1
3c Kinematik
Bewegungen in einer Dimension
2
Wikimania
10 September 2008
3
Zusammenfassung
Graphische Analyse einer 1D-Bewegung
Wenn man Luftwiderstand und Reibung vernachlässigt fallen alle Objekte in Richtung des Erdzentrums mit der gleichen
konstanten Beschleunigung, unabhängig von ihrer Masse. Die Beschleunigung erfolgt
aufgrund der Gravitation
.
2 00
2
v t 1 at y
y = + +
Freier Fall
² m/s 81 .
= 9 g
mittlerer Wert der Gravitationsbeschleunigung
2
1 v
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
=
c at at
Relativitätstheorie liefert
4
Schiefe Ebene
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
2 0 v 0 x
2 0
0
2 x 1
2 v 1
x x
0 0
at
at t
=
⇓ + +
=
=
=
Position nach 1s
Position nach 2s
Δ x
Δ x
Δ x
Δ x Δ x
4
TEST TEST TEST
Ergebnis unabhängig von der Beschleunigung
Variation der Beschleunigung durch Änderung der Neigung5
Fallexperimente
Fallturm in Bremen
Höhe 110 m
Fallröhre kann evakuiert werden Fallzeit 5s
Geschwindigkeit beim Aufprall 165 km/h
Tropfen unter Mikrogravitation
6
Beschleunigungswerte
PKW vs ICE
s² 30 m 12s
s 3600
h km
m 100 1000
s 12
h 100 km
t v PKW
PKW
= = =
Δ
= Δ a
s² 0.51 m 55s
s 27.8 m
s 55
h 100 km
t v ICE
ICE
= = =
Δ
= Δ a
Die Gerade für das Auto ist natürlich unrealistisch
(konstante Beschleunigung bis zur Endgeschwindigkeit (600 km/h)
7
Beschleunigungswerte
PKW vs Flugzeug
8
Ortsverschiebung
in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit
( ) ( )
( ) t t
x
t T t
x
x x
x
k
k
v Δ
Δ
v 0 v
Δ
Δ Δ
Δ
1 1
1 0
2 1
=
−
⋅ +
−
⋅
=
+
=
( )
Geschwindigkeit ergibt sich aus Änderung der Ortskoordinate
⇒
=
→
=
→
= x t
t x dt
dx Δ vΔ
Δ v Δ t
v
vconstGeschwindigkeit ändert sich grob
allgemein
∑
∑
∑
→ =
=
=
=
−
=
=
−
⋅
=
−
N 0 0 Δ
N 0 N
0
Δ v lim
Δ v Δ
Δ N
k t k i f
k k k
k i
f i f
t x
x
t x
x x
t t
t
gleiche Zeitintervallei f
i f
t t t
x x
x
−
=
−
= Δ Δ
const t
x
t x
x
fi
t i t f
+
=
=
−
∫
∫
d v(t)
d v(t)
analog für Geschwindigkeit in Abhängigkeit von a(t)
Integration
Verschiebung ist grün markierte Fläche unter der Kurve9
Senkrechter Wurf
Haben die beiden Steine an der Stelle des roten Pfeils eine andere Geschwindigkeit?
Fall A
Wurf senkrecht nach oben mit v=13 m/s Fall B
Wurf senkrecht nach unten mit v=13 m/s
y
10
Senkrechter Wurf
Fall A
Wurf senkrecht nach oben mit v=13 m/s
( ) ( )
( ) 3s 5 . 15 m
s² 9.81 m 2 3s 1 s 13 m 0m )
s 3 (
m 38 . 6 s² 2s
9.81 m 2 2s 1 s 13 m 0m )
s 2 (
10m . 8 s² 1s
9.81 m 2 1s 1 s 13 m 0m )
s 1 (
2 ² v 1
2 ² v 1
2 2 2 0
0 0 0
−
=
− +
=
=
=
− +
=
=
=
− +
=
=
− +
=
+ +
=
t y
t y
t y
gt t
y y
at t
y y
s 43 m . 16 s
s² 3 9.81 m s
13 m 3s) v(t
s 62 m . 6 s s² 2 9.81 m s
13 m 2s) v(t
s 19 m . 3 s s² 1 9.81 m s
13 m 1s) v(t
v
v
0−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
=
−
=
=
−
= gt
Höhe über Abwurf nach x Sekunden
Geschwindigkeit nach x Sekunden
y
11
Senkrechter Wurf
Fall B
Wurf senkrecht nach unten mit v=13 m/s
( )
( )
s 16.4 m s²
269 m² v
5.10m) -
s² (0 9.81 m 2
s - 13 m v²
2 v v
2 v v
2
0 2
0 2
0 2
0 2
±
=
=
⎟ ⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝ ⎛−
=
−
−
=
− +
=
y y g
y y a
Wurf nach unten
Geschwindigkeit in Höhe -5.10 m
Zum Vergleich Wurf nach oben y
s 43 m . 16 s
s² 3 9.81 m s
13 m 3s) v(t
v
v
0−
=
−
=
=
−
= gt
Geschwindigkeit des Körpers hängt nur von der
Anfangsgeschwindigkeit und der Höhe in Bezug auf
einen Referenzpunkt ab.
12
Richtungsweisende Bewegungen
häufige Missverständnisse
Behauptung 1
Die Richtung des Geschwindigkeitsvektors und des Beschleunigungsvektors stimmen immer überein!
v a
Behauptung 2
Ein Körper senkrecht nach oben geworfen erfährt am höchsten Punkt der Kurve
keine Beschleunigung!
Dann könnte die Ballerina an diesem Punkt verharren!
(eine zu leichte Beute für die Jäger)
13
Extreme Beschleunigungen
Colonel Strapp wurde auch bekannt als Urheber von Murphys Gesetz
We do all of our work in consideration of Murphy's Law
Raketenwagen
14
Extreme Beschleunigungen
Extreme Beschleunigungen werden oft in Einheit der Erdbeschleunigung g=9.81 m/s² angegeben.
46.2 g=450 m/s²
Achterbahn zum Vergleich: etwa 3g
Beschleunigung
Abbbremsung
15
Extreme Beschleunigungen
16
17
Extreme Beschleunigungen
Drei Minuten bis zum Stillstand
37.36.040 m 37:23 min
38:06 min
39:39 min
39:54 min
40:15 min
a t
Δ
= Δ v
s 0.5144 m kn
1 =
Zeit
18
Extreme Beschleunigungen
37.36.040 m 37.23 m
38.06 m
39.39 m
39.54 m
40.15 m
BeschleunigungΔv/ Δt=0.014 m/s²
Beschleunigung Δv/ Δt=0.037 m/s²
Beschleunigung Δv/ Δt=0.040 m/s²
Beschleunigung Δv/ Δt=0.067 m/s²
Solche Beschleunigungswerte sind
nicht geeignet für Actionfilme
19
Allgemeine Form
Geschwindigkeit und Beschleunigung ändern sich mit der Zeit
∫
∫ = t
t x
x
(t)dt dx
0 0
v
∫
+
=
t
t
(t)dt x
x
0
0 v
∫
+
=
t
t
dt x
x
0
0
0 v
∫
+
=
t
t
t)dt a
0
( v
v 0
∫
+
=
t
t
dt a
0
0
v 0
v
( )
[ ]
∫ + −
+
=
t
t
dt t
t a x
x
0
0 0
0
0 v
( 0 )
0
0 v t t
x
x = + − 0 0 ( 0 ) 0 ( 0 ) 2
2
v t t 1 a t t x
x = + − + −
Spezialfall
Geschwindigkeit konstant
Spezialfall
Beschleunigung konstant
( 0 )
0
v 0
v = + a t − t
20
Zusammenfassung
Kinematk beschreibt die Bewegung von Körpern
Die Beschreibung muss immer in Bezug auf ein Referenzsystemerfolgen.
In der Regel ist dies die Erde. Andere Systeme sind möglich und erleichtern möglicherweise die Analyse.
Translationist die Änderung der Position eines Körpers.
t x
avg
Δ
= Δ v
Die instantane Geschwindigkeitist die mittlere Geschwindigkeit in einem infinitesimalen
Zeitintervall.
dt x
= d
= x
v &
Die mittlere Geschwindigkeiteines Körpers ist die zugelegte Strecke in einer bestimmten Zeit.
Die instantane Beschleunigung ist die mittlere Beschleunigung in einem infinitesimalen
Zeitintervall.
v v dt
a = & = d
Bei konstanter Beschleunigungin einer Dimension sind die Beschleunigung a, die Geschwindigkeiten v,
v 0 und die Positionen x, x 0 gegeben durch
(
0)
2 0 2
0
2 v v
v v
x x a
at
− +
=
+
=
2 v v v
2 ² v 1
x x
0 0 0
= +
+ +
= t at
Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit Δt in einem bestimmten Zeitintervall. Die mittlere
Beschleunigung in einem Zeitintervall Δt ist
a
avgt Δ
= Δ v
Körper die vertikal nach oben oder vertikal nach unten in der Nähe der Erdoberfläche beschleunigt
werden, erfahren eine konstante Beschleunigung durch die Gravitation. Der Wert der
Gravitationsbeschleunigung ist 9.81 m/s². Dabei vernachlässigt man den Luftwiderstand.
