∂t = 0

⇒Wellengleichungen: ∆−εµ∂²

∂t²

! Φ A~

!

=−

% ε µ~j

!

Coulombeichung:divA= 0

⇒Wellengleichungen:

div (ε∇Φ(~r, t)) =−ρ(~r, t)(Poisson)

∆A~−µ^∂2A~

∂t2 =−µ

~j−_∂t^∂(∇Φ) Homogene Wellengleichungen:

E-Feld:~ µ ^δ

δt2E(~~r, t)−∆E(~~r, t) =~0 B-Feld:~ µ ^δ

δt2B(~~r, t)−∆B(~~ r, t) =~0

Elektromagn. Skalarpot.Φ(~r, t)folgtρ(~r, t)ohne Verz¨ogerung!

NF Anteil:−∇Φ HF Anteil: ^∂~_∂t^j Transversale Stromdichte:~jt=~j−ε^∂∇Φ_∂t Biot-Savart Gesetz f¨ur konstanten, homogenen Strom:

H(~~ r) =_4π^I ´ γ

d~r×(~r−~r0)

|~r−~r0 |3

3.2. Feldverhalten an Materialgrenzen

Sprungbedingung f¨ur die Normalenableitung des Potentials:

1

∂Φ

∂n 1−2

∂Φ

∂n

2=σ_intaufΣ

An Grenzfl¨achen gibt es Fl¨achenladungσ: Q= lim

h→0

´

VρdV=´ Aσd~a Die Tangentialkomponente des E-Feldes und die Normalkomponente des B-Feldes sind stetig

D~₂~n−D~₁~n=σ_int B~2~n−B~1~n= 0 E~₁×~n−E~₂×~n= 0 H~₂×~n−H~₁×~n=~j Brechungsgesetz f¨ur elektrische Feldlinien (2 Isolatoren):

tanα1 tanα2

=ε1 ε2 Gleiches gilt f¨ur~j= 0auch f¨ur dasB~bzw.H-Feld~

Homepage: www.latex4ei.de – Fehler bittesofortmelden. von Emanuel Regnath und Martin Zellner– Mail:info@latex4ei.de Stand: 11. M¨arz 2020 um 10:51 Uhr 1

3.3. Randwertprobleme der Potentialtheorie

Homogenes Randwertproblem: Beide Grenzen haben Potential 0.

Zu l¨osen ist diePoisson-Gleichungdiv(ε∇Φ) =−ρaufΩ:^◦ Nr. RWP Randbedingungen auf∂Ω L¨osung 1. Dirichlet Φ

_∂Ω= Φ_D eindeutigΦ∈ C²

2. Neumann ^∂Φ_∂~n

_∂Ω=F_N eindeutig(Φ +C)∈ C²

3. Gemischt

Φ +k^∂Φ_∂~n

∂Ω=F_N eindeutigΦ∈ C² Mit Richtungsableitung ^∂Φ_∂~n

_1/2 = lim

~

r−~r0→0~n(~r₀) · ∇Φ(~r)

~r∈Ω_1/2

L¨osungsansatz:Φ = Φ⁽⁰⁾+ϕ Φ⁽⁰⁾:erf¨ullt hom. DGL und inhom. RB ϕ:erf¨ullt inhom. DGL und hom. RB

In den meisten Elektrostatischen Problemen giltρ = 0, da sich die Ladung nur auf den Grenzfl¨achen von Leitern befindet und nicht im GebietΩin dem die L¨osung vonΦgesucht wird.

In der Praxis sind die meisten RWPs gemischt, wie Leiterkontakte oder W¨armeleitung

Mehrelektroden-Kondensator Q-RWP:

div(ε∇Φ) = 0inΩ^◦und´

∂Ωlε^∂Φ_∂~nd~a=Q_lund besitz bis auf eine additive Konstante eine eindeutige L¨osung

Spektralzerlegung L¨osungsverfahren:

1. Ansatz:Φ = Φ⁽⁰⁾+ϕ

Finde hinreichend glatte FunktionΦ⁽⁰⁾welche inhomogene Rand- gleichungen erf¨ullt

2. Finde Eigenfunktionen vonϕ:f=−div(ε∇~b_ν) =λ_ν~b_ν Es giltλ_ν>0.

3. Ansatzϕ(~r) =P∞

ν=1ανbν(~r)

Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten: aν = ^{<bν|f >}

λν =

1 λν

´ Ωbν∗f dv

4. Spektraldarstellung:G(~r, ~r⁰) =P∞ ν=1b_ν(~r) ¹

λνb_ν(~r⁰)^∗

3.4. Greenfunktion

G(~r, ~r⁰)

Def: L¨osung des RWP mit hom. Randbed. und St¨orungρ(~r) =δ(~r−~r⁰) (Einheitspunktladung bei~r⁰)

Poissongleichung∆ϕ=−^ρ

ε0 wird durch das Coulomb-Integral gel¨ost.

Allg. L¨osung:Φ(~r) =ϕ(~r) +ψ(~r) =´

ΩG(~r, ~r⁰)ρ(~r⁰) d³~r⁰+ψ(~r) f¨urε(~r) = ε:ψ(~r) =−ε˜

∂V(D)

"

∂G(~r, ~r⁰)

∂~n⁰ Φ_D(~r⁰)

# da⁰+

ε˜

∂V(N)

"

G(~r, ~r⁰)∂Φ_N(~r⁰)

∂n⁰

# da⁰

Beispiel Punktladung:G_Vac(~r, ~r⁰) =_4πε^{1 1} k~r−~r0k Spektralzerlegung mit Greenfunktion

Problem: −∆ϕ= ˜f

•Sperationsansatz f¨ur die Eigenfunktionen:

b(~r) =b₁(x₁)b₂(x₂)b₃(x₃)

• −^b 00 1 (x1 ) b1 (x1 )−^b

00 2 (x2 ) b2 (x2 )−^b

00 3 (x3 ) b3 (x3 ) =λ

•Aufteilen des Problems:

−^b 001 (x1 ) b1 (x1 ) =λ₁

−^b 002 (x2 ) b2 (x2 ) =λ₂

−^b 003 (x3 ) b3 (x3 ) =λ₃

•L¨osungsansatz f¨urb₁, b₂, b₃:

b_j(x_j) =A_jsin(k_jx_j) +B_jcos(k_jx_j)mitk_j=p λ_j

• ⇒B_j= 0undk_jL_j=n_jπ

•Eigenfunktionen lauten:

b_j(x_j) =A_jsin(n_j ^π Ljx_j)

•Normiere die Eigenfunktionen:

1=^! Lk´

0

b_j(x_j)²dx_j Die Greenfunktion lautet nun:

G(~r, ~r⁰) = P n1,n2,n3∈N

b_n1n2n3(~r) ¹ λn1λn2λn3

b_n1n2n3(~r⁰)

Spiegelladungsmethode

Konstruktion eines Ersatzproblems durch Spiegelung der negierten Ladung an einer ebenen leitenden Randfl¨ache

G_Halb(~r, ~r₀) = 1 4πε

1

k~r−~r₀k− 1 ~r−~r^∗₀

!

analog f¨ur Winkelr¨aume. Eventuell m¨ussen die gespiegelten Ladungen wie- der gespiegelt werden (m¨oglicherweise unendlich oft), bis sich alles aus- gleicht.

Multipolentwicklung

Coulomb-Integral: Φ(~r) = ´

R3Gvac(~r, ~r⁰)ρ(~r⁰) d³~r⁰ = 1

4πε0

´ R3 ρ(~r)

|~r−~r0|dv⁰

Vereinfachung der Integraldarstellung durch Taylorentwicklung des Integralkerns ¹

|~r−~r0| unter der Annahme

~r⁰

< |~r|:

Φ(~r) =_4πε¹ 0

1 rQ+_4πε¹

0

~r·~p r3 ∓. . .

3.5. Station¨ are Str¨ ome und RWP

Einfl¨usse: Drift, Diffusion, Hall-Effekt, Seebeck-Effekt Drift-Diffusionsmodell:

~j= N P α=1

|q_α|n_αµαE~ Driftstrom

−P^N α=1

qαDα∇n_α Diffusionsstrom

+

+ P^N α=1

σ_αR^H_α~j_α×B~ Halleffekt

− P^N α=1

σ_αP_α∇T Seebeck

− P^N α=1

σαPα∇T

4. Orthogonalreihenentwicklung

Was m¨ochten wir l¨osen? Poisson (∆Φ(~r) =−^ρ(~r)) oder Spezialfall Laplace (∆Φ(~r) = 0).

Poisson (ρ6= 0) Laplace (ρ= 0)

homogene Randwerte

Φ =˝ V

G(~r, ~r⁰)ρ(~r⁰)d³r ϕ: Greenfunktion l¨osen f¨ur Ergebnis und Orthogonal- reihenentwicklung

Φ = 0

inhomogene Randwerte

Ansatz:Φ =ϕ+ψ (Randwertprobleme) ψ: Dirichlet/Neumann RWB, ϕ: Greenfunktion

Orthogonal- reihenentwicklung

4.1.

ϕ

bestimmen

Laplaceoperator: lineare Summe von gewichteten Teill¨osungen ist wieder eine L¨osung.

⇒Ansatz:Φ(~r) =

∞ P n=1

α_nb_n(~r)(α_n: Gewichtung,b_n: Eigenfunkti- on von∆:f⁰⁰=bf)

∆b_n(~r) =

(λnbn(~r), Poisson

0, Laplace

⇒∆Φ(~r) =







∞ P n=1

anλnbn(~r) =−^ρ , Poisson

0, Laplace

Seperationsansatz:∆bn(~r)l¨osen

1. bn(~r) =b1(x)b2(y)b3(z) ˆ=X(x)Y(y)Z(z) 2. in den Ansatz einsetzen→gew¨ohnliche DGL 3. Randwerte einsetzen→mit homogenen RW anfangen 4. Konstanten zusammenfassen→z.B.An·Bn7→A˜n

4.2. L¨ osen von Poisson-Gleichung

−∆b_n=λ_ib_nmitb_n=b₁(x)b₂(y)b₃(z)

−b⁰⁰₁b₂b₃−b₁b⁰₂b₃−b₁b₂b⁰⁰₃=λ_ib₁b₂b₃

−b⁰⁰₁ b₁ −b⁰⁰₂

b₂ −b⁰⁰₃

b₃ =λ_i⇒−b⁰⁰_i(x_i) b_i(x_i) =λ_i

⇒b⁰⁰_i(x_i) +b_i(x_i)λ_i= 0^! (1)

Ansatz f¨ur DGL: b_i(x_i) =A_isin(x_ik_i) +B_icos(x_ik_i) in (1)

∂²

∂x²_i(A_isin(k_ix_i) + B_icos(k_ix_i)) + λ_i(A_isin(k_ix_i) + B_icos(k_ix_i))= 0^!

(A_isin(k_ix_i) +B_icos(k_ix_i))(λ_i−k²_i)= 0^!

⇒λ−k²_i= 0⇔ λ_i=k²_i p λ_i=k_i Randwerte f¨urb_iAnsatz:A_isin(k_i0) +B_icos(k_i0) b_i(0) = 0 =B_i

b_i(L_i) =A_isin(k_iL_i) = 0⇒ k_i=nπ L_i , n∈N Orthonormierung´

sin²(u)du= ¹₂

Ansatz:1 = Li´

0

b²_i(x_i)dx_i⇒A_i=q₂ Li einsetzen f¨urb:n= 3

⇒bn1n2n3(x_i) =

√ 2³

√L₁L₂L₃ 3 Q i=1

sin n_i−π

L_i x_i

, n∈N einsetzen inG(~r, ~r⁰):G(~r, ~r⁰) =

∞ P n=1

b^∗_n(~r⁰) ¹ λnb_n(~r)

4.3. Orthogonalreihenentwicklung zu Laplace

Beispiel: Randwerte ¨uberall 0, außer beiΦ(x₁, x₂, x₃ = L₃) = V(x, y)

Ansatz:−^b 001 b1 −^b

002 b2 −^b

003 b3 = 0

⇒λ1+λ2+λ3= 0mit hom. RW⇔λ3=−(λ₁+λ2) k₃=√

λ₃= jβ b_1,2,3(0)⇒B_1,2,3= 0 b1,2(L1,2) = 0⇒K1,2=ⁿ_L^1,2π

1,2

⇒b1,2(x1,2) =A1,2sin

n1,2 π L1,2x1,2

⇒λ₃=−(λ₁+λ₂) =−β <0, K₃=√ λ₃=p

−(λ₁+λ₂) b₃(x₃) =A₃sinh(βx₃)(jsteckt inA)

Ansatz f¨ur DGL:

b_n1,n2(~r) =A_n1A_n2A₃sin_n 1π L1 x₁

sin_n 2π L2x₂

sinh(βx₃)

Ersetzen vonAn1An₂An3=An1n2, daA₃=const:

Φ(~r) =

∞ P n1 =1

∞ P n2 =1

b_n1,n2(~r)

Φ(x₁, x₂, x₃=L₃) =V(x, y) =

∞ P n1 =1

∞ P n2 =1

An1n2sin_n 1π L1 x₁

sin_n 2π L2 x₂

sinh(βx₃)

1D Fall:V(x) = P^∞ n=1

A_nsin nπ

Lx Bestimmung vonA₂:

V(x) = L´ 0

sin_2π Lx

dx=

=0

z }| {

A₁ ˆL

0 sin

1π Lx

sin

2π Lx

dx+

=L/2

z }| {

A₂ ˆL

0 sin

2π Lx

sin

2π Lx

dx+

=0 z}|{... ,

δnm:n6=m=0 da Orthogonalit¨atsbed.

V(x) = L´ 0

sin nπ

Lx

sin mπ

L x

dx=

(0, m6=n L 2, m=n

⇒ A_n= 2 L

ˆ_L 0

V(x) sin nπ

Lx

dx

5. Kompaktmodelle

Modellierung als Netzwerk ohne Wellenausbreitung.

Vorraussetzungen:

1. R¨aumlich begrenzte Funktionsbl¨ocke:

lokalisierte Schnittstellen (leitende Verbindungen, gef¨uhrte elektro- magnetische Felder)

2. Quasistation¨ar zeitver¨anderlich:

Konzentriertheitshypothese:λ >> d.

Knoten: ideal leitend, ¨uberall gleiches Potential.

Zweige: flusserhaltend, gerichtete Spannung.

λ= c₀ f

5.1. Kirchoffsche Gesetze

XU_i=U_ind X

I_i=−. Q_K

5.2. Kapazitive Speicherelemente

Mehrelektroden Kondensatoranordnung→Modellierung als Netzwerk von kapazitiven Zweipolen.

Plattenkondensator:

E~= _ε^Q

0A~e U=´_d

0E~d~r=_ε^Q 0Ad

•Kapazit¨atsmatrix:

C_kl=´ Ω

∇Φ_kε∇Φ_ld³r=− ´

∂Ωk

~n∇Φ_ld~a(k,l = 0, ..., N) C

e

symmetrisch, positiv semi-definit, nicht invertierbar, Zeilen- und Spaltensumme null

•Reduzierte Kapazit¨atsmatrix:

C e

0:C e

um 0. Zeile und 0. Spalte abgeschnitten U~₀=





 V1−V0

· · · V_N−V₀





 Q~₀=C

e 0U~₀ C

e

0invertierbar

5.3. Induktive Speicherelemente

u_k(t) =−u_ind,k(t) +r_ki_k(t)

Transformatorgleichung:u_k(t) =r_ki_k(t) +P_N l=1L_kl^d_dt^il Kopplungsinduktivit¨at:M=k√

L₁L₂

⇒U₁=L₁. I₁+M.

I₂ U₂=M. I₁+L₂.

I₂ Neumannsche Formel:L_kl=_4π^µ ´

Ck

´

Cl d~s0 ·d~s

|~r−~r0(s)|= ^∂ 2Wmag

∂ik∂il L_kl:

(Selbstinduktionskoeffizient, k=l Gegeninduktionskoeffizient, k6=l L

e

symmetrisch, positiv definit

Kapazit¨at Induktivit¨at

Q~=C e

U~ ~Φ_M=L

e

~i W_el= ¹₂U~₀Q~₀=¹₂V~^TC

e

V~ W_mag= ¹₂~I^>L e I~ Wmag= 1

2 ˆ R3

~j·A~d³r

Homepage: www.latex4ei.de – Fehler bittesofortmelden. von Emanuel Regnath und Martin Zellner– Mail:info@latex4ei.de Stand: 11. M¨arz 2020 um 10:51 Uhr 2

6. Komplexe Wechselstromrechnung

Vorraussetzung:lineares, eingeschwungenes System mit sinusf¨ormiger Erregungx(t) =A_m·cos(ωt+ϕ)

Beim Kondensator eilt der Strom vor.

Bei der Induktivit¨at kommt der Strom zu sp¨at.

6.1. Komplexe Zeigergr¨ oßen

Zeitfunktion a(t) =Am·cos(ωt+ϕ) Zeiger A=α+iβ=Am·e^iϕ

=A_m·(cosϕ+jsinϕ) Maximum A_m=|A|=p

α²+β²=√ AA^∗

Phase ϕ=

(arctan^β_α α >0 arctan^β_α+π α <0

Differentialoperator:_dt^d =jω _dt^de^j(ωt+ϕ)=jω·e^j(ωt+ϕ) Widerstand Kondensator Spule

ImpedanzZ= ^U_I R _jωC¹ jωL

AdmittanzY=_U^I G= _R¹ jωC _jωL¹

∆ϕ= ϕu−ϕi

0 −^π

2

π 2 tan(∆ϕ) =^Im{Z}_Re{Z}

Z(jω) Impedanz

=R(jω) Resistanz

+jX(jω) Reaktanz

U=Z·I Y(jω)

Admittanz

= G(jω) Konduktanz

+jB(jω) Suszeptanz

I=Y ·U

6.2. Komplexe Leistungsrechnung

U_eff= √¹

2Um= q1

T

´_T

0 u(t)²dt I_eff=√¹ 2Im Momentanleistung:p(t) =u(t)i(t)

Energie einer Periode:E=´T

0 u(t)i(t)dt Leistungsmittelwert:Pw=_T¹´_T

0 u(t)i(t)dt

Komplexe Leistung:P= ¹₂U I^∗= ¹₂U_m·e^jϕu·I_m·e^−jϕi= U_eff·I_eff·e^j(ϕu−ϕi)

Scheinleistung:S=|P|

Wirkleistung:P_w=Re{P}=¹₂UˆIˆcosϕ Blindleistung:P_B=Im{P}= ¹₂UˆIˆsinϕ

6.3. Grundlagen Wechselstromlehre

periodische, sinusf¨ormige Strom- & Spannungsverl¨aufe:

•Transformierbarkeit(Energie¨ubertragung)

•Modulierbarkeit (Informations- und Nachrichtentechnik)

•Anpassung an Generatoren und Motoren ϕ(t) =ωt+ϕ₀

7. Elektromagnetische Wellen

Transportieren Feldenergie mit Lichtgeschwindigkeit.εµc²= 1 Unendliche Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit ohne Medium.

Wechselwirkung mit der Materie.

Frequenzabh¨angigkeit vonε(ω), µ(ω), σ(ω)

Annahmen:ρ= 0außer bei Antennen, keine thermischer Strom.

7.1. Beschreibung

D¨ampfung fallsσ >0

¨außere Quellen ~j₀, ρ₀

6-Komponentiges, elektromagnetisches Wellenfeld:

h εµ^∂2

∂t2+µσ_∂t^∂ −∆i E~ H~

!

=





−∇_ρ 0 ε

−µ .

~j0 rot~j0



 Notwendig, aber nicht hinreichend f¨ur Maxwellsche Gleichungen.

(Nebenbedingungen:εdivE~=ρ,divH~= 0)

4-Komponentiges, elektromagnetisches Potential (fallsσ= 0):

∆−εµ∂²

∂t²

! Φ A~

!

=−

% ε µ~j

!

Als Nebenbedingung muss nur die Eichbedingung erf¨ullt sein.

homogene Wellengleichung: 1 c²

d² dt²−∆

! E~= 0

7.2. Eindimensionale Welle

Annahmen:σ, ~j₀, ρ₀= 0⇒µ^∂2u

∂t2 −^∂2u

∂x2 = 0 Ausbreitungsgeschwindigkeit:c=√¹

µ

D’Alembertsche L¨osung:u(x, t) =f1(ct−x) +f2(ct+x)

7.3. Dreidimensionale ebene Wellen

Annahhmen:σ, ρ₀, ~j₀= 0

Nebenbedingungen: divE~ = divH~ = 0 rotE~ = −µ^{∂ ~}_∂t^H rotH~=^{∂ ~}_∂t^E

~k=k~n, ω=kc Dabei muss gelten:^ω ~k

=c= √¹ µ E(t, ~~ r) =E~₀(ωt−~k·~r)mit~k·E~₀(.) = 0 E~0(~r, t) =_ω^~k ×H~0(~r, t) =−Z~n×H~0(.) H(t, ~~ r) =H~0(ωt−~k·~r)mit~k·H~0(.) = 0 H~₀(~r, t) =_µω^~k ×E~₀(~r, t) =^~n_Z×E~₀(.) Dispersionsrelation:ω(~k) =√¹

µ

~k Wellenwiderstand:Z=

q_µ =

E~0

H~0

7.3.1 Energie- und Leisungsbetrachtung

w_el(t, ~r) =w_mag(t, ~r) =₂E~₀(ωt−~k·~r)²=^µ₂H~₀(ωt−~k·~r)² Leistungsflussdichte:S~=_Z¹E~²₀·~n

Energiebilanz einer elektromagnetischen Welle:^∂w_∂t^elmag+ divS~= 0.

7.4. Harmonische ebene dreidimensionale Wellen

7.4.1 Linear polarisierte Wellen

E(t, ~~ r) =E~0cos(ωt−~k·~r+ϕ) H(t, ~~ r) =H~₀cos(ωt−~k·~r+ϕ) 7.4.2 Elliptisch polarisierte Wellen

E(~~r, t) =E₀₁cos(ωt−~k·~r+ϕ₁)~e₁+E₀₂cos(ωt−~k·~r+ϕ₂)~e₂ Harmonische, ebene EM Wellen (σ= 0)

Ellipsengleichung:

_E 1 E01

₂ +_E

2 E02

₂

−2_E 1 E02

E1 E02

cos(ϕ₀₂ −ϕ₀₁) = sin²(ϕ₀₂−ϕ₀₁)

Linear:ϕ₀₂−ϕ₀₁=nπ _E^E1 01 =±_E^E2

02

Kreis: ϕ₀₂ − ϕ₀₁ = (n + ¹₂)π ∧ E₀₁ = E_{02 E}

1 E01

₂ +_E

2 E02

₂ 7.4.3 Komplexe Darstellung

E(t, ~~ r) = Re















E₀₁e^jϕ1~e₁+E₀₂e^jϕ2~e₂

| {z }

e^{j(ωt−~k·~r)}

Eˆ0













 7.4.4 Darstellung beliebiger EM-Wellen durch harmonische ebene

Wellen

Annahmen:%₀, ~j₀= 0, σ≥0 Materialgleichungen:

•D(~~k) =(ω(~k))E(~~k)

•B(~~k) =µ(ω(~k))H(~ ~k)

•~j(~k) =σ(ω(~k))E(~~k)

komplexe Permittivit¨at:ε(ω) =˜ ε(ω) + i^σ(ω)_ω komplexe Dispersionsrelation:k(ω) =˜ ¹

˜

ε(ω(~k))µ(ω(~k))

~k²

komplexer Wellenwiderstand:Z(ω) =˜ r

µ(ω)

˜

ε(ω)= _ω˜^˜k(ω)_ε(ω) Fourierkoeffizienten der Feldgr¨oßen:

• rotE~ = −^{∂ ~B}

∂t

F T= −j~k×E(~ˆ~k) = −jωµ(ω)H(~ˆ ~k), also

~k×E(~ˆ~k) =ω(~k)µ(ω(~k))H(~ˆ~k)

• divD~= 0^{F T}= −j~k·ε(ω)E(~ˆ~k) = 0, also~k·E(~ˆ~k) = 0

• rotH~ = ~j+ ^{∂ ~}_∂t^{D F T}= σ(ω)E(ˆ~~k) +jωε(ω)E(ˆ~~k) = jω˜ε(ω)E(~ˆ~k), also−~k×H(~ˆ ~k) =ω(~k)˜ε(ω(~k))E(~ˆ~k)

• divB~= 0^{F T}= j~k·µ(ω)H(ˆ~~k) = 0, also~k·H(~ˆ ~k) = 0 inv. Dispersionsrelation:˜k(ω) =p

˜ ε(ω)µ(ω) 7.4.5 R¨aumlich ged¨ampfte ebene EM-Welle in Leitern k(ω) =˜ β(ω)

Phasenmaß

−i α(ω) D¨ampfungsmaß N¨aherung:σ(ω)ωε(ω) α(ω) =β(ω) =

q_σ(ω)µω 2 =^2π_λ Eindringtiefe:∆z(ω) =q ₂

σ(ω)µω Abklingverh¨altnis:e^−λα

Skin-Effekt: Abschirmverhalten von leitenden Medien gegen das Eindrin- gen von EM-Wellen

7.5. Einfall ebener elektromagnetischer Wellen auf ebene Ma- terialgrenzschichten

Aufteilung der EM-Welle in reflektierenden und transmittierenden Anteil einfallend:H~_h(~r) =H~_h0e^−j~kh·~r, E~_h=Z1H~_h×e_kh reflektierend: H~_r(~r) = H~_r0e^−j~kr·~r, E~_h = Z₁H~_h×e_kh transmittierend:H~_D(~r) =H~_D0e^−j~kD·~r, E~_h=Z₂H~_h×e_kh Reflexionswinkel gleich Einfallswinkel:α_h=α_r

Brechungsgesetz (Snellius):k₁sinα_h=k₂sinα_D

(H~_h+H~r)×~n=H~_D×~n (E~_h+E~r)×n=E~_D×~n E-FeldkEinfallsebene:Einfallende Welle nennt sich TM-Welle Reflexionskoeffizient:r_k= ^Erˆ_ˆ

Eh= ^Hrˆ_ˆ

Hh =^Z_Z^{2 cosαD−Z1 cosαh} 2 cosαD+Z1 cosαh Transmissionskoeffizient:t_Hk=^HDˆ_ˆ

Hh = _Z ^{2Z1 cosαh} 2 cosαD+Z1 cosαh t_Ek=^EDˆ_ˆ

Eh =^Z_Z¹ 2t_Hk

E-Feld⊥Einfallsebene:Einfallende Welle nennt sich TE-Welle Reflexionskoeffizient:r⊥= ^Erˆ_ˆ

Eh = ^Hrˆ_ˆ

Hh = ^Z_Z^{2 cosαh−Z1 cosαD} 2 cosαh+Z1 cosαD Transmissionskoeffizient:tE⊥= ^EDˆ_ˆ

Eh = _Z ^{2Z2 cosαh} 2 cosαh+Z1 cosαD tH⊥=^HDˆ_ˆ

Hh =^Z_Z¹ 2tE⊥

7.6. Abstrahlung von EM-Wellen im freien Raum

Maxwellsche Gleichungen in zeitharmonischen Feldern:

• rotE~=−jω ~B=−jωµ₀H~

• rotH~= jω ~D+~j₀= jωε₀E~+~j₀

• divE~= ¹

0divD~= ^%_ε⁰ 0

• divH~= _µ¹

0divB~= 0

Helmholtz-Gleichung:∆A~+ jωε₀µ₀A~=−µ₀~j₀

Vereinfachung durch eingepr¨agte Dirac-Impuls Stromdichte der Form:

~j₀^D(~r) = ˆI0∆l~ezδ(~r)

⇒ Hertzscher-Dipol mit Dipolmoment I₀∆l mit A(~~r) = Iˆ₀∆lµ₀^e−jk_4πr^0r~e_z

7.7. Elektromagnetische Wellenleiter

Alle Verbindungen zwischen elektrischen und elektronischen Bauteilen oder Systemen sind Wellenleiter (bei niedrigen Frequenzen vernachl¨assigbar).

Wellenausbreitungseffekte ab₁₀¹λ→Vermeidung von Reflexionen und Mehrwegeausbreitungseffekten

Translationsinvarianz des Wellenleiters in z-Richtung→Feldtypen der Form:

E(x, y, z) =~ E~₀(x, y)e^±γ H(x, y, z) =~ H~₀(x, y)e^±γ

γ= jβ: verlustloser Wellenleiter

γ=α: D¨ampfungstypen (evaneszente Moden)

Wellentypen k¨onnen eineuntere Grenzfrequenzaufweisen, ab der sie aus- breitungsf¨ahig sind

Existiert unterhalb einer bestimmten Grenzfrequenz noch eine einziger Wellentyp⇒Grundmode / Fundamentalmode (i.d.R. bei Leitungen TEM-Welle).

Koaxialleitung:

E(~~r) = Uˆ₀ ln

D d

1 r~ere^−jkz

H(~~ r) = Iˆ0 ln

D d

1 r~eϕe^−jkz Uˆ0

Iˆ₀ =Z_L= 60Ω sµr

εr ln

D d Leitungswellenwiderstand mitD: Innendurchmesser,d: Außendurchmesser

Rechteckhohlleiter:

H_z(~r) =−Hˆ₀cos π

ax

e^−jβz)

H_x(~r) =−jβ β_c

π a

Hˆ₀sin π

ax

e^−jβz

H_y(~r) = 0 E_x(~r) = 0 Ey(~r) = jωµ

β_c π a

Hˆ0sin π

ax

e^−jβz

mit βc = ωc√

εµ = ^2π

λc: Cut-off-Wellenzahl, ωc: Cut-off- Kreisfrequenz,λ_c= 2a: Cut-off-Wellenl¨ange

Ausbreitungsf¨ahig f¨ur Kreisfrequenzen oberhalb von Ausbreitungskonstan- te:β=q

ω²εµ−β²_c

statisch:Keine Ver¨anderung ¨uber die Zeit_∂t^∂ = 0 station¨ar:zeitliche Ver¨anderung, aber keine Wellenausbreitung Quasi-Station¨ar: Zeitliche Ver¨anderungen sind so langsam, dass sie als

statisch angenommen werden_∂t^∂ ≈0

Normalgebiet:zusammenh¨angend, beschr¨ankt, mit glattem lipschitsteti- gem Rand

Lipschitstetig:irgendwas zwischen stetig und differenzierbar L₂(Ω) =

f: Ω→C

´

ω|f(~r)|²d³~r <∞

Homepage: www.latex4ei.de – Fehler bittesofortmelden. von Emanuel Regnath und Martin Zellner– Mail:info@latex4ei.de Stand: 11. M¨arz 2020 um 10:51 Uhr 3