Universit¨at Karlsruhe Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie
Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 08
Prof. Dr. P. W¨olfle Musterl¨osung
Dr. M. Greiter Blatt 1
1. Maxwell-Relationen (1 Punkt)
f =f(x, y)⇒df = ∂f
∂x
y
| {z }
=u(x, y) dx+
∂f
∂y
| {z x}
=v(x, y) dy⇒
∂u
∂y
x
= ∂2f
∂y∂x = ∂2f
∂x∂y = ∂v
∂x
y
Beispiele aus der Thermodynamik (eigentliche Maxwell-Relationen):
Innere Energie: U =U(S, V), dU =T dS−pdV ⇒
∂T
∂V
S
=− ∂p
∂S
V
Freie Energie: F =F(T, V), dF =−SdT −pdV ⇒
∂S
∂V
T
= ∂p
∂T
V
Freie Enthalpie: H =H(T, p), dH =−SdT +V dp ⇒
∂S
∂p
T
=− ∂V
∂T
p
2. Ideales Gas (2 Punkte)
1. Hauptsatz: dU =δQ−pdV +µdN.
Adiabatische Zustands¨anderung: δQ= 0 , konstante Teilchenzahl: dN = 0 ,
also: dU =−pdV . In einem thermisch isolierten Gas in einem geschlossenen Beh¨alter kann sich die innere Energie nur durch mechanische Arbeit ¨andern.
Bekannt ist außerdem: U = f
2NkT →dU = f
2NkdT
und pV =NkT →pdV +V dp=NkdT , zusammen→dU = f
2[pdV +V dp] . Mit dem 1. Hauptsatz von eben gibt das (1 + f
2)pdV =−f 2V dp,
was jetzt integriert werden kann, von einem thermodynamischen Zustand 0 zu einem anderen 1 ¨uber einen reversiblen Weg,
(1 + f 2)
Z1
0
dV
V =−f 2
Z1
0
dp p
Daraus folgt, mit V1 ≡V , p1 ≡p, denn der Zustand 1 ist beliebig, (1 +f
2) ln(V
V0) = −f 2 ln(p
p0)⇒(1 +2
f) ln(V) + ln(p) = const1 ⇒ p V(1+2/f)=const2
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Analog ergibt sich aus dU =−pdV und dU = f
2NkdT und pV =NkT → p= NkT V unmittelbar Nk
V dV =−f 2
Nk
T dT , also ln(V
V0
) =−f 2 ln(T
T0
)⇒ V Tf /2 =const3
3. Entropie des idealen Gases (3 Punkte)
(a) Die “Fundamentalbeziehung” lautet:T S =U+pV −µN ⇒S= 1 TU+p
TV −µ TN. MitS =S(U, V, N) folgt dS = 1
TdU+ p
TdV − µ TdN. Es ist jetzt praktisch, Dichten einzuf¨uhren:
s=S/N , u=U/N , v=V /N ⇒s = 1 Tu+ p
Tv− µ T . MitS =S(U, V, N) ist auch s=s(U, V, N) =s(u, v, N) , s h¨angt offenbar nicht explizit von N ab, also:
s =s(u, v),ds= 1
Tdu+ p Tdv Daß s nicht von N abh¨angt, folgt auch ganz allgemein:
U, V, N, S sind extensiv, das heißt z.B. S(λU, λV, λN) = λS(U, V, N) . Die Dichten sind (trivialerweise) intensiv, alsos(λU, λV, λN) = s(U, V, N) . Dies kann nur erf¨ullt werden, wennU, V, N nur als Quotienten (Dichten) eingehen, alsos=s(U/N, V /N) oders(U/V, U/N) oder s(U/V, V /N) .
ds l¨aßt sich jetzt integrieren, wenn manT und p rauswirft:
U = f
2NkT ⇒ u= f
2kT ⇒ 1 T = f
2k1
u, pV =NkT ⇒ p T =k1
v ds = f
2kdu
u +kdv
v ⇒s−s0 = f
2kln(u u0
) +kln(v v0
)
Die Integrationskonstanten sind s0 = S0/N0, u0 = U0/N0, v0 = V0/N0, einsetzen liefert
S = S0
N N0
+Nk f
2
ln(U U0
) + ln(N0
N )
+
ln(V V0
) + ln(N0
N )
= NS0
N0
+Nk f
2ln(U U0
) + ln(V V0
)−(f
2 + 1) ln(N N0
)
(b) Nehmen wir o.B.d.A. mal an, daß das Gas aus konstanten N =N0 Teilchen besteht und im konstanten Volumen V = V0 eingeschlossen ist, dann h¨angt U von der Temperatur ab ¨uberU = f2N0kT, also, mit U0 ≡ f
2N0kT0, T0 =const., S(T) =S0+ f
2N0kln(T T0
)
F¨ur T →0 divergiert dies, es l¨aßt sich kein S0 finden, so daßS(T →0) = 0 w¨are.
Das “ideale Gas” ist eine brauchbare N¨aherung f¨ur ideale Gase nur bei hohen Tem- peraturen. Bei T → 0 muß die Quantennatur der Teilchen (Fermionen oder Boso- nen) ber¨ucksichtigt werden, die zu einem nichtentarteten Grundzustand des Gases f¨uhrt. Dann folgt aus der informationstheoretischen Fundierung der Entropie (siehe Vorlesung) sofort S(T →0) = 0 .
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4. Thermodynamische Antwortfunktionen (4 Punkte) (a)
B =B(T, S) ⇒ dB = ∂B
∂T
S
dT + ∂B
∂S
T
dS M =M(T, S) ⇒ dM =
∂M
∂T
S
dT + ∂M
∂S
T
dS Betrachte nun dB = 0 , dann
dS dT =
∂S
∂T
B
, 0 = ∂B
∂T
S
+ ∂B
∂S
T
∂S
∂T
B
⇒ cB
T =− ∂B
∂T
S
∂S
∂B
T
oder dM = 0 : dS
dT = ∂S
∂T
M
, 0 = ∂M
∂T
S
+ ∂M
∂S
T
∂S
∂T
M
⇒ cM
T =− ∂M
∂T
S
∂S
∂M
T
Im Quotienten kann gek¨urzt werden, solange die festgehaltene Variable dieselbe ist:
cB
cM
= ∂B
∂T
S
∂T
∂M
| {z S} ∂B
∂M
S
= 1 χS
· ∂S
∂B
T
∂M
∂S
| {z T} ∂M
∂B
T
=χT
= χT
χS
(b)
S=S(T, M), M =M(T, B)⇒S =S(T, M(T, B))
⇒ cB
T = ∂S
∂T
B
= ∂S
∂T
M
+ ∂S
∂M
T
∂M
∂T
B
⇒cB−cM =T ∂S
∂M
T
αB
Maxwell: es gilt dF =−SdT +BdM ↔F =F(T, M) , also ∂S
∂M
T
=− ∂B
∂T
M
⇒cB−cM =−αBT ∂B
∂T
M
Es war M =M(T, B) ; wir brauchen jetzt dM = 0 , also, mit dB dT =
∂B
∂T
M
,
dM = ∂M
∂T
B
dT + ∂M
∂B
T
dB = 0⇒0 = ∂M
∂T
B
+ ∂M
∂B
T
∂B
∂T
M
⇒ ∂B
∂T
M
=−αB
χT
⇒cB−cM =Tα2B χT
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