16a Wellen
2
Wellen und Wellen
Mechanische Wellen
Propagation einer Störung durch ein Medium z.B. Schall benötigt Luftmoleküle um sich auszubreiten
Elektromagnetische Wellen
Propagation einer Störung auch ohne die Anwesenheit eines Mediums z.B. Radiowellen, sichtbares Licht, Röntgenstrahlung
Charakteristikum einer Welle
Energie wird transportiert über eine gewisse Entfernung – dabei erfolgt aber kein Materietransport
Alle Wellen transportieren Energie, aber die Betrag kann um Größenordnungen voneinander abweichen
z.B. menschliche Stimme und Ozeanwelle
Materiewellen
Propagation von Materie zeigt Eigenschaften einer Welle z.B. Elementarteilchen, Elektronen, Atome oder auch Moleküle
Louis deBroglie (1892-1987
Seismische Wellen
Der Untergang der Kursk am 12. August 2000
2 v
H O2
t
d
KurskΔ
=
m 5 . 2 82
0.11s s
1500 m
⋅ =
Kursk
= d
6 7 8 9
134 s
Kursk
0.11s
d
s 1500 m v
in Wasser t
hwindigkei Schallgesc
s 0.11
Pulse en
detektiert der
all Zeitinterv
2
=
= Δ
O H
Wasseroberfläche
t
4
Helioseismologie
Die rote Färbung gibt Abweichungen der mittleren Schallgeschwindigkeit an
Sonnenfleck
Ausbreitung einer Störung
transversale Wellen
Jede mechanische Welle benötigt
- eine Quelle die eine Störung verursacht - ein Medium, das verformbar ist
- einen Mechanismus, durch den die
Bestandteile des Mediums kommunizieren
Schnappschüsse der Ausbreitung einer Störung in einem Seil
6
Ausbreitung einer Störung
transversale Wellen
Wichtig :
Bestandteile des Seils bewegen sich senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle
Der Bereich des Seils P bewegt sich nur nach oben
und nach unten.
Mehr noch: Kein Bestandteil des Seils bewegt sich in
Richtung der Welle
Es erfolgt also kein Materietransport
Man nennt eine Welle, die sich in dieser Weise
ausbreitet eine
Transversalwelle
Ausbreitung einer Störung
longitudinale Wellen
Im Gegensatz zu einer Seilwelle bewegt sich die Störung in einer Feder longitudinal aus.
Die Teile der Feder bewegen sich parallel zur Ausbreitungsrichtung der Welle
Schallwellen sind Beispiele für
longitudinale Wellen
Abfolge von komprimierten und dekomprimierten Zonen, die sich entlang der Ausbreitungsrichtung bewegen
8
Wasserwellen
Beispiel für Mischung von longitudinaler und transversaler Propagation
Wasser am höchsten Punkt der Welle bewegt sich in Richtung der Welle
Wasser am tiefsten Punkt der Welle bewegt sich in entgegen gesetzter Richtung
Seismische Wellen
Raumwellen
Die Ausbreitung von Stoßwellen nach einem Erdbeben hat sowohl longitudinalen als auch transversalen Charakter
Ausbreitung einer seismischen Welle nach einem Erdbeben
flüssig fest
longitudinale Primärwellen
(P-Wellen) transversale Sekundärwellen
(S-Wellen)
Änderung der
Ausbreitungsgeschwindigkeit durch unterschiedliche Druck-
und Temperaturverhältnisse
10
Seismische Wellen
Ausbreitungsgeschwindigkeit P-Welle 7000 bis 8000 m/h S-Welle 4000 bis 5000 m/h
zum Vergleich: Schallwelle 300 m/s
Zusätzlich treten Oberflächenwellen auf
( )
2 v ~
v
0.28) (~
Schermodul :
1 2
2 1 v
v
s P s P
μ
μ μ
−
= −
Abschätzung des
Geschwindigkeitsverhältnisses von P- und S-Welle
Primärwellenwerden aufgrund ihrer höheren Geschwindigkeit von
einem Seismographen als erstes detektiert.
Aus dem Abstand der Signale von P- und S-Welle kann auf die Entfernung zum Epizentrum zurück geschlossen werden.
Die Messung einer Station bestimmt eine imaginäre Kugel auf dem das Ereignis passiert sein könnte.
Durch den Vergleich mehrerer Messstationen kann der Ort des Erdbebens bestimmt werden.
A. E. H. Love
1863-1940 Lord Rayleigh
1842-1919
Ausbreitungsgeschwindigkeit
) ( )
0 ,
( x f x
y = y ( x , t ) → y ( x − vt , 0 ) = f ( x − v t )
Wenn man die Welle zum Zeitpunkt t=0
Maximum bei x=0 Welle zum Zeitpunkt t
Maximum bei x=vt
Welle breitet sich mit der
Geschwindigkeit v nach rechts aus.
Nach der Zeit t hat sich das Maximum der Amplitude um vt nach
rechts bewegt
Form der Welle hat sich nicht geändert (keine Dispersion) Position des Maximums hat sich geändert und zwar zum Ort x=vt
Abbild der Welle ist um den Betrag vt auf der x-Achse verschoben
12
Wellenfunktion
mathematische Beschreibung
) 0 , (
) ,
( x t y x vt
y = −
) v (
) , (
Welle laufende
links Nach
) v (
) , (
Welle laufende
rechts Nach
t x f t x y
t x f t
x y
+
=
−
=
Auslenkung am Ort x zum Zeitpunkt t entspricht der Auslenkung am Ort x=x-vt
zum Zeitpunkt t=0
Wellenfunktion
Abhängigkeit von zwei Variablen (Ort x und Zeitpunkt t)
halte den Ort x fest
y(x,t) die zeitliche Entwicklung der Amplitude an dieser Position wieder
halte die Zeit t fest
y(x,t) einen Schnapschuss der Welle zu diesem Zeitpunkt (auch Wellenform genannt)
Beispielwelle
eingefrorene Zeit
( 3 2 )
2+ 1
= x- t
y(x,t) 2 cm
cm 0 bei
Amplitude der
Maximum
max
=
= y
x
( ) ( )
( ) 2 2 1 5 2 cm
s 0 cm
2
cm 1 1
1 s 2
0 cm
1
cm 1 2
0 s 2
0 cm
0
2 2
2
+ =
=
=
=
+ =
=
=
=
+ =
=
=
=
) ,t
y(x
) ,t
y(x
) ,t
y(x
Wellenfunktion
Amplitude der Welle bei verschiedenen Orten aber fester Zeit t=0
wenn x in cm angegeben Geschwindigkeit der Welle 3 cm/s
) (
) , (
Form Allgemeine
vt x f t x
y = −
s ) 3 cm (
) ,
( x t f x t
y = −
14
Beispielwelle
zeitliche Entwicklung
( 3 2 )
2+ 1
= x- t y(x,t)
2
s 1 t cm, 3 bei
Amplitude der
Maximum
max
=
=
= y x
Wellenfunktion
( )
( ) 6 2 1
s 2
1 3
s 2 1
1 s 2
0
2 2 2
= +
=
= +
=
= +
=
) x- y(x,t
) x- y(x,t
) x y(x,t
Schnappschuss der Welle zu unterschiedlichen Zeiten
2
s 2 t cm, 6 bei
Amplitude der
Maximum
max
=
=
= y x
1 0
1 = =
= ,t )
y(x
Ausbreitung gegenläufiger Wellen
Überlagerung der Amplituden
Ausbreitung einerWelle
Überlagerung zweier Wellen Überlagerung zweier Wellen
Minimum Wellenzüge löschen sich aus
Maximum Wellenzüge verstärken sich
16
Harmonisch angeregte Welle
einfachste Version einer Welle
Eindimensionale Sinuswelle, die sich mit der Geschwindigkeit v nach rechts bewegt
Wellen haben oft die Form einer Sinuswelle.
Durch die Addition verschiedener Sinuswellen können kompliziertere Wellenverläufe approximiert werden
(Stichwort Fourieranalyse)
Form der Welle zu einem späteren Zeitpunkt
Einzelne Teilstücke der Welle bewegen sich auf und ab wie bei einer einfachen
harmonischen Schwingung
Form der Welle zu Beginn
Sinuswellen
Der Abstand zwischen den Maxima der Sinuswelle nennt man Wellenlänge λ
Der Abstand zwischen zwei Punkt der Welle mit gleicher Amplitude definiert die Periode T der Welle bzw die Frequenz f
T = 1 f
( ) ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
=
⇓
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⇓
=
⇔
=
⋅
⇓
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
=
=
⋅
=
↓
=
=
t x A
t x y
x A
x y
A y
x A
y
ax A
t x y
Test
2 v sin )
, (
sin 2 )
0 , (
konst 2 konst 2
2 0 konst sin
0 2 , b)
0 ) 0 konst
sin(
) 0 , 0 ( a)
sin )
0 ,
(
hängigkeit mit Zeitab
λ π
λ π
λ π π
λ
λ λ
Ort
Zeit
Allgemeine Form der Wellengleichung
2
λ λ 2λ
2λ 3
18
Sinuswellen
Zusammenhang zwischen
Geschwindigkeit, Periode und Wellenlänge der Welle
Einsetzen in die Wellengleichung
v v Periode
eine
ge Wellenlän
v eine T T
T ⇔ = ⇔ =
=
= λ λ λ
( )
( kx t )
A t
x y
T t A x
t x y
t x
A t
x y
ω π λ
λ π
−
=
⇓
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛ −
=
⇓
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
=
sin )
, (
2 sin )
, (
2 v sin )
, (
Definition
(Kreis-)Wellenzahl Einheit [1/m]
Definition Kreisfrequenz
Einheit [1/s]
k f T
k
ω λ π
ω π λ
λ π
=
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ = =
↓
≡
k 2
v 2
2
T π π f
ω ≡ 2 = 2
Geschwindigkeit
T
= λ v
dimensionslos!
Ort Zeit
Getriebene Oszillation
t=T/4
t=3/4T t=T
t=T/2
harmonische Oszillation aller
Komponenten
) sin(
0 y t kx
t = → = ω −
Anregung der Welle harmonisch
Berechnung der transversalen Geschwindigkeit der Welle, d.h. in y-Richtung
( )
( kx t )
d A a
t kx t A
y dt
dy
y y
y
const x y
ω ω
ω ω
−
∂ =
= ∂
=
−
∂ =
= ∂
=
=
sin v ²
v
cos
partielle Ableitung notwendig,
v
da Auslenkung y sowohl vom Ort x als auch von der Zeit t abhängt!
andere Variablen (hier t) werden
maximale Werte
) y bei (maximal
²
0) y bei (maximal v
A A
a
A
y y
=
=
=
= ω
ω
Betrachte Welle zu unterschiedlichen Zeiten
Geschwindigkeitsamplitude
20
Geschwindigkeit einer Welle
gespanntes Seil
Vermutung 1
Je höher die Zugbelastung ist, desto höher ist die resultierende Beschleunigung wenn man die Saite loslässt
Vermutung 2
Je schwerer ein Teilstück der Saite ist, desto geringer sollte die Beschleunigung ausfallen.
nge Einheitslä
Masse :
Definition μ
ng Zugspannu :
Definition T
µ
= T
Voraussage
v
Test: Dimensionsbetrachtung
[ ] [ ]
[ ] = ⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤
⎥ ⎥
⎦
⎤
⎢ ⎢
⎣
= ⎡
⎥ ⎦
⎢ ⎤
⎣
= ⎡
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
=
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
=
T L T
L M
L T v ML
L M T ML
2 2 2
2
µ T
Vermutung 3
Damit sind alle Parameter erfasst, die die Geschwindigkeit der Welle auf der Saite bestimmen
von dieser Seite aus betrachtet stimmt die Vermutung
Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle
gespanntes Seil
µ
= T
Voraussage
v
Erinnerung an Vorlesung Dynamik
Die Newtonschen Gesetzte gelten in jedem Bezugssystem das entweder ruht oder sich mit gleichförmiger
Geschwindigkeit bewegt
Deshalb der Trick um die Beziehung zu beweisen:
Statt den Puls zu betrachten, der sich mit einer Geschwindigkeit v fortbewegt, setzt man sich in ein
Bezugssystem in dem der Puls ruht.
Die beiden Horizontalkomponenten der Zugspannung Txergeben
zusammen NULL
annähernd ein Kreis mit Radius R
Geschwindigkeit der Welle
kleines Element der Saite
Die Vertikalkomponenten (T sinθ) weisen auf den
Kreisursprung
T
xT
xΘ
= 2 sin T
yT
Zentripedalbeschleunigung
R
v²
22
Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle
µ
= T
Voraussage
v
qed
Θ
≈
Θ
=
⇓
Θ
=
Θ
≈ Θ Θ
T F
T F
T
radial radial
2 sin 2
sin 2
T
sin klein
Zentripedalkraft y
µ v T
R 2 2 v²
=
⇓
Θ
=
Θ T
µR
( )
Θ
= Δ
=
⇓ Θ
= Δ
µR m
s µ m
R s
2 2
R ma m
F
radial= = v²
Näherung für geringe Auslenkung
Weitere Annahme
Zugspannung nicht durch die Propagation des Pulses beeinflusst,
d.h. T ist konstant für jeden Punkt des Seils Bei der Berechnung wurde KEINE Annahme
über die Form des Pulses gemacht
Konsequenz
Jeder beliebig geformte Puls bewegt sich entlang des Seils ohne Änderung seiner Form und mit der Geschwindigkeit v²=T/μ Masse des Kreissegments
Gleichgewicht der Kräfte
Geschwindigkeit eines Pulses auf einem Seil
( )
s 19.81 m v
m 0.05 kg 19.62N µ
v T
m 05 kg . m 0
6 kg 0.3 L
µ m
te Massendich Lineare
N 19.62 s²
9.81 m kg
2
g Zugspannun
=
=
=
⇓
=
=
=
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
= T
mg T
Geschwindigkeit der Welle Masse des Seils 300 g
Gewicht des Seils vernachlässigbar gegenüber der angehängten Masse
Fall diesem in
r
Allgemeine
24
Ausbreitungsgeschwindigkeit
bei veränderlicher Belastung
Θ
−
∑ = cos
Kräfte aller
Summe
mg T
F
EnergieerhaltungPotentielle Energie in Position A = Potentielle + kinetische Energie in Position B
( )
( )
( ) ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ Θ + −
=
= − Θ
−
⇓
−
=
+
=
⇓
L h mg h
T
L h h
mg mg T
h h
g
m mgh
mgh
max max max 2
Block
2 Block max
2 cos
cos 2 2 v
2 v 1
( )
max min
max max
max min
max max
cos 2 cos
und
ng Zugspannu Minimale
Θ
=
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
+ Θ
=
Θ
= Θ
=
mg T
L h mg h
T
h h
( )
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛ +
=
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ + −
=
= Θ
=
L mg h
T
L mg h
T
h
max max
max max
2 1
2 0 0 cos
0 und
0
ng Zugspannu Maximale
a
BlockL
v
2igung lbeschleun
Zentripeda
=
auflösen nach vBlock
L ma m
F
Blockv
2=
=
⇐
=1
einsetzen
Ausbreitungsgeschwindigkeit
bei veränderlicher Belastung
( )
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
+ Θ
= L
h mg h
T cos 2
maxmax
min
cos
ng Zugspannu Minimale
Θ
= mg T
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛ +
= L
mg h
T
max1 2
maxng Zugspannu Maximale
( − Θ )
= L 1 cos h
( )
( )
( ) ( )
s 21 m v
m 0.05 kg
cos20 2
s² 3 9.81 m kg
2 v
cos 2 v 3
cos 2 1
1 v
2 1 v
max max
max max
max
max
max max
max
=
°
⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
=
Θ
= +
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ + − Θ
=
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛ +
=
=
µ mg
µ L mg L
µ L mg h
µ T
Zusammenhang zwischen h, L und Θ
( ) ( )
s 19.2 m v
m 0.05 kg
cos20 s²
9.81 m kg
2 v
v cos
min min
max min
min
=
⎟ °
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
=
= Θ
= µ
mg µ
T
Geschwindigkeit einer Welle auf dem Seil ändert sich um fast 10%
Wähle Θmax=20°
µ
= T v
Θ=0°
h=hmax
26
Eigenschaften des Mediums
Reflektion
Puls ist invertiert
Reflektion Newton 3
Actio =reactio
Kraftwirkung durch Seil nach oben auf die Wand
Fall A: Ende des Seils fest Fall B: Ende des Seils frei
Kraftwirkung durch Seil nach oben
Ring beschleunigt nach oben
Ring fällt wieder nach unten
Reflektion
Puls ist nicht invertiert
WICHTIG: Reflektierter Puls ändert seine Form nicht
Eigenschaften des Mediums
Transmission
Fall 1: Eingehender Puls
hinterer Teil des Seils ist dicker
Reflektierter Puls
invertiert Transmittierter Puls
nicht invertiert
Puls propagiert langsamer
hinterer Teil des Seils ist dünner
Fall 2: Eingehender Puls
Reflektierter Puls nicht invertiert
Geringere Amplitude
Transmittierter Puls nicht invertiert Puls propagiert schneller
Geringere Amplitude der reflektierten Welle resultiert
aus der Energieerhaltung
µ
= T v
digkeit gsgeschwin
Ausbreitun
rechts
links
μ
μ <
dünnesSeil dickesSeil
dünnesSeil dickesSeil
vgl Reflektion an starrem Ende
28
Energietransfer
Anregung mit Sinusschwingung
Durch eine Welle wird Energie transportiert
Gewicht wird nach oben beschleunigt
( )
( ) ( )
( ) µdx µ dx dKE
x µ m
KE
m x
m KE
dKE dx x
2 y 2
y , 0
2 y 2
y
2 v v 1 2
1
2 v v 1 2
1
,
ent Massenelem kleines
Betrachte
² 2 v 1
=
=
↓
Δ
= Δ
= Δ
↓ Δ Δ
=
⇒
→ Δ
Kinetische Energie
y
betrachte geringe Änderung der kinetischen Energie
Experimentelle Beobachtung
x µ m = Δ Δ
ent
Massenelem
Energietransfer
Anregung mit Sinusschwingung
( )
( )
( )
dx 2 cos
1
dx 2 cos
1
dx 2 cos
1 2 v 1
2 2
2 0 bei uss Schnappsch
2 2
2
2 2
y
kx A
µ dKE
t kx A
µ dKE
t kx A
µ dKE
dx µ dKE
t
ω
ω ω
ω ω
=
↓
−
=
−
=
=
=
Sinusschwingung
Jedes Volumenelement Δm bewegt sich vertikal und enthält dieselbe Energie Kinetische Energie
in kleinem Volumenelement
λ ω ω λ ω ω
ω
λ
λ λ
λ λ
λ λ λ
2 2
0 2
2 0
2 2
2 0
2 2 2
1
2 2
1
2 4 sin 2
1 2
1 2 cos 1
2 cos 1
A µ KE
k kx x A
µ KE
dx kx A
µ KE
dx kx A
µ KE
dKE KE
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
=
=
=
=
∫
∫
∫
Integration über eine Wellenlänge, d.h. von 0-λ1
ohne Herleitung
einsetzten des bekannten Zusammenhangs für einfache
harmonische Anregung
⇒
= λ π k 2
( )
( A kx t )
dx
d − ω
= sin
v
y( )
0 0 2 sin2
sin ⎟− =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ λ
λ π
cos2x) 1/2(1
x cos
cos2x - x sin x cos
x cos - 1 x sin
2 2 2
2 2
+
=
⇒
=
=
30
Energietransfer
Anregung mit Sinusschwingung
Gesamtenergie
λ
λ
ω
2 24
1 µ A KE =
λ
λ
ω
2 24
1 µ A PE =
Potentielle Energie kinetische Energie
λ
λ
ω
λ 2 2
2
1 µ A KE
PE
E = + =
Leistung
2 v 1
2 1
2 2
2 2
A µ P
A T T µ
E T
P E
ω
ω λ
λ
=
= Δ =
=
Transportierte Energie proportional zu ω²
proportional zu A²
Leistungsabgabe an eine schwingende Saite
( )
W 2 51
s 40 m m
s 0.06 377 1 m
05 kg . 2 0 1
m 0.06 Hz,
0 6
N 80 m ,
05 kg . 0
2 2
=
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎟ ⎛
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎟ ⎛
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
=
=
=
=
P P
A f
μ T
=v
