Bewegungen in einer Dimension

1

3b Kinematik

Bewegungen in einer Dimension

Wiederholung

t x t

t

x x

avg

Δ

= Δ

−

= −

1 2

1

v

dt x dx t

x

t

= = &

Δ

= Δ

→ Δ

lim

v

t t

a

t

Δ

= Δ

−

= v − v v

1 2

1 2

dt x d a t

t

= = &&

Δ

= Δ

→

Δ 2

2 0

x lim v

Mittlere Geschwindigkeit

Momentane Geschwindigkeit

Mittlere Beschleunigung

Momentane Beschleunigung

3

Mittlere Geschwindigkeit

Schallgeschwindigkeit 330 m/s: Daumenregel Entfernung pro Kilometer drei Sekunden

weil die Augen weiter vorn im Gesicht sind?

Ich vermute, die Schallgeschwindigkeit ist einfach höher als die Lichtgeschwindigkeit. Der Ton oft schneller da ist als das Bild, wenn man den Fernseher einschaltet.

Anwendungen

Echolot

Mittlere Ausbreitungsgeschwindigkeit des

Signals ist im Medium konstant (1484 m/s)

5

Anwendung

RADAR

Venus

Mallegan Satellit

Konstante Beschleunigung

+ at

= v

v

2 0

0

2

v t 1 at x

x = + +

Zeit t

2

0

2

- 1

v t at x

x = +

) (

2 v

v

=

+ a x − x

( ) ^t

x

x

v - v

2

+ 1

=

) ( x − x

v

t

a

v

Nicht benötigte Variable Gleichung

Gleichungen gelten nur bei konstanter Beschleunigung!

7

Fahrstuhl

graphische Darstellung eines Bewegungsablaufes

Fahrstuhl

graphische Darstellung eines Bewegungsablaufes

Zeitintervall 3 s bis 8 s

x

(t

=3s)= 4 m x

(t

=8s)= 24 m

Konstante Geschwindigkeit

s 4 m s

3 s 8

m 4 m

v 24 =

−

= − Δ

= Δ t x

/

0 2 2

/ 0 /

4

a v m s

s s

s m s

m

t =

−

= − Δ

= Δ

Zeitintervall 0.0s bis 3.0 s

Zur Zeit t

=0.0s ist v(t

)=0.0 m/s Zur Zeit t

=3.0s ist v

(t

)=4.0 m/s

Konstante Beschleunigung in diesem Zeitintervall

Zeitintervall 8.0s bis 9.0 s

Zur Zeit t

=8.0s ist v(t

)=4.0 m/s Zur Zeit t

=9.0s ist v

(t

)=0.0 m/s

Konstante Beschleunigung in diesem Zeitintervall

/

8 4 9

/ 4 /

0

a v m s

s s

s m s

m

t = −

−

= − Δ

= Δ

.

v = konst

9

Fahrstuhl

graphische Darstellung eines Bewegungsablaufes

s² 2 m s

0 s 2

m/s 0

m/s 4

v =

−

= − Δ

= Δ a t

Zeitintervall 0 s bis 3 s

v

(t

=0s) = 0 m/s v

(t

=3s) = 4 m/s

Konstante positive Beschleunigung

.

konst

a =

Fahrstuhl

graphische Darstellung eines Bewegungsablaufes

Zeitintervall 8.0s bis 9.0 s

v

(t

=8 s) = 4 m/s v

(t

=9 s) = 0 m/s

Konstante negative Beschleunigung

s² 4 m 8s

9s

4m/s 0m/s

v = −

−

= − Δ

= Δ a t

.

konst

a =

11

Fahrstuhl

graphische Darstellung eines Bewegungsablaufes

m/s 4 v =

m/s

= 2 a

m/s

2

positiv gung

Beschleuni

= a

m/s

4

negativ gung

Beschleuni

−

= a

m/s

− 4

= a

m/s

= 2 a

m/s

− 4

= a

???

bin ich in einem Fahrstuhl?

schwerer leichter

Schiefe Ebene

Wie viel Zeit vergeht beim Abrollen eines Balles, wenn man gleiche Abstände wählt?

2 0

0

2

v 1 x

x = + t + at

² t x ≈ Δ

Position 1

Position 2

Position 3

Position 4 Ergebnis aus der letzten Vorlesung

Δ x

Δ x

Δ x

13

Messung der Fallbeschleunigung

s 0 m . 0 v

Ruhe in

Versuchs des

Beginn zu

Kugel

m .0 0

man wählt

ingung Anfangsbed

0 0

=

= y

y

m 0 .

0

= 0 y

2 ² 1 at y =

2 0

0

2

v t 1 at y

y = + +

Ausgangsgleichung

Damit reduziert sich die Gleichung auf

Messung der Fallbeschleunigung

s 0 m . 0 v

m 0 . 0

ingungen Anfangsbed

0 0

= y =

a y t

a t at y

2 y 2

2 ² 1

=

⇓

=

= c

² 2 2

a m m a

b mx Y

=

⇒

=

+

= c

Wie auftragen in Grafik? Beschleunigung aus Steigung ermitteln

Geradengleichung!

15

Beispiel Relativität

Ein Körper wird ein Jahr lang mit 9.81 m/s² beschleunigt.

Wie hoch ist die Endgeschwindigkeit?

gt v =

Die Rechnung liefert ein unphysikalisches Ergebnis. Die Endgeschwindigkeit ist höher als die Lichtgeschwindigkeit

s m / 10 14 . 2

c = ⋅

Erst die Relativitätstheorie liefert das richtige Ergebnis s 10 m 3.09 s

10 s² 3.15

9.81 m h

3600s tg

h 24 a

tg 365 s²

9.81 m

v = = ⋅ ⋅

= ⋅

2

1 v

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

=

c at at

m/s 10

2.99 c = ⋅

71% der Lichtgeschwindigkeit

Freier Fall

Wenn man Luftwiderstand und Reibung vernachlässigt fallen alle Objekte in Richtung des Erdzentrums mit dergleichen konstanten

Beschleunigung, unabhängig von ihrer Masse.

Die Beschleunigung erfolgt aufgrund der Gravitation

² m/s 81 .

= 9

g In Abhängigkeit vom Längen- und

Breitengrad, der Topologie und geologischen Formationen variiert g

zwischen 9.78 bis 9.83 m/s²

Mittlerer Wert der

Gravitationsbeschleunigung

Nordpol 9.832 m/s² Äquator 9.780 m/s²

Mond 1.600 m/s² Mars 3.700 m/s²

Naturgesetze finden durch Experiment und Beobachtung Vater der modernen Naturwissenschaften

17

Freier Fall ohne Luftwiderstand

Galileo Galilei (1564-1642)

Freier Fall ohne Luftwiderstand

David Scott: Well, in my left hand, I have a feather; in my right hand, a hammer. And I guess one of the reasons we got here today was because of a gentleman named Galileo, a long time ago, who made a rather significant discovery about falling objects in gravity fields. And we thought where would be a better place to confirm his findings than on the Moon.

And so we thought we'd try it here for you. The feather happens to be, appropriately, a falcon feather for our Falcon. And I'll drop the two of them here and, hopefully, they'll hit the ground at the same time

How about that! Which proves that Mr. Galileo was correct in his findings.

Joe Allen: Superb

Aluminiumhammer 1.32 kg

Falkenfeder 0.03 kg

19

Beschleunigungen

Magnetschwebebahn

Höchstgeschwindigkeit 550 km/h~150 m/s

Fahrzeugbeschleunigung:

0,85 m/s²

Fahrzeugverzögerung:

1,2 m/s²

Wie schnell wird der Transrapid auf der Strecke

von Shanghei-Flughafen nach Innenstadt

(2x=4.2 km)?

h 215 km s

60 m 2100m

s² 0.85 m 2

2 v

) (

2 v

v

=

=

⋅

=

=

− +

= ax

x x a

Frage:

Wie schnell könnte er maximal

auf der Strecke fahren?

Beschleunigungswerte

PKW vs ICE

s² 30 m 12s

s 3600

h km

m 100 1000

s 12

h 100 km

t v PKW

PKW

= = =

Δ

= Δ a

s² 0.51 m 55s

s 27.8 m

s 55

h 100 km

t v ICE

ICE

= = =

Δ

= Δ a

Die Gerade für das Auto ist natürlich unrealistisch

(konstante Beschleunigung bis zur Endgeschwindigkeit (600 km/h)

21

Beschleunigungswerte

PKW vs Flugzeug

Senkrechter Wurf

Haben die beiden Steine an der Stelle des roten Pfeils eine andere Geschwindigkeit?

Fall A

Wurf senkrecht nach oben mit v=13 m/s Fall B

Wurf senkrecht nach unten mit v=13 m/s

y

23

Senkrechter Wurf

Fall A

Wurf senkrecht nach oben mit v=13 m/s

( ) ( )

( ) ^{3s 5 . 15 m}

s² 9.81 m 2 3s 1 s 13 m 0m )

s 3 (

m 38 . 6 s² 2s

9.81 m 2 2s 1 s 13 m 0m )

s 2 (

10m . 8 s² 1s

9.81 m 2 1s 1 s 13 m 0m )

s 1 (

2 ² v 1

2 ² v 1

2 2 2 0

0 0 0

−

=

− +

=

=

=

− +

=

=

=

− +

=

=

− +

=

+ +

=

t y

t y

t y

gt t

y y

at t

y y

s 43 m . 16 s

s² 3 9.81 m s

13 m 3s) v(t

s 62 m . 6 s s² 2 9.81 m s

13 m 2s) v(t

s 19 m . 3 s s² 1 9.81 m s

13 m 1s) v(t

v

v

−

=

−

=

=

−

=

−

=

=

=

−

=

=

−

= gt

Höhe über Abwurf nach x Sekunden

Geschwindigkeit nach x Sekunden

y

Senkrechter Wurf

Fall B

Wurf senkrecht nach unten mit v=13 m/s

( )

( )

s 16.4 m s²

269 m² v

5.10m) -

s² (0 9.81 m 2

s - 13 m v²

2 v v

2 v v

2

0 2

0 2

0 2

0 2

±

=

=

⎟ ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛−

=

−

−

=

− +

=

y y g

y y a

Wurf nach unten

Geschwindigkeit in Höhe -5.10 m

Zum Vergleich Wurf nach oben y

s 43 m . 16 s

s² 3 9.81 m s

13 m 3s) v(t

v

v

−

=

−

=

=

−

= gt

Geschwindigkeit des Körpers hängt nur von der

Anfangsgeschwindigkeit und der Höhe in Bezug auf

einen Referenzpunkt ab.

25

Richtungsweisende Bewegungen

häufige Missverständnisse

Behauptung 1

Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors und des Beschleunigungsvektors stimmen immer überein!

v a

Behauptung 2

Ein Körper senkrecht nach oben geworfen erfährt am höchsten Punkt der Kurve

keine Beschleunigung!

Dann könnte die Ballerina an diesem Punkt verharren!

(eine zu leichte Beute für die Jäger)

Extreme Beschleunigungen

Colonel Strapp wurde auch bekannt als Urheber von Murphys Gesetz

We do all of our work in consideration of Murphy's Law

Raketenwagen

27

Extreme Beschleunigungen

Extreme Beschleunigungen werden oft in Einheit der Erdbeschleunigung g=9.81 m/s² angegeben.

46.2 g=450 m/s²

Achterbahn zum Vergleich: etwa 3g

Beschleunigung

Abbbremsung

Extreme Beschleunigungen

29

Extreme Beschleunigungen

Drei Minuten bis zum Stillstand

37.36.040 m 37:23 min

38:06 min

39:39 min

39:54 min

40:15 min

a t

Δ

= Δ v

s 0.5144 m kn

1 =

Zeit

31

Extreme Beschleunigungen

37.36.040 m 37.23 m

38.06 m

39.39 m

39.54 m

40.15 m

Δv/ Δt=0.014 m/s²

Beschleunigung Δv/ Δt=0.037 m/s²

Beschleunigung Δv/ Δt=0.040 m/s²

Beschleunigung Δv/ Δt=0.067 m/s²

Solche Beschleunigungswerte sind

nicht geeignet für Actionfilme

Allgemeine Form

Geschwindigkeit und Beschleunigung ändern sich mit der Zeit

∫

∫ ^{= t}

t x

x

(t)dt dx

0 0

v

∫

+

=

t

t

(t)dt x

x

0

0 v

∫

+

=

t

t

dt x

x

0

0

0 v

∫

+

=

t

t

t)dt a

0

( v

v ₀

∫

+

=

t

t

dt a

0

0

v 0

v

( )

[ ]

∫ ^{+ −}

+

=

t

t

dt t

t a x

x

0

0 0

0

0 v

( ₀ )

0

0 v t t

x

x = + − _{0 0} ( ₀ ) ₀ ( ₀ ) ²

2

v t t 1 a t t x

x = + − + −

Spezialfall

Geschwindigkeit konstant

Spezialfall

Beschleunigung konstant

( ₀ )

0

v 0

v = + a t − t

33

Zusammenfassung

Kinematk beschreibt die Bewegung von Körpern

Die Beschreibung muss immer in Bezug auf ein Referenzsystemerfolgen.

In der Regel ist dies die Erde. Andere Systeme sind möglich und erleichtern möglicherweise die Analyse.

Translationist die Änderung der Position eines Körpers.

t x

avg

Δ

= Δ v

Die instantane Geschwindigkeitist die mittlere Geschwindigkeit in einem infinitesimalen

Zeitintervall.

dt x

= d

= x

v &

Die mittlere Geschwindigkeiteines Körpers ist die zugelegte Strecke in einer bestimmten Zeit.

Die instantane Beschleunigung ist die mittlere Beschleunigung in einem infinitesimalen

Zeitintervall.

v v dt

a = & = d

Bei konstanter Beschleunigungin einer Dimension sind die Beschleunigung a, die Geschwindigkeiten v,

v 0 und die Positionen x, x 0 gegeben durch

(

)

2 0 2

0

2 v v

v v

x x a

at

− +

=

+

=

2 v v v

2 ² v 1

x x

0 0 0

= +

+ +

= t at

Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit Δt in einem bestimmten Zeitintervall. Die mittlere

Beschleunigung in einem Zeitintervall Δt ist

a

t Δ

= Δ v

Körper die vertikal nach oben oder vertikal nach unten in der Nähe der Erdoberfläche beschleunigt

werden, erfahren eine konstante Beschleunigung durch die Gravitation. Der Wert der

Gravitationsbeschleunigung ist 9.81 m/s². Dabei vernachlässigt man den Luftwiderstand.